四川省达州市2024-2025学年高三年级上册第一次诊断性测试数学试卷（含解析）

达州市普通高中2025届第一次诊断性测试

数学试题

(本试卷满分150分，考试时间120分钟)

注意事项：

L答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡

上，并检查条形码粘贴是否正确.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字

笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无

效.

3.考试结束以后，将答题卡收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合—l<x<3},若PM=M,则集合尸可以为()

A.{3}B.[-1,1]C.(0,3)D,[-1,3]

【答案】C

【解析】

【分析】根据子集的定义即可判断.

【详解】因为尸/=所以

故选：C

2

2.以双曲线必―工_=1的右焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程为()

3

A.(x-2)2+/=4B.(x+2)2+y2=4

C.(x+2)2+y2=2D.(x-2)2+y2=2

【答案】A

【解析】

【分析】由双曲线标准方程可得右焦点坐标和离心率，即可得到圆的方程.

2_____

【详解】由=i得，a=l,b=6,c=+3=2,

3

故右焦点坐标为(2,0),禺心率为e=—=2,

a

；.圆的方程为(x—2)2+y2=4.

故选：A.

3.已知々为直线y=2x—1的倾斜角，则cos2(z=()

3443

A.--B.——C.—D.—

5555

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得tanc=2,利用二倍角公式及齐次式可得结果.

【详解】•••戊为直线,=2%—1的倾斜角，

直线斜率k=tana=2,

222

.〜.Tcosa-sintz1-tana1-43

••cos2«=cos9-a-sin-a=-------------=-----；—=----=——.

cos«+sin-a1+tan-a1+45

故选：A.

4.已知三个不同的平面且。_L£,则是。///的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由不能得到。//7,由々_1尸,。/夕可得据此可确定选项.

【详解】

/JB

如图，在正方体4瓦。］。中，记平面ABCD为平面夕，平面AD2A为平面a,平面AB与A

为平面7,

则tz_L〃，但平面=,即由a_L/7,/_L/?不能得到tz///

由1_1_Q,a//y可得/!_/?.

故时，/J_夕是。//7的必要不充分条件.

故选：B.

5.已知可导函数/（尤）的部分图象如图所示，/（2）=0J'（x）为函数“光）的导函数，下列结论不一定成

立的是（）

A.r（i）＜/（i）B.r（2）=/⑵

c.r（4）＜/（4）D.r（3）＜r（4）＜/（5）

【答案】C

【解析】

【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可判断选项.

【详解】A.由导数的几何意义可知，/f（l）＜0,由图可知，/（1）＞0,所以7故A成立;

B./（2）=/（2）=0,故B成立；

C.由图可知，/,（4）＞0,/（4）＞0,但不确定/'（4）与”4）的大小关系，故C不一定成立.

D.由图可知，函数在［2,+8）上单调递增，且增长速度越来越快，所以/''⑶＜/（4）＜/'（5）,故D成

立.

故选：C

6.如图，在正方体45。。一4用£。1中，点P,Q,M,N,T分别为所在棱的中点，则（）

A.QN±BBtB.QN//平面3CC13i

C.直线QN与PT为异面直线D.用。，平面91"

【答案】D

【解析】

【分析】首先以点区为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系.

【详解】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为2,

A2（2,0,1）,N（l,2,0）,5（0,0,2）,A（0,0,0）,西=（-1,2,-1）,BBr=（0,0,-2）,

QNBB]=2力3所以QN与8及不垂直，故A错误；

B.平面3CC1用的法向量为44=（2,0,0）,QN-4A=—2工0,所以QN与平面BCG4的法向量不垂

直，则。N与平面3CC1用不平行，故B错误;

C.P（l,0,2）,T（0,2,l）,PT=（-1,2,-1）,QN=（—1,2,-1）,所以PT=QN,则PT〃QN,故C错

误;

D.r＞（2,2,2）,M（2,l,0）,旦。=（2,2,2）,PM=（1,1,-2）,B}DPM=0,

PT=（-1,2-1）,B}DPT=0,PM\PT=P,PM,PTu平面所以用。，平面PMT,故

故选：D

7.如图1,圆锥的母线长为3,底面圆直径3C=2,点。为底面的中点，则在该圆锥的侧面展开图

（图2）中（）

图1图2

A.B.-9A/3C.9-9A/3D.27T8—

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆锥与展开图的关系，求对应的圆心角，再转化向量，求向量的数量积.

