相似三角形（8大题型）原卷版-2024-2025学年九年级数学上册

相似三角形（8大题型）（48道压轴题专练）

压轴题型一相似形压轴题型

1.（20-21九年级上•重庆渝中•期末）如图，AABC三个顶点的坐标分别是A（-2,2）,B（-4,1）,C

（-1,-1）.以点C为位似中心，在x轴下方作AABC的位似图形△ABC.并把AABC的边长放大为原

来的2倍，那么点A，的坐标为（）

A.(I,-6)B.(1,-7)C.(2,-6)D.(2,-7)

2.（23-24八年级下•山东淄博・期末）将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪

去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形.若剪去两个菱形后余下的平行

四边形与原平行四边形/BCD相似，则平行四边形/BCD的相邻两边/。与的比值是.

A---------------7-----------1B

D

3.（2024•湖北武汉•一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形/BCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的

直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.

（1）在图1中，先以点A为位似中心，将四边形23CQ缩小为原来的十，画出缩小后的四边形NBiGA，再在

48上画点E,使得。£平分四边形/8CD的周长；

（2）在图2中，先在48上画点尸，使得CF=BC,再分别在/D,48上画点M,N,使得四边形2cW

是平行四边形.

4.（23-24九年级上•江苏南京•阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩

形长为,宽为1.

（图1）（图2）（图3）

一分为二

（1）如图1,将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，贝壮的值为

（2）如图2,将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，贝I。的值为.

一分为多

（3）有同学说“无论。为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意

这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例.

一分为三

（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似.画出所有可能的分割方案的示意图，并在每

个示意图下方直接写出对应的。的值.

5.(20-21八年级下•山东淄博•期末)如图，四边形/BCDs四边形且乙4=62。，Z5=75°,

ZD'=140°,AD=9,A'B'^U,A'D'=6,B'C'=8.

(1)请直接写出：ZC=度;

⑵求边N3和8c的长.

6.(23-24九年级上•广西南宁•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，A/8C的三个顶点坐标分别为

2(3,2),C(2,3)(每个方格的边长均为1个单位长度)，请按下列要求画图:

⑴△4B©与O8C关于原点。成中心对称，画出△4瓦。1并写出点4的坐标；

(2)以原点O为位似中心，相似比为2,在第一象限内将。3c放大，画出放大后的并写出点打的坐

标；

(3)根据信息回答问题：已知13C的面积为边上的高为士生，请直接写出的面积和4为边

25

上的高的值.

压轴题型二比例线段压轴题型

1.（2020九年级•黑龙江大庆•学业考试）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底

的长度之比是避工（避二1x0,618,称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，

22

最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是叵11.若某人满足上述两个黄金分割比例，且

2

腿长为105c机，头顶至脖子下端的长度为26c加，则其身高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

2.（2024・四川乐山•一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题:

点G将线段分为两线段MG,GN,使得其中较长的一段MG是全长与较短的一段GN的比例中项,

即满足些=丝=避二L后人把寸亘这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”

MNMG22

点.如图，在。3C中，已知NB=/C=3,BC=4,若。，£是边3C的两个“黄金分害广点，则的

面积为.

ace

3.（23-24八年级下•贵州六盘水•期末）已知〃，b,c,d,e,/六个数，如果g=;=7=左（6+"+/。。），

a+c+e

那么=k

b+d+f

理由如下:

a

=k（b+d+/w0）

~bd

Aa=bk,c=dk,e=fk（第一步）

a+c+e=bk+dk+fk=k1b+d+f）=k（第一井）

b+d+f~b+d+f-b+d+f~

⑴解题过程中第一步应用了—的基本性质；在第二步解题过程中，曾筌“应用了—的基

本性质；

(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：

①如果彳=7=亍=2,则=

30/1o

②已知?=5=1片0,求:J+：的值•

345x+2y-3z

4.(23-24九年级上•四川内江•期中)巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图

可看作宽与长的比是」了的矩形，我们将这种宽与长的比是，子的矩形叫黄金矩形.如图①，已知黄

金矩形43。的宽48=1.

■■电.......।

JI叫图①图②

(1)黄金矩形/5CD的长8C=_；

(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以N5为边的正方形NBEF,得到新的矩形。CM,猜想矩形

DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；

(3)在图②中，连接/E,求点。到线段/E的距离.

5.(22-23九年级上•浙江倜测)若实数。，b,c满足“+"c=——"="+：一。求("+”＞伍+，＞("+。)

cababc

的值.

