相似三角形的常考题型（9大热考题型）解析版-2025年中考数学一轮复习知识清单

难点10相似三角形的常考题型

（9大热考题型）

麴型盘点N

题型一：比例的性质

题型二：黄金分割

题型三：相似多边形的性质

题型四：平行线分线段成比例定理

题型五：相似三角形的判定

题型六：相似三角形的性质

题型七：相似三角形的性质与判定的综合

题型八：相似三角形的实际应用

题型九：图形位似

.睛淮提分

题型一：比例的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2024・四川成都・中考真题）盒中有X枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随

Qx

机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是则一的值为______.

8y

【答案】|3

【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是J3,可得r丁3=W，

8x+y8

进而利用比例性质求解即可.

【详解】解：•••随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是：3，

O

x3.x3

・・・^=$，则一=£，

x+y8y5

3

故答案为：—.

【变式1-1］（2023•甘肃武威・中考真题）若W=则必=（）

2b

32

A.6B.—C.1D.一

23

【答案】A

【分析】根据等式的性质即可得出结果.

【详解】解：等式两边乘以2b,得必=6,

故选：A.

【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键.

【变式1-2］（2023•浙江•中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是

一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程.图中横线处应填：_

当x=y=6时一%厂|当@=▲时abI-

a=y

xcbc--------

比例线段出现比例中项线段出现特殊线段比

【答案】2

【分析】根据题意得出。=缶,。=变6,进而即可求解.

2

【详解】解：3

bc

a=42b9c=^-b

2

a_41b

故答案为：2.

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

YX—V

【变式1-3］（2023•四川甘孜•中考真题）若二=2,则一=.

y>

【答案】1

【分析】根据比例的性质解答即可.

Y

【详解】解：一=2,

y

£Z2=£-I=2-I=I

yy

故答案为：L

【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质.

【中考模拟即学即练】

<7+Ah+cac

1.（2024.安徽蚌埠.模拟预测）已知次七二0,M—=—==那么%的值是（）

cab

A.2B.-1C.2或0D.2或一1

【答案】D

【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题的关键，注意分类讨论.

当Q+b+cwO时，利用比的等比性质求解；当〃+b+c=O时，则〃+8=一0,再代入求值即可.

【详解】解：①当a+b+cHO时，由等比性质可得：=上

a+b+c

即：2（。+"。）*2；

a+b+c

②当a+b+c=0时，贝ij

.7a+b—c1

,.K=------=—=—1,

cc

所以人的值是2或-1,

故选：D.

2.（2024.浙江宁波二模）已知3a=2人/NO）,则下列比例式正确的是（）

A。2cabbla2

A.—=—B.—=—C.—=—D.—=—

3b32a3b3

【答案】D

【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答.

【详解】解：A、

3b

・♦cib=6,

故A不符合题意；

B•,一

32,

2a=3b,

故B不符合题意；

-.b2

C、・一二一，

a3

2a=3b,

故C不符合题意；

D、・・.g=2,

b3

/.3a-2b,

故D符合题意；

故选：D.

3.（2024•广东深圳•一模）已知3=2=£/0,且a+b-2c=6,那么6=_________

654

【答案】10

【分析】本题主要考查了比例的性质，用％分别表示久氏c的值是解题的关键.设比值为人,利用比例的

性质得到。=6人力=5£c=4左，故6T+5左一8左=6,求出左的值即可得到答案.

【详解】解：设）=3=小，

654

故a=6k,b=5k,c=4k,

故6汰+5汰一8/=6,

:.k=2,

b=2k=10,

故答案为：10.

4.（2025•上海闵行•一模）如果?=那么当的值为

b2a-b

【答案】6

【分析】本题考查了比例的性质.利用比例的性质，进行计算即可解答.