【详解】如图，连结

圆锥底面圆的周长为2兀，母线为3,所以扇形展开图的圆心角为女，

3

JTJT

则N3AC=—,ZBAD=ZDAC=-,

36

DB-DC=^AB-AD^AC-AD^=AB-AC-AD-AC-AB-AD+AD\

=3x3xcos--2x3x3cos—+9

36

_27-186

—2

故选：D

“、-（X+6Z）2,X<0,

8.已知函数F（x）=1,2的图象关于原点对称，则下列叙述错误的是（）

[bxe~+cx-,x>0

A.a+b+c^OB.7(%)既有最小值也有最大值

C."%)有3个零点D.4%)有2个极值点

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用奇函数的性质，求a,Ec,即可判断A,根据奇函数的性质，分析当尤>0时，利用导数

判断函数的单调性，分析函数的极值，以及函数值的趋向，即可判断选项.

【详解】设九>0,-x<0,

因为函数是奇函数，则/(%)=-/(-%)，

Bpbxex+ex?=_[%e%_(_x+a)]——xc%+_2ux+a2,

所以b=—l,c=la=0,所以a+Z?+c=0,故A正确；

“、-xex-x2,x<0,

所以/(x)=、二

-xe+x,x>0

当x>0时，/(x)=—xe~x+x2,f'{x}=(-V—l)e1+2x=X+2x,

设g(x)=/'(x),g'(x)=(2-x)e^+2=彳；+2,

设/z(x)=g，(x),/zf(x)=(x-3)e=xJ=0得彳=3,

当xe(0,3)时,〃(x)<0,〃(％)单调递减，当xe(3,+oo),〃(九)>0,〃⑺单调递增，所以当％=3

时，力⑺取得最小值网3)=?+2>0,即g'(x)>0恒成立，

e

所以g(x)单调递增,即以(X)单调递增,r(O)=-l,/(1)=2>0，

所以存在/e(o,l),使/''(不]。，当％€(0,%)时，/,(%)<0,八%)单调递减，当工«%,+00)时，

r(x)>o,/(%)单调递增，

所以当x=Xo时，“X)取得极小值，/(0)=0,贝|]/小)<0,/(1)=--+1>0,所以存在

e

xe(x0,l),使/"(尤)=0,且尤―+8时，+QO,

综上可知，当x>0时，函数有一个极小值点，一个零点，无最大值，

因为函数是奇函数，所以尤<0时，函数有一个极大值点，一个零点，无最小值，

且/(0)=0,

所以函数了（%）有3个零点，2个极值点，无最大值也无最小值，所以B错误，CD正确.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断A选项，通过多次对函数求导数，判断函数的单调性和极值.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续

的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入x（亿元）与产品收益〉（亿元）的数据统计

如下，则下列叙述正确的是（）

A,元=4,9=6

B.由散点图知变量x和y正相关

C.用最小二乘法求得〉关于X的经验回归直线方程为£=1.5x+0.5

D.收益y的方差为6

【答案】AB

【解析】

【分析】根据平均数公式以及散点图的图象特征判断AB,根据回归直线过样本点中心（无，了）,即可判断C,

代入方差公式，判断D.

_1+2+3+4+5+6+7,―2+3+5+7+8+8+9(

【详解】A.x二----------------------------------------------二4,y=------------------------=6,故A正确;

77

B.散点图的分布从左下到右上，所以是正相关，故B正确;

C.经验回归直线必过样本点中心（元田=（4,6）,当x=4时，1.5x4+0.5=6.5w6,故C错误;

1—<7On?nn

D.收益V的方差为一X(2-6)+(3-6)-+(5-6)-+(7-6)+(8-6)x2+(9-6)=一/6,故D

7L」7

错误.

故选：AB

10.工⑺为函数八％)的导函数，记为/(x)="(x)]',依次类推力(x)=[<(x)J,,

fn(x)=(x)](n>2,weN*),已知/'(x)=sinx,a“=力(x),数列｛%｝的前项和为S“，则

()

A.12025=COSX

B.S2025=sinx

c.存在keN*，使得&在一；,0上单调递增

D.-1<S„<1

【答案】AC

【解析】

【分析】根据数列｛为｝的定义，列举发现数列的的周期性，再结合选项即可判断.

