导学案数学第十章阶段提升课

阶段提升课题型一频率与概率【典例1】电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到如表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?【解析】(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000(部),第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50(部),故所求概率为502000(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372(部),故所求概率估计为13722000(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.【补偿训练】某人发现人们在邮箱名称里喜欢用数字,于是他做了调查,结果如表:邮箱数601302653061233213047006897名称里有数字的邮箱数3678165187728130028204131频率(1)填写表中的频率(结果保留到小数点后两位);(2)人们在邮箱名称里使用数字的概率约是多少?【解析】(1)由频率公式可算出表格中的频率从左向右依次为0.60,0.60,0.62,0.61,0.59,0.61,0.60,0.60;(2)由(1)知,虽然计算出的频率不全相同,但都在常数0.60左右摆动,因此,人们在邮箱名称里使用数字的概率约是0.60.【总结升华】1.对于只有一组试验数据的,我们通常用事件A发生的频率作为相应概率的估计值;2.对于有多组试验数据的,通常将各组中事件A发生的频率按试验次数从小到大的顺序,观察频率的稳定性,得到概率的估计值.题型二古典概型【典例2】袋中装有除颜色外其他均相同的6个球,其中4个白球、2个红球,从袋中任取两球,求下列事件的概率.(1)A:取出的两球都是白球;(2)B:取出的两球一个是白球,另一个是红球.【解析】设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点,且每个样本点出现的可能性相同.(1)“从袋中的6个球中任取2球,所取的2球都是白球”为事件A,则A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共含有6个样本点,所以P(A)=615=2(2)“从袋中的6个球中任取2球,其中一个是白球,另一个是红球”为事件B,则B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共含有8个样本点,所以P(B)=815【补偿训练】在人流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3个黄色、3个白色的乒乓球(各球的体积、质地完全相同),旁边立着一块小黑板写着摸球方法:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱.(1)求摸出的3个球都为白球的概率;(2)求摸出的3个球为2个黄球,1个白球的概率;(3)假定一天中有100人参与摸球游戏,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱.【解析】把3个黄色乒乓球分别标记为A,B,C,3个白色乒乓球分别标记为1,2,3.从6个球中随机摸出3个球的样本空间Ω={ABC,AB1,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,BC1,BC2,BC3,A12,A13,A23,B12,B13,B23,C12,C13,C23,123},共20个样本点,这20个样本点发生的可能性是相等的.(1)设事件E={摸出的3个球都为白球},则事件E包含的样本点有1个,即摸出123,则P(E)=120=0.(2)设事件F={摸出的3个球为2个黄球,1个白球},则事件F包含的样本点有9个,P(F)=920=0.(3)设事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球都为白球或摸出的3个球都为黄球},则事件G包含的样本点有2个,故P(G)=220=0.1假定一天中有100人参与摸球游戏,由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件“摊主送给摸球者5元钱”发生10次,事件“摸球者付给摊主1元钱”发生90次,故可估计该摊主一天能赚90×110×5=40(元),一个月能赚1200元.【总结升华】古典概型是一类最基本的概率模型,是学习概率知识的基础,解题时要紧紧把握古典概型的两个特征:有限性和等可能性,准确确定样本空间和所求事件A中样本点的个数,严格按公式P(A)=n(A题型三互斥事件、对立事件和相互独立事件【典例3】(多选)甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以事件A1,A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随机取出1个球,以事件B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,下列命题正确的是()A.事件A1,A2互斥B.事件B与事件A1相互独立C.P(A1B)=1D.P(B)=23【解析】选ACD.根据题意画出树状图,得到有关事件的样本点数,所以事件A1,A2不可能同时发生,故彼此互斥,故A正确;P(A1)=1830=35,P(A2)=1230=25,P(B)=15+830=2330,P(A1因为P(A1B)=12,P(A1)P(B)=35×2330=2350,则P(A1B)≠P(A1)P(B),事件B与事件【补偿训练】在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是34,甲、乙两人都回答错误的概率是112;乙、丙两人都回答正确的概率是1(1)求乙答对这道题的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.【解析】(1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A,B,C.设乙答对这道题的概率P(B)=x,由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此A,B,C是相互独立事件,由题意,并根据相互独立事件同时发生的概率公式,得P(AB)=P(A)P(B)=134×(1x)=112,解得x=23所以,乙答对这道题的概率为P(B)=23(2)设“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”为事件M,丙答对这道题的概率P(C)=y.由(1),并根据相互独立事件的概率公式,得P(BC)=P(B)P(C)=23y=1解得y=38甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=134×123×138=596因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对立事件,所以,所求事件概率P(M)=1596=91【总结升华】事件间的关系的判断方法(1)判断事件间的关系时,可把所有的试验结果写出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而断定所给事件间的关系.