【详解】解：•••一=：,

b2

・,•设a=3左，b=2k,

.2a_2x3%-6

a-b3k-2k'

故答案为：6.

abc3%+2y—z

5.（2024•江西九江•模拟预测）已知一二一二一，则^—若一（其中3x-2y+zw。）的值是__________

xyz3x-2y+z

3a+2b-c

【答案】

3a-2b+c

【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

T^-=Z=-=k,贝qx="£y=4:,z=M,代入原式化简计算即可.

abc

…八abc

【详解】解：・・・-=-=-,

xyz

•・•1-—Z-―1

abc

则％=ak,y=bk,z=ck,

3x+2y-z_3ak+2bk-ck_3a+2b—c

3x—2y+z3ak-2bk+ck3a-2b+c

故答案为:察言

题型二：黄金分割

【中考母题学方法】

【典例1】（2023・四川达州•中考真题）如图，乐器的一根弦AB=80cm,两个端点A,8固定在乐器面板上,

支撑点C是靠近点8的黄金分割点，即支撑点。是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑

点C,。之间的距离cm.（结果保留根号）

【答案】（80君-160）

【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键.设AC=xcm,则

BC=（80-x）cm,由AC2=BC.A5得％2=80（80一%），解方程求出AC的长，同理求出AC的长，进而可求

出点C,。之间的距离.

【详解】解：设AC=xcm,贝iJ3C=（80-x）cm,

AC2=BCAB,

..x2=80（80-x）,

解得石=40石一40,%=T0后一40（舍），

AC=（4075-40）cm,

同理可求，BD=^40A/5-40）cm,

AD=AB-BD=80-（40君-40）=（120-40币）cm,

CD=AC-AD=（40右一40）-（120-404）=（8075—160km.

故答案为：他4-160）.

【变式2-1］（2024.山西・中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉

字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点48分别在习字格的边MN,尸0上，且至〃NP,“晋”

字的笔画的位置在钻的黄金分割点C处，且笥二与1,若NP=2cm,则BC的长为一即（结

果保留根号）.

Ml~~~12

N'——1——1——10

【答案】（斯-1）/卜1+君）

【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形ABPN是矩形,

根据黄金分割的定义可得生=避二k据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键.

AB2

【详解】•・,四边形MNP。是正方形，

ZN=ZP=90°,

AB//NP,

：.NBA7V+Z2V=18O。，

ZBAN=9Q°,

・・・四边形ABPN是矩形，

・•.AB=NP=2cm.

；/..BCA/5—1

•----=--------，

AB2

/.BC=^\/5-ijcm,

故答案为：V5-1.

【变式2-2］（2022・陕西・中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种

“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做跖将矩形窗框A5CD分为

上下两部分,其中E为边A3的黄金分割点，即8皮=4?.已知为2米,则线段班的长为米.

【答案】（君-1）/卜1+君）

【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得丝=—=屿二1,代入数值得出答案.

BEAB2

【详解】•••点E是A8的黄金分割点，

.AE___指-1

..茄—茄一2-'

•：AB=2米，

BE=（非-D米.

故答案为：（石-1）.

【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键.

【中考模拟即学即练】

1.（2024.广东•模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美.如图,

点尸是AB的黄金分割点，即廿=避二1,且二1这个无理数约是（）

【答案】B

【分析】本题考查了黄金分割的意义,无理数的估算.先估算得出2.2（百<2.3,据此求解即可.

【详解】解：V2.2<^<2.3,

A1.2<A/5-1<1.3,

0.6<<0.65，

2

观察四个选项，选项B符合题意；

故选：B.

2.（2024・安徽合肥・三模）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于

中国各地.若古筝上有一根弦=90cm,支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则BC=（）

A.（45宕+45kmB.（9075-45）cm

c.（45^-45）cmD.（135-45小卜111

【答案】C

【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是

解此题的关键.

【详解】解：：AB=90cm,支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，

,BC=^^AB=^^X90=卜5退一45卜01,

故选：C.

3.（2024.湖南长沙.模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与

较大部分的比值，其比值为避二L这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.如图，

2

乐器上的一根弦长钻=80cm,两个端点A,2固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支

撑点。是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C,。之间的距离为cm.（结果保留根号）

【答案】卜。4-160）

【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义分别求出AC,DB,再根据线段的和差关

系进行计算即可解答.

【详解】解：:点C是靠近点8的黄金分割点，AB=80cm,

AC=AB=80=（40A/5-40）cm,

,/点D是靠近点A的黄金分割点，45=80cm,

DB=^-l-AB=^^x80=（40A/5-40）cm

ACD=AC+BD-AB=2（404-40）-80=（80石-160）cm,

.••支撑点C,。之间的距离为（80君-160km,

故答案为：（804-160）.