【详解】由题意可知，/(x)=sinx,q=/；(x)=cos%,%=力(x)=[<⑴]=—sinx，

%=」(%)=[力⑺]=-COSX，。4=力(1)="(%)]=sinx，%=力(》)=[力(》)]二COSX，

所以数列｝的周期为4,%025=^506x4+1=4=COS%,故A正确；

因为54=4+。2+。3+〃4=0，且数列｛%｝的周期为4,所以S2025=。1=cos%,故B错误；

当左=4〃+1,〃£N时，Sk=cosx,在一(，°上单调递增，

当左=4〃+2,〃£N时，=cos%—sinjr=J^cos[%+；),在一(，°上单调递减，

当左=4〃+3,〃wN时，S.=cosx-sinx-cosx=-sinj;,在——,0上单调递减，

2

当左=4〃+4,〃wN时，S左=0,为常数列，

所以存在左=4〃+l,〃eN时，S*在-；,0上单调递增，故C正确；

,值域为［-行,、历］,不满

由C选项可知，当〃=4左+2代£N时,5n=cosx-sinx=^2cosx+—

足一1<5“<1,故D错误.

故选：AC

11.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物

线丁=4%的焦点为为坐标原点，从点尸（%,为乂4%>*>。）发出平行于无轴的光线经过抛物线上

的点N反射后再经过抛物线上另一点M，则（）

A.存在点P使得点P,N,QM.都在以尸为圆心的圆上

B.存在点尸使得点E是，的垂心

C.存在点P使得点尸是.的重心

D.点河到直线PN的最短距离为4

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据圆的性质，以及抛物线的对称性，即可判断A,根据光学性质，利用点P的坐标表示点N,M

的坐标，再根据垂心，重心，即可判断BC,利用坐标表示点凹到直线尸N的距离，即可判断D.

【详解】A.由题意可知，三点共线，根据对称性可知，若存在点尸使得点都在以E

为圆心的圆上，贝为通径，则％”=%N=1，|%|=2,则以点尸为圆心的圆的半径为2,但

\OF\=1^2,所以不存在点P使得点都在以尸为圆心的圆上，故A错误；

\女:%-4%4y

B.由P5,%），则N0,为，*需尤―4,则直线7a-1）,与抛物线方

1）%-4

得住--含R

程y2=4x联立,

-4则/=二，即M［二,d］,若存在点p使得点E是POM的垂心,

则yMyN=-4＞所以=——

垢（%y0J

则OFLPMOP上FM，

(4-4、一一4

OF=(1,0),PM=T-xo--%，则OF-PM==一%=0,①

1%%7y0

A_A।4x

OP=(x0,yA,FM=—-1,—,则OPEMug-Xo—dnO,②，且4%〉公〉0,③，联立

1%%J%

①③，得天〉1,

联立①②，得其―%—4=0,则△>(),得X=1±2叵〉1成立，故B正确;

2

4-4

C.若存在点尸使得点尸是.POM重心，则°+“°+房，°+%+—

1—0=-----------应'

33

得%=2,%=土2,即P(2,±2),故C正确;

444

D.点M到直线PN的最短距离为—一%=一+x=4,当一=为时，即为=土2时

>0

%y0%

等号成立，点"到直线PN的最短距离为4,故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合光学性质，利用点P的坐标表示点N,M的坐标.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数z=l—i是方程/+公+2=0(。€1i)的一个根，则。=.

【答案】-2

【解析】

【分析】将z=l—i代入方程，即可求解.

【详解】由条件可知，(l-i)2+a(l-i)+2=a+2-(o+2)i=0,

所以〃+2=0,得。=—2.

故答案为：-2

13.二项式(1—3%)"=4+qx++,若+|aJ=1024,贝!J/=-

【答案】90

【解析】

【分析】首先根据绝对值和的意义，采用赋值法求〃，再求。2.

【详解】二项式(1—3%)〃的通项为4+1=C；l-(—3尤)「=C；(—3%),

令x=-1,得4"=4——〃八•1)二|%|+|+...+„=1024,

所以〃=5,

(1—3x)5中，%是％2的系数，所以的=GX(—3)2XF=90.

故答案为：90

14.抛一枚质地均匀的骰子3次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为羽yz,则不等式

|x+y—z|+|x—y+z|+|-x+y+z|<8成立的概率是.

【答案】上23

216

【解析】

【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.

【详解】抛一枚质地均匀的骰子3次，共有6x6x6=216种情况，

其中满足卜+y-z|+|x—y+z|+|—尤+y+z|<8,包含三个数字为(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),

（2,1,1）,（1,1,3）.（1,3,1）,（3,1,1）,。,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,

（2,2,2）,（2,2,1）,（2,1,2）,（1,2,2）,（2,2,3）,（2,3,2）,（3,2,2）,（1,3,3）,（3,1,3）,（3,3,1）,共23

个.

23

所以不等式成立的概率「=——

216

23

故答案为:

216

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记数列｛〃“｝的前〃项和为％且5“=川+”.数列出｝是等比数列，且叫=83,63=%.