6.（23-24九年级下•山东淄博•期末）已知a,b,c,d为四个不为0的数.

（1）如果£=3,求胃与弋的值;

bba+b

(2)如果w"cwd),求证，Q=：

bab-ad-c

/八上HQ+CaQc

⑶如果KT厂求证Z=Z

压轴题型三相似三角形的判定压轴题型

1.（21-22九年级上•陕西咸阳•期中）如图，在矩形/3CQ中，E是ND边的中点，BELAC,垂足为尸，连

接。尸，分析下列四个结论，①AAEFsACAB,②CF=2AF；@DF=DC-④阻=旦.其中正确的

4C2

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.（2024•广东深圳•二模）如图，在等腰直角05C中，AB=BC=4,D为BC上一点,£为8€;延长线上

一点，且/D/E=45。，AE=2AD,则.

3.（2024•广东梅州・模拟预测）（1）如图1,在矩形/8CZ）中，点C,。分别在边。C,3c上，ABA.AB,

垂足为点G.求证：4ADEs《DCF.

图I

【问题解决】

（2）如图2,在正方形/2CD中，点E,尸分别在边。C,BC上，AE=DF,延长到点方，使

CH=DE,连接。求证：ZADF=ZH.

图2

【类比迁移】

（3）如图3,在菱形Z8CD中，E,尸分别在边。C,BC上,AE=DF=10,DE=1,NAED=60。，求C尸

的长.

B

图3

4.（2024•山西晋中•二模）综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论.如图1,

正方形中，48=4,点E,尸分别是边4D的中点，连接E尸，点G是线段E尸上的一个动点,

连接/G,将线段NG绕点N逆时针方向旋转90。，得到连接如，GB.

图1

猜想证明：

（1）针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现G8=A3,请你证明这一结论；

操作探究：

（2）“善思小组”提出问题：如图2,当点G为线段EF的中点时，连接试判断四边形/GS的形状,

并说明理由；

深入探究：

（3）“创新小组”在认真分析了旋转到不同位置时的情形后，提出问题：若直线BG与直线。〃交于点

当为直角三角形时，请直接写出四边形NGM/的面积.

5.（2024•安徽蚌埠一模）如图1,在四边形Z8C。中，/ABC=120°,ZADC=60°,对角线/C,8D相

交于点O,且4C=4D,BD平分/ABC.

（1）求证：DB=AB+CB；

（2）如图2,过点。作。E〃4B,使DE=5C,连接4E,取4E中点F,连接。尸，求证：

AC2=2DFOD.

6.（23-24九年级上•湖南常德•期中）（1）如图1,在四边形48CD中，ZBAD=ZBCD=90°,连接

AC,BD,过点/作交C5的延长线于点E,求证：NE=NACD.

（2）如图2,在四边形48CD中，AB=AD,（1）中的其它条件不变，点M,N分别是8DEC的中点,

连接NN,AM,MN.

②求证：△ABEs/\AMN.

压轴题型四相似三角形的性质压轴题型

1.（22-23九年级上•上海长宁•期中）已知点。在。3c的边8c上，联结如果△43。与A/C。相似,

AB2BD

那么下列四个说法：①NBAD=NC；®AD1BC；③AD』DCD；@一定成立的是

~ACT~'CD

().

A.②④B.①③C.①②③D.②③④

2.（2024•上海浦东新•三模）如图，在“8C中，AC=BC=3,NC=90。，点。在边2C上（不与点8,点

C重合），连接N。，点E在边上，NEDB=NADC.已知点/■在射线/C上，连接交线段于点

G,当CH=1,且=时，则一=.

3.(23-24八年级下•山东威海・期末)如图1,矩形/BCD,点E,点厂分别为3c上的点，将矩形沿

E尸折叠，使点8的对应点夕落在C0上，连接88'.

图1图2

(1)如图2,当点"与点。重合时，连接BE,试判断四边形的形状，并说明理由;

(2)若/8=6,BC=8,求折痕E尸的最大值.

4.(23-24八年级下•山东东营・期末)综合与探究

(1)如图1,在正方形48CD中，点£,厂分别在边5C,CD上，且4EL8尸，则线段4E与时的之间的数量

关系为;

⑵【类比探究】如图2,在矩形48CD中，AB=3,AD=5,点、E,尸分别在边2C,CD±.,且4EL3尸，

请写出线段NE与的数量关系，并证明你的结论.

(3)【拓展延伸】如图3,在放A/5C中，ZABC=90°,AB=4,BC=6,。为2C上一点，且3D=2,连接

AD,过点2作BE，/。于点尸，交AC于点、E,求BE的长.