4.（2024.江苏苏州•一模）如图，将。。的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.此

时点M是线段AD,5石的黄金分割点，也是线段NE,的黄金分割点，则MN£=.

A

【分析】本题考查了黄金分割，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键.连接根据题意可得：AB=DE，从而利用等弧所对的圆周角相等可得=进而可

得心L=然后利用黄金分割的定义进行计算即可解答.

【详解】解：连接AE,

,,AB=DE9

：.ZAEB=ZDAE,

：.MA=ME,

•.,点M是质的黄金分割点，

.MENM75-1

2

.NMA/5-1

"AM-2

故答案为：叵口.

2

5.（2024•福建厦门•模拟预测）活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可

以通过折叠得到黄金矩形.请根据每一步的操作完成以下填空.（假设原矩形纸片的宽为2cm）

MB

①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然

后把纸片展平，则NC=______cm；

N47图］

如图，已知线段a,请你根据以下步骤作出以2a为腰长的黄金三角形”AEC.（要求：尺规作图，保留作

图痕迹，不写作法）

a

■।

步骤一：作一条线段G",使得的长度等于,的腰长；

步骤二：作一条线段P。，使得的长度等于,A9C的底边长；

步骤三：作黄金三角形A'B'C.

【答案】（1）活动一：①2；②1；③#-1；④史二M

2

（2）见解析

【分析】活动一：利用折叠的性质和勾股定理解答即可；

活动二：利用作一条线段等于已知线段的方法，黄金分割的作法和SSS公理解答即可.

【详解】解：活动一：

①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则NC=MN=2cm；

②如图2,把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则AC=A7V=；NC=lcm；

③折出内侧矩形的对角线AB,并把A8折到图3中所示的AD处，则

AD=AB=4ACr+BC^==45cm-

④展平纸片，按照所得到的点D折出。E,DE=BC=2cm,CD=AD-AC=(y/5-l)cm,则C2=1二1：

v'BC2

活动二：

步骤一：作一条线段GA,使得GH的长度为2a,

G//H

步骤二：1.过点H作于点H,

2.在上截取=连接GE,

3.在EG上截取EK=a,

4.以点G为圆心，以GK为半径画弧交于点则点M为GH的黄金分割点，GM的长度等于，1二1GX,

2

步骤三：作A'B'C',作线段3'C'=GM,分别以",C'为圆心，以GM为半径画弧，两弧交于点A,连接

则.AB'C'为黄金三角形.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，黄金分割的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，基

本作图，本题是操作性题目，熟练掌握基本作图的知识和折叠的性质是解题的关键.

6.(2024.江苏盐城.二模)【教材呈现】苏科版数学九年级下册课本尸52第2题

如图1,点尸是线段的黄金分割点，且上4＞尸3,凡表示以上4为一边的正方形的面积，邑表示以为

长、P8为宽的矩形的面积，请根据教材内容，尝试解决以下两个问题:

（1）若AB=10,贝（结果保留根号）；

（2）4S2（填“〈”或“=”）.

【初步探究】

（3）将图1补成矩形。EGF,如图2,小明猜想点尸在矩形£>£GP的对角线£>G上，请帮助小明判断其猜

想是否正确，并说明理由.

【深入探究】

（4）如图3,已知线段48为0的弦，请利用无刻度直尺和圆规，在线段A5上作一点P,在圆上作一点

Q,使得必=丝=避二L（不写作法，保留作图痕迹）

PAAQ2

【分析】（1）利用黄金分割比解答即可；

（2）利用黄金分割的性质得到：设18=（#-1）左,则％=2后,AB=PA+PB=（j5+l）k,利用矩形的性质，

正方形的性质和矩形的面积公式解答即可；

（3）连接。P,GP,过点尸作尸”LAB,交DE于点H,交G歹于点/,利用黄金分割比的性质和相似三

角形的判定与性质得到ZPGI=ZDPB,再利用平角的定义解答即可；

（4）利用线段垂直平分线的性质，勾股定理解答即可得出线段A8的黄金分割点；再利用相似三角形的判

定与性质解答即可.