(1)求数列｛%｝,｛"｝的通项公式;

2

（2）记g=求数列｛[｝的前〃项和T"：

4+Jog2d

【答案】(1)a”=2n；b,=T

⑵-^―

n+1

【解析】

S],n=l

【分析】(1)根据公式。〃二二。C,即可求解％,再根据条件，代入等比数列的基本量，即可求

解数列｛〃｝的通项公式;

（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.

【小问1详解】

当”=1时，6=H=2,

当〃22时，an=S“一S"T="+”-（"一1）~-（"-I）=2〃，

验证当”=1时，q=5]=2x1=2,成立，

所以aa=2”，

设等比数列也｝的首项为伪，公比为4,

[3b,q=12

所以'；。，得4=2,4=2,

如=8

则么=2"；

【小问2详解】

2_1_]

"+nn+1'

所以北=（

1--

nn+1

n+1n+1

16.已知VABC的内角A3,C的对边分别为a,b,c,acosC+ccosA=/?sin（A-C）.

jr

（1）证明：A=C+—；

2

（2）若VA3C的外接圆半径为有，且c=2,求VA3C的面积.

【答案】（1）证明见解析

12

（2）——

5

【解析】

【分析】（1）首先根据正弦定理边化角，再根据三角函数恒等变换公式，化简求解角的关系式；

（2）根据正弦定理求sinC,再根据（1）的结果和正弦定理求sinA,a,sinB,最后代入三角形面积公

式，即可求解.

【小问1详解】

由正弦定理可知，sinAcosC+sinCcosA=sinBsin（A-C）,

即sin（A+C）=sinBsin（A—C）,因为sin（A+C）=sin5,_BBe（0,7i）,sinB^0,

所以sin（A—C）=l,因为A—。£（—兀,兀），所以A—C=],

所以A=C+S；

小问2详解】

因为---=2RnsinC=-^―=，

sinC2R5

7T

而人=。+彳，则C为锐角，

2

sinA=sin（C+=cosC="y/l-sin2C=~~，

2尺

则a=2RsinA=2后年=4，

,3

sin3=sin（兀一A—C）=sin?—2C=cos2C=1-2sin"C=—

5

=j-acsinB=-x4x2x-=—

所以SABC

2255

17.如图，已知正四棱锥P—ABCD的体积为殍，高为

(1)求平面B4D与平面的夹角的余弦值；

(2)现有一蚂蚁从尸点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该

蚂蚁与点A的距离X的分布列及期望.

【答案】(1)B

3

(2)分布列见解析，期望为1+变

2

【解析】

【分析】(1)根据垂直关系ACJ_平面P5D,以及二面角的定义，构造二面角的平面角，即可求解；

(2)首先分析2秒后，蚂蚁到的位置，再写出随机变量的数值，以及概率，代入期望公式，即可求解.

【小问1详解】

设底面边长为。，则工x/x0=逑，得a=2,

33

连结AC交6D于点0，作。垂足为点M，连结40,

因为平面ABC。，ACu平面ABCD,所以P0LAC,

且AC工BD,POBD=O,P0,BDu平面PBD,

所以AC,平面P3£),PDu平面PBD,所以ACLPD,

又OMLPD,且ACOM=O,4。,。〃<=平面49加，

所以FZ)_L平面,40(=平面40〃，

所以？D1AM，所以NAMO为二面角的平面角，

因为P0=&，AO=^AC=y/2,所以尸4=，尸4+4。？=2,

所以△B4D是等边三角形，AM=也,所以。=1

始2/4”,八/0173

所以cosZAMO=------=—；==——，

AM63

所以平面PAD与平面PBD的夹角的余弦值为—.

3

【小问2详解】

由题意可知，蚂蚁从点尸沿私年产"。的概率都是:’

2秒后蚂蚁移动了2个单位，侧棱长为2,所以若沿Q4移动，蚂蚁到达点A,若沿PB,蚂蚁到达点8,若

沿PC,蚂蚁到达点C,若沿尸。蚂蚁到达点。,

AB=AD=2,AC=20，

所以分布列为

X022A/2

J_j_1

P4~24

数学期望EX=OxL+2x^+20xL=l+变.

4242

18.已知函数/(x)=(x+l)(x-l)2,g(x)=alnx-x2-x+l,«eR.

(1)求了(%)的极值；

⑵证明：当0<aW3e时，/(%)>g(x)；

(3)若g(x)<—1,求。的值.

(\\3?

【答案】(1)极大值为/—§=药，极小值为/(1)=0.

(2)证明见解析(3)a=3

【解析】

【分析】(1)求导，分析函数的单调性，即可得到函数的极值.