(2)对立事件一定是互斥事件,也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件,在确定了两个事件互斥的情况下,就要看这两个事件的和事件是不是必然事件,这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时,注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的,不能在多次试验中判断.(3)判断两事件是否相互独立,有两种方法:①直接法;②看P(AB)与P(A)P(B)是否相等,若相等,则A,B相互独立,否则不相互独立.题型四概率与统计的综合应用【典例4】某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动,他们的年龄在25岁至50岁之间,按年龄分组:第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50],得到的频率分布直方图如图所示,如表是年龄的频数分布表.区间[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人数25ab(1)求正整数a,b,N的值;(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层随机抽样的方法抽取6人,则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少?(3)在(2)的条件下,从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动,求恰有1人年龄在第3组的概率.【解析】(1)由频率分布直方图可知,[25,30)与[30,35)两组的人数相同,所以a=25,且b=25×0.080.02(2)因为第1,2,3组共有25+25+100=150(人),所以利用分层随机抽样的方法在150名员工中抽取6人,第1组被抽取的人数为6×25150第2组被抽取的人数为6×25150第3组被抽取的人数为6×100150所以年龄在第1,2,3组的人数分别是1,1,4;(3)由(2)可设第1组的1人为A,第2组的1人为B,第3组的4人分别为C1,C2,C3,C4,则从6人中随机抽取2人,样本空间Ω={(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),(C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),(C2,C3),(C2,C4),(C3,C4)},共有15个样本点.其中恰有1人年龄在第3组的样本点为(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),共有8个,所以恰有1人年龄在第3组的概率为815【补偿训练】个税专项附加扣除的目的是让大部分人能够减轻纳税负担,对各种收入的人群都能起到一定的减税效果,共涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人、婴幼儿照顾等七项专项附加扣除.某学校具有高级职称、中级职称、初级职称的教师分别有72人,108人,120人,现采用分层随机抽样的方法,从该学校上述教师中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从具有高级职称、中级职称、初级职称的教师中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的教师有6人,分别记为A,B,C,D,E,F,具体享受情况如表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受,现从这6人中随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○婴幼儿照顾○○××○×【解析】(1)某学校具有高级职称、中级职称、初级职称的教师分别有72人,108人,120人,现采用分层随机抽样的方法,从该学校上述教师中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况,具有高级职称、中级职称、初级职称的教师人数之比为6∶9∶10,由于采用分层随机抽样的方法从中抽取25人,所以应从具有高级职称的教师中抽取25×66+9+10从具有中级职称的教师中抽取25×96+9+10从具有初级职称的教师中抽取25×106+9+10=10人(2)①{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.②由题中表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种,所以事件M发生的概率P(M)=1115【总结升华】概率与统计的综合应用解题策略处理该类问题的关键是弄清各概念间的关系,抓住问题本质,这类问题涉及数据较多,要分清各数据对应事件及端点处数据的特殊含义,理解频率与概率间的关系,准确求解问题.【真题1】(1)(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16 B.13 C.12 【解析】选D.依题意设高一年级的学生编号为1和2,高二年级的学生编号为3和4,则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况,符合情况的有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)这4种情况,故这2名学生来自不同年级的概率为46=2(2)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()A.56 B.23 C.12 D【解析】选A.将这6个主题分别编号为1~6号,建立如下表格:项目甲123456乙1×2×3×4×5×6×其中一共有36种情况,表格画“×”表示甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的情况,有6种,那么甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的情况就有366=30(种),所以甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为3036=5【溯源】(人教A必修二P246T8)从长度为1,3,5,7,9的5条线段中任取3条,求这三条线段能构成一个三角形的概率.【解析】该试验的样本空间可表示为Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9)}共有10个样本点,其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)共3个,故所求概率P=310[点评]2023年全国卷两道高考试题和教材习题都是考查古典概型,有很高的相似性.教材习题是通过列举法罗列出所有基本事件,再求出满足要求的基本事件个数,由古典概型求解.而高考真题的考点和考查方向与此题一致,所以在平时的学习中要重视教材、研究教材中的例题和习题.【真题2】(2022·新高考Ⅱ卷,节选)在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100位这种疾病患者的年龄,得到如下样本数据的频率分布直方图:(1)估计该地区这种疾病患者的平均