【详解】解：（1）•点尸是线段48的黄金分割点，且上4>尸3,

,PAV5-1

••---=-----，

AB2

AB=10,

:.PA=5y/5-5.

故答案为：575-5；

(2)「点P是线段AB的黄金分割点，且尸3,

.PB非-1

••---=-----.

PA2

设PB=*-l)k,贝!JD4=23AB=PA+PB=^+l)k.

22

S.=PA=4k9邑二(逐一1)匕(6+1)左=4女2,

/.S.=S2,

故答案为：=；

(3)小明猜想点P在矩形。EG尸的对角线0G上，小明的猜想正确，理由:

连接OP,GP,过点P作尸交DE于点H,交G厂于点/,如图，

DHE

\

\

\

\P

\

\

\

\

X

\

\

\

\

\

\

\

\

\

FIG

则四边形。耳狎，四边形DB4E,四边形尸/GA,四边形尸尸G4为矩形,

:.DH=PB,PA=IG,P1=BF=AB,ED=AB=FG,/DBP=/PIG=9伊,

四边形印“E为正方形，

:.PA=HE=AE=BD,

:.BD=PA,

"•点尸是线段A5的黄金分割点，且P4＞必，

.PA_PB

,,AB-PA?

,IG_PB

,•~~—―__，

PIBD

ZDBP=ZPIG,

:.PIGs.DBP,

:./PGI=ZDPB.

.ZPGI+ZIPG=90°,

:.NDPB+NIPG=90。,

ZDPB+ZBPI+Z1PG=90°+90°=180°,

二点O,P,G在同一直线上，

二点尸在矩形DEGF的对角线DG上；

（4）①.过点。作OMLAB于点Af,

②.过点B作的垂线，在此垂线上截取3c=90,

③.连接AC,以点C为圆心，3C为半径画弧交AC于点。，

④.以点A为圆心，以AD为半径画弧，交于点P,则点尸为的黄金分割点.

⑤.以点8为圆心，以AP的长为半径画圆交圆。于点。，

⑥.连接A。，PQ,则点Q为所求的点.如图：

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，线段的

垂直平分线的性质，线段的黄金分割，相似三角形的判定与性质，基本作图，矩形的判定与性质，熟练掌

握黄金分割的性质是解题的关键.

题型三：相似多边形的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2022•广西梧州•中考真题）如图，以点。为位似中心，作四边形A3CD的位似图形AZO,已

0A1

知入7=7,若四边形A5CD的面积是2,则四边形AZ'C力的面积是（）

OA3

D'

A.4B.6C.16D.18

【答案】D

【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解.

【详解】解：由题意可知，四边形A3C。与四边形相似，

由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：（3=^噌=j，

又四边形ABCD的面积是2,

二四边形A‘B'C力'的面积为18,

故选：D.

【点睛】本题考查相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键.

【变式3-1］（2023・山东・中考真题）如图，四边形ABC。是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使

D4边落在DC边上，点A落在点〃处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点3落在点G处，折痕为CP.若

矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1,则CO的长为（）

DHGC

AEFB

A.72-1B.75-1C.V2+1D.75+1

【答案】C

【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得DH=CG=L设CO的长为x,则HG=x-2,再根据相似多

边形性质得出黑=婴，即J=手，求解即可.

CDADx1

【详解】解:，由折叠可得：DH=AD,CG=BC,

:矩形ABC。,

AD=BC=1,

：.DH=CG=1,

设CO的长为x,则HG=x-2,

•..矩形HEVG,

EH=1,

:矩形HER?与原矩形ABC£）相似,

EHHG1x-2

——=——，即nn一=----,

CDADx1

解得：x=0+l（负值不符合题意,舍去）

CO=0+1，

故选：C.

【点睛】本题考查矩形的折叠问题,相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题

的关键.

【中考模拟即学即练】

1.（2024.云南昆明•模拟预测）如图.ABCD与YAEFG关于点A成位似图形，若他们的位似比为2:3,贝|

ABCD与YAEFG的面积比为（）

EF

&

DG

A.4:9B.1:9C.2:3D.1:3

【答案】A

【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似多边形的面积比等于相似比的

平方是解题的关键.根据位似图形的概念得到，ABCD与YAEFG相似，根据相似多边形的性质计算，得到

答案.