(2)构造函数"(x)=/(x)—g(x),求导，分析函数单调性，证明〃(x)1nm20即可得到结论.

(3)讨论a的取值范围，分析函数单调性，结合条件即可得到。的值.

【小问1详解】

由题意得，/(x)=(X+1)(%?—2%+1)=%3—%2—x+1,

/z(x)=3x2-2x-l=(3x+l)(x-l),

由/''(x)>0得，x<—；或%>1,由/>'(%)<0得，—；<x<l,

.•."%)在上增函数，在d上为减函数，在(1,+8)上为增函数，

.•.当X=_；时，有极大值，极大值为=+=||,

当x=l时，/(%)有极小值，极小值为/(l)=(l+l)x(l—1)2=0.

【小问2详解】

由(1)得，/(%)=—x+1,

要证〃x)2g(x),只需证〃%)-g(%)NO,

令h(x)=/(x)-g(x)=x3-x2-x+l-^lnx-x2-x+1)=x3-^lnx(x>0),

则”(月=3/—q=

XX

由〃(x)>0得X〉祗，由〃(X)<0得0<x(怖，

在0,Rj上为减函数，在1怖，+00上为增函数，

7/\7(区、(万).[aaaaa(a\

：.h(x].=h3-=3--aln3-=----ln-=-1A-tln-,

—mm(WIW3333(3)

,•*0<Q<3c,「・0<—Ve,***In—<1,1—In—>0,

333

/z(x)>0,BP/(x)>g(x).

【小问3详解】

g(x)=tzlnx-x2-x+l(x>0),=—-2x-l,

当aWO时，g'(x)<0,g(%)在(0,+8)上为减函数，且g1|J=alng-：-g+l=：-aln22：,不

满足g(x)<-L

、i,C口，/、2x2+x-a

当〃>0时，g(%)=-----——，

x5

方程2d+x—a=0的A=l+8a>0,方程有两个不相等的实数根，且8a<0,

14

-1+J1+8a

x=--------->0，

94

由g'(x)>0得，2l2+%_。<0,xl<x<x2,由g'(x)<0得，x<&或了>%，

g（x）在（0,%）上为增函数，在（%2，+°°）上为减函数，g（H在（。，+8）上有唯一极大值点了2，且

Vg(l)=c/lnl-l2-l+l=-l,g(x)K—l,

ZU即士产“解得a=3.

【点睛】关键点点睛：解决本题第（3）的关键是结合函数的定义域对a进行分类讨论，其中。＞0时，根

据g（x）的单调性确定g（x）皿=g（%2），利用g⑴=T且g（x）«T可得到％=1，解方程即可得到。

的值.

19.已知点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换。：＜'）的作用下，点P（x,y）

了=4y(〃〉0)

,=lr

X~2X，的作用

对应到点P'（£,y'，称。为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如：y=sinx在变换夕:＜

、y'=2y

下得到y=2sin2Z.

九，—3x

（1）已知曲线M:x?+y2=1在夕：＜，一c'的作用下得到曲线〃'，求的方程;

卜=2y

,1

22x=—x,

（2）已知椭圆『：与+与=l（a〉6〉0）在变换9：＜；下保持位置关系不变性，即点”在曲线r

a2b-

yf=vy

b

上,在变换。下H'也在曲线6上：直线/与r相切，在变换。下直线/'与。夕也相切.己知点〃（%，%）是

X2

21=1（。〉。〉o）上一动点，直线/是「在”处的切线用上述结论求I的方程;

b2

（3）已知直线y=x与曲线E,:耳+丁2=['=1,2,3,,〃+1）在第一象限的交点为B，E,在4处的切线

n

被Ej+1所截得的弦长记为%,求Z%.

i=l

X'2v'2

【答案】(1)—+^-=1

94

⑵

⑺2岳

（3）----n

3

【解析】

【分析】（1）根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义求解即可.

（2）根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义可得OC的方程为x'2+>'2=1,进而求出圆。的勺切线方

程，然后再根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换即可得出椭圆的切线；

（3）根据题意求出P甘,结合（2）求出切线方程与椭圆方程联立，然后利用曲线的弦长公式即

33

可求出火,然后求和即可

【小问1详解】

设AT上任意一点P'（x',y'）,M:x^+y2=1上任意一点P®y）,

X-X，

由题意得<;二;;，所以<:,得=1,

X'2V’2

所以的方程为、+'=l，

94

【小问2详解】

1

22X'=-X

:下的露上一点p（%',y）,

椭圆r:=+3=1（。〉6〉0）上任意一点P（x,y）在变换（p:<

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