高等数学下册（第2版）课件：常数项级数的概念与性质

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常数项级数的概念与性质一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件

一、常数项级数的概念

定义：给定一个数列即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项.将各项依次相加,简记为一般情况：

级数的前n项和称为级数的部分和.

称为级数的部分和数列级数敛散性的概念:则称级数收敛，并称S

为级数的和,记作当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称级数发散.显然

当时，如果部分和数列的极限存在，即例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为

2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而结论：时,收敛，时,发散.则级数成为不存在,因此级数发散.等比级数和为

例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和

(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和

例3.判别解:

所以调和级数发散;的敛散性。调和级数

二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为

说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)

性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.发散.用反证法可证

例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.

三、级数收敛的必要条件

如果级数则必有证:

收敛，结论收敛发散可能收敛可能发散调和级数虽然但此级数发散.

例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.例如P12

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