【详解】解：VABCD与YAEFG关于点A成位似图形，他们的位似比为2:3,

；ABCD与YAEFG相似，他们的相似比为2:3,

4:91

;ABCD与YAEFG的面积比为3=r

故选：A.

2.（2023•浙江宁波•模拟预测）如图，装裱一幅宽45cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原

矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为12cm,若装裱上去的左右部分的宽都为xcm（x<20）,则》=（）

—45f

A.9B.12C.16D.18

【答案】A

【分析】本题考查了相似图形的性质，解分式方程的运用，根据相似的性质“对应边成比例”即可求解.

【详解】解：根据题意，大矩形的长为：60+12x2=84（cm）,宽为：（45+2x）s,

;大矩形与原矩形画相似，

.6045f6045

"84-45+2尤-45+2无―84'

解得，x=9或x=33.5>20（不符合题意，舍去），

检验，当x=9时，原分式方程的分母不为0,有意义，

x-9,

故选：A.

3.（2024•重庆渝北•模拟预测）我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对

开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸ABCD沿所对

AR

开后，再把矩形纸沿G8对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么f等于（）

AD

【答案】C

【分析】该题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质.

根据矩形A5CD与矩形WE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ADEE面积的2倍，根据相似图形面积比

是相似比的平方，即可得；

【详解】解：•••矩形ABCD的面积是矩形皿E面积的2倍,

:各种开本的矩形都相似，

小，

故选：C.

4.（2024.浙江宁波.一模）如图，点。为四边形ABC。内的一点，连结Q4,Q8,OC,。，若

箸=嗡=器=器总’则四边形AB'C'D的面积与四边形,。的面积比为《）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】D

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，得出两四边形的相似比是解题关键.利用位似图形的定义得出

四边形AB'C'D与四边形的位似比为;,进而得出面积比,即可得出四边形AB'C'D的面积与四边形

ABC。的面积比.

..OA_OB'_OC_OD'_1

【详解】解:

"04"OB-OCOF-4

四边形AB'C'D与四边形ABC。的位似比为!,

二四边形AB'CD'与四边形ABCD的面积比为1:16,

故选：D.

5.（2024.浙江宁波.模拟预测）如图，已知ABCD中,点E,F,G,a分别为AB,CD,AD,BC1.

的点，且跖〃3C,GH//AB,G”分别与跖，所相交于点M,N,若.AEMSEBCF,则△9W的

面积一定可以表示为（）

D

B

EBCFAEFDB・5(SEBHN-SGMFD)

SAEMG)

ABHG-SGHCD)D.Q(SEBHN

【答案】B

【分析】如图，过点A作AQ，斯于点。，过点E作EP，5c于点尸，过N作AWL5C于W,设NO=。，

BE

设AE=Q,EM=b,=k,由iAEMGs£BC尸，得BE=ak,BC=bk,MffiZAEF=Z.EBP—a,四

AE

边形AEMG,四边形AEFD,四边形A3HG,四边形BCFE,四边形MHb,四边形GHCD,四边形

都是平行四边性质，得叮=5。=〃攵，CF=EB=ak,BH=EM=b,ZNHW=ZD=a,MF=b(k-l),

进而利用面积公式即可得解.

【详解】解：如图，过点A作AQ,石尸于点。，过点E作EPJ_5c于点。，过N作AW,5c于W,设NO=a,

BE

设AE=a,EM=b,

AE

AEMG^EBCF,

BE型=3

AEEM

BE—ak,BC=bk,

四边形ABC。是平行四边形,

AB//CD,AD//BC,NEBP=ND=a,

EF//BC,GH//AB,

EF//BC//AD,GHAB\CD,

ZAEF=NEBP=a,四边形AEMG,四边形AEED,四边形四边形BCFE,四边形MHCV,四

边形GHCD,四边形EBHM都是平行四边性质,

EF=BC=bk,CF=EB=ak,BH=EM=b,ZNHW=ND=a,

：.MF=b(k-l)f

・.・AQ_L石尸于，EPYBC,

/.EP=BE-sinAEBP=aksma,AQ=AE-sinAAEF=asina,

/.SEBHM-SGMFD=〃》sina一曲(％—l)sina="sina=S也始•

9：GH//CD,

:,NBHN=NC,NBNH=NBFC,

:.△BHNs^BCF,

HNBHHNb

：.——=——,即pn——=—,HN=a.