5.(23-24九年级下•广西南宁•阶段练习)已知等边AA8C,以/C为斜边向外作RtZUCD,定义RtZUC。

为等边“8C的"关联直角三角形"，连接5D交NC于点E,下面我们来研究与二二的值有关的问题.

图①图②图③

(1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，3的值为

(2)如图②，当“关联直角三角形”是含30。的直角三角形时，求；”的值；

BE

DF1

(3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，^AB=6,—^~,求8。的值.

BE3

6.(2024•安徽•中考真题)如图1,BCD的对角线/C与AD交于点。，点M,N分别在边4D,8c上,

且ZM=CN.点E,厂分别是8。与/N,CW的交点.

施AMD庭AA/D阙AMD

BNCBNCBNC

图1图2图3

⑴求证：OE=OF-

(2)连接5M交/C于点连接Zffi,HF.

(i)如图2,若HE〃AB,求证：HF//AD；

(ii)如图3,若。/BCD为菱形，S.MD^2AM,ZEHF=60°,求一的值.

压轴题型五相似三角形的应用压轴题型

1.（2024•浙江温州•三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2,今有井直径

CD为5尺,不知其深AD.立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径。尸”

为4寸，问井深/。是多少？（其中1尺=10寸）”根据译文信息，则井深4。为（）

E

立木

入径

井深

B

井水水面

图1图2

A.500寸B.525C.550D.575

2.（2022•浙江金华•一模）将一本高为17cm（即所=17cm）的词典放入高（AB）为16cm的收纳盒中（如

图1）.恰好能盖上盒盖时，测得底部厂离收纳盒最左端8处8cm,若此时将词典无滑动向右倒，书角"的

对应点中恰为CD中点.

（1）收纳盒的长8C=；

（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边3c有公共

点.

3.（2024•江苏南京•一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射.图

中，凸透镜E尸的焦距为了,主光轴斯，A,B,C,。都在/上，其中。是光心，OB=OD=2f,蜡烛

PQ^l（蜡烛可移动，且。。>/）,光线PG〃/,其折射光线GC与另一条经过光心的光线尸P相交于点P

（P。'，/）即为蜡烛在光屏上所成的实像.图中所有点都在同一平面内.记物高（P。）为〃，像高（尸@'）为

h,,物是巨（。。），像是巨（。。'）为v.

111

(2)求证一+―=二.

uvf

（3）当了一定时，画出v与w之间的函数图象（w>/）,并结合图象描述v是怎么随着瓦的变化而变化的？

4.（23-24九年级上•河北邢台•阶段练习）如图1,小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧

面示意图，立杆48、CD相交于点。，B、。两点在地面上，经测量得到”=CD=136cm,OA=OC=51cm,

OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开，扣链斯成一条线段.

发现：连接/C.则/C与所有何位置关系?并说明理由；

探究：若环=32cm,求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？

5.（22-23九年级上•浙江•单元测试）如图，RM/8C为一块铁板余料，Z5=9O°,BC=6cm,AB=8cm,

要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长.

方案①

6.（2022九年级•全国•专题练习）阅读理解:

AHEF

如图1,4D是AIBC的高，点£、尸分别在和/C边上，S.EF//BC,可以得到以下结论:~AD~^C

拓展应用:

（1）如图2,在A48C中，BC=3,8c边上的高为4,在A48C内放一个正方形EFGM,使其一边GM在BC

上，点£、尸分别在48、AC±,则正方形EFGM的边长是多少？

（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm,底边长为160c加的等腰三角形展台.现需将

展台用隔板沿平行于底边，每间隔10c加分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，

要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒.平面设计图如图3所示,将底边BC的长度看作是0排隔板的长度.

①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单

位：排）的变化而变化.请完成下表：

排数/排0123

隔板长度/厘米

160———

若用〃表示排数，V表示每排的隔板长度，试求出y与〃的关系式;

②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒?

压轴题型六重心的性质压轴题型

1.（23-24九年级上•浙江宁波•期末）如图，点G是A4BC的重心，过点G作MN〃分别交ZB/C于

点、M,N,过点N作ND〃/2交6c于点。，则四边形3D7W与。5c的面积之比是（）

A.1:2B.2:3C.4:9D.7:9

2.（2023•上海•一模）在RtZUBC中，48=90。，ABAC=30°,BC=\,以/C为边在“8C外作等边

“CD,设点£、厂分别是03C和A/CD的重心，则两重心£与尸之间的距离是.