CFBCakbk

VAW1BC,

・•・NW=NHsinZNHW=asina,

••SBHN=—BH-AW=—absina=—(^SEBHN-SGMFD).

故选B.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解直角三角形，相似形的性质，

熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键.

6.(2023・海南海口•模拟预测)有一张矩形纸片M、N分别是A。，3。的中点，现沿线

段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为.

【答案】1:72

【分析】本题考查了相似多边形的性质.熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键.

设AB=CD=a,BC=AD=2b,0<a<2b,贝(JAM=匕=EV,由所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相

似，可得矩形ABCD和矩形AMVF相似，则有=黑，即:=之，可求”=伤，进而可求的值.

AMMNba

【详解】解：：矩形"CD,

^AB=CD=a,BC=AD=2b,0<a<2b,贝l」AM=6=3N,

四边形ABMW是矩形，

:所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，

矩形ABCD和矩形AMNB相似，

ABBCa2b

•・而=而，即广丁’

解得，a=J5b或a=(舍去),

：・AB:BC=a:2b=5.2=l:母,

故答案为：1:0.

题型四：平行线分线段成比例定理

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•山东济南•中考真题）如图，在正方形9CD中，分别以点A和8为圆心，以大于［AB的

2

长为半径作弧，两弧相交于点E和尸，作直线所，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线跖于

点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交8C于点K.若3K=2,则正方形ABCD的边长为（）

C3+A/5

D.73+1

,2

【答案】D

【分析】连接AG,设跖交于点，，正方形边长为2x,由作图知，AG=AD=2x,垂直平分AB,

得到=NAHG=90。，由勾股定理得到G"二V§x,证明A。GHBC,推出OG=GK,推出

GH=x+1,得至1」括力=X+1,即得2工=若+1.

【详解】连接AG,设跖交于点H,正方形边长为2%,

由作图知，AG=AD=2x,EF垂直平分AB,

AAH=BH=-AB=x,ZAHG=90。，

2

•**GH=JAG-AH2=氐,

ABAD=90°，

AD//GH,

AD//BC,

ADGHBC,

.DGAH1

•（——L,

GKHB

：.DG=GK,

BK=2,

：.GH=^（AD+BK）=x+l

V3x=x+l,

.V3+1

.•x=--------,

2

；•2x=若+1.

【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合.熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾

股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键.

【变式4-1］（2024・山东•中考真题）如图，点E为，ABCD的对角线AC上一点，AC=5,CE=l,连接OE

并延长至点八使得EF=DE,连接BF,则3F为（）

22

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助

线是解题关键.

解法一：延长。尸和A5,交于G点，先证LO£CS_G4E,得至!j—=—=—,AGE,得

AEGEAG

到EBF=方FG=93,即可求得结果；

AEEG4

解法二：作EH〃互交AC于点”，证明出,CDE用AHFE(AAS),得到HE=CE=1,FH=CD,然后证明

出四边形是平行四边形，得到BF=AH=AC—CH=3.

【详解】解：解法一：延长。尸和AB,交于G点，

•・・四边形ABCO是平行四边形，

ADC//AB,=即。C〃AG,

:・-DECS,GAE

.CEDEDC

**GE-AG

VAC=5,CE=1,

：.AE=AC-CE=5-1=4,

.CEDEDC\

*GE-AG-4

DE_DE1

又「EF=DE,

GE-EF+FG-4,

・EF1

••—―，

FG3

..DCDC_1

DC=AB

*^G~AB+BG~49

・DC1

••—―，

BG3

.EFDC1

*'FG-BG-3?

.BGFG3

**AG-£G-4

・•・AE//BF,

・・・,BGFs-AGE,

.BFFG3

^~AE~^G~lr

AE=4,

Z.BF=3.