3.（2024•江苏盐城•中考真题）如图1,E、F、G、”分别是平行四边形/BCD各边的中点，连接NACE交

于点/，连接NG、CH交于点N,将四边形称为平行四边形23C。的“中顶点四边形”.

AN

MC

图1图2图3

(1)求证：中顶点四边形ZMCN为平行四边形;

(2)①如图2,连接/C、AD交于点。，可得“、N两点都在3D上,当平行四边形ABCD满足时,

中顶点四边形ZMCN是菱形;

②如图3,已知矩形/MCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边

形.(保留作图痕迹，不写作法)

4.(23-24七年级下•江苏扬州•阶段练习)作图.

(1)直尺作图：如图1,已知。、E分别为48、4C中点，过点/作的平分。3C面积;

(2)直尺作图：如图2,已知/D〃5C,在四边形/BCD中作一点。，使=$△««；

(3)尺规作图：如图3,已知。为NC中点，点M在8C,在/C上作点N使aW平分08C面积.

依据1：依据2：

(2)应用

①如图，在“8C中，点G是〃3c中的重心，连接4G并延长交5c与点E,若GE=3.5,求NG长.

②在“5C中，中线8E相交于点O,若02C的面积等于30,求ABOD的面积.

A

E

D

6.（2024・河南周口•三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们

平时研究的重点，如图1,已知。5c是等边三角形.P是的重心，连接8尸，C尸并延长分别交边

AC,48于点E,D.

试判断:

①28尸。的度数为二

②线段尸8,PD,PE之间的数量关系：PB_PD+PE；（填写“”，<”或“=”）

（2）如图2,若在等边“8C中，点E是射线/C上一动点（其中点E不与点/重合，且CE<g/C）,连

接8E,作边切关于直线BE的对称线段8D,直线办生相交于点P,试探究线段尸BPC,尸。的数量

关系，并说明理由.

压轴题型七平面向量的线性运算压轴题型

1.（23-24九年级上•上海•期中）下列判断不正确的是（）

A.2(a+b)=2a+2b.

B.如果向量@与B均为单位向量，那么或。=_加

c.如果G=那么同=［；

D.对于非零向量B,如果力=-”左W0),那么

2.(2024•上海普陀•二模)如图，梯形/BCD中，AD//BC,过点A作NE〃0C分别交AD、BC千点、F、

RF?

E,——,设/Z)=a，AB—b，那么向量FE用向量“、B表不为_____.

oC3

3.(23-24八年级下•上海崇明•期末)如图，点K在平行四边形的对角线5。的延长线上.

⑴填空：BA+AB=_^BA+AE+ED+DC=_;

(2)图中与万相等的向量是与赤相反的向量是「

(3)求作：DC+DE(不写作法，保留作图痕迹，写出结论).

4.(23-24八年级下•上海•期末)如图，在四边形/BCD中，4D/8C,点。是对角线/C的中点，。。的

延长线与3c相交于点£,设方=£,AD=b-BE=c.

⑴试用向量2、3、"表示向量：而=;

(2)写出图中所有与而互为相反向量的向量：；

(3)求作：AD+OC.(画出所求向量，并直接写出结论)

5.(23-24八年级下•上海闵行•期末)如图，已知梯形48CD中，AB//DC,点、E在AB1.,ED//BC.

⑴填空：BE+ED+DC+CB=_，

(2)填空：~BA+AD+DC-EA=^

(3)在图中直接作出荏+而一刀.(不写作法，写结论)

6.(2022八年级下•上海・专题练习)如图，已知点〃是AIBC边2c上一点，设方=Z，AC^b-

(1)当诙;=2时，AM=;(用£与否表示)

伞―.4-37…BM

(2)当4y=］。+亍6时，菽7=；

(3)在原图上作出而在益、芯上的分向量.

压轴题型八相似三角形的动点问题

1.（2020•山西・一模）如图，在。3C中，AB=AC=8,BC=6,点尸从点B出发以1个单位长度/秒的速

度向点/运动，同时点。从点C出发以2个单位长度/秒的速度向点8运动，其中一点到达另一点即停.当

以B,P,。为顶点的三角形与“8C相似时，运动时间为（）

A

O

249249

A.U"秒B.m秒C.而■秒或1秒D.以上均不对

2.（2023八年级上•江苏•专题练习）如图，在。5c中，ZC=90°,AC=3,BC=4,动点P从点8出发

以每秒1个单位长度的速度沿2-A匀速运动；同时点。从点A出发同样的速度沿/-»CTB匀速运动.当

点P到达点A