解法二：作交AC于点打

：.2CDE=NHFE,NDCE=NFHE,

又：EF=DE,

：.&CDEWHFE（AAS）,

:.HE=CE=1,FH=CD,

•..四边形ABCD是平行四边形,

CD//AB,CD=AB,

：.HF//AB,HF=AB,

四边形ABFH是平行四边形，

BF=AH=AC-CH=3.

故选：B.

【变式4-2］（2024・吉林长春・中考真题）如图，在VABC中，。是边的中点.按下列要求作图:

①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段3。于点£）,交8c于点E；

②以点。为圆心、长为半径画弧，交线段Q4于点产；

③以点尸为圆心、OE长为半径画弧，交前一条弧于点G,点G与点C在直线同侧；

④作直线OG,交AC于点下列结论不一定成立的是（）

A.ZAOM=ZBB.ZOMC+ZC=180

C.AM^CMD.OM=-AB

2

【答案】D

【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的

关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出NAOM=/3,根据平行线的判定得出O河〃3C,根据平行

A]\4AO

线的性质得出NQMC+NC=180,根据平行线分线段成比例得出-7=义=1,即可得出40=00.

CMOB

【详解】解：A.根据作图可知：=一定成立，故A不符合题意；

B.*.*ZAOM=ZB,

:.OM//BC,

・・.NOMC+NC=180一定成立，故B不符合题意；

C.・・・0是边的中点，

AO=BO,

■:OM//BC,

.AMAO

・，.AM=CM一定成立，故C不符合题意；

D.不一定成立，故D符合题意.

2

【变式4-3]（2024・重庆・中考真题）如图，在VABC中，延长AC至点。，使CO=C4,过点。作。石〃C6,

且。£=OC,连接AE交5C于点方.若NC4B=NCE4,CF=1,则AF=.

【分析】先根据平行线分线段成比例证AF=EF,进而得Z?E=CD=AC=2CF=2,AD=4,再证明

CAB^DEA,得3C=AD=4,从而即可得解.

【详解】解：9：CD=CA,过点。作。石〃C5,CD=CA,DE=DC,

CA

：.—=—=1,CD=CA=DE,

FECD

：.AF=EF,

・•・DE=CD=AC=2CF=2,

：.AD=AC+CD=4,

■:DE//CB,

:,NCFA=NE,ZACB=ZD,

ZCAB=ZCFA,

，NCAB=NE,

■：CD^CA,DE=CD,

，CA=DE,

,CAB^DEA,

：.BC=AD=4,

：.BF=BC-CF=3,

故答案为：3,

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判

定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关

键.

【变式4-4］（2023・湖南益阳・中考真题）如图，在,ABCD中，AB=6,A£）=4,以A为圆心，AD的长为

半径画弧交A3于点E,连接OE,分别以DE为圆心，以大于;的长为半径画弧，两弧交于点尸，作

射线交。E于点M,过点/作朋N〃AB交BC于点N.则的长为.

【答案】4

【分析】由尺规作图可知，射线AF是NA4D的角平分线，由于AD=A£=4,结合等腰三角形“三线合一'

得M是DE边中点，再由MN〃AB,根据平行线分线段成比例定理得到N是边2C中点，利用梯形中位线

的判定与性质得到MN=；（DC+EB）即可得到答案.

【详解】解：由题意可知4£）=短=4,射线AF是4AD的角平分线，

•••由等腰三角形“三线合一''得M是OE边中点，

.MN//AB,

RNFM

，由平行线分线段成比例定理得到而一加4即N是边5c中点,

■■■是梯形3CDE的中位线,

MN=g（DC+EB）,

在<ABCD中，CD=AB=6,BE=AB—AE=6—4=2,则A/ZV=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分

线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性

质是解决问题的关键.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•浙江宁波•二模）如图，已知直线a//b//c,直线m分别交直线°,b,c于点AB,C,直线〃

AR3

分别交直线a,b,c于点D,E,F,若—OF=22，则所=（）

BCo

【答案】B

【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据

代入计算得到答案.

【详解】解：

.ABDE

••葭一百‘

火BC8

•DE.3

••-~,

EF8

,/DF=22,

.322-EF

>'8-EF

解得，EF=16.

经检验：EF=16是方程的解，

故选B

2.（2024.陕西咸阳・模拟预测）如图，在VABC中，。为边上一点，且AD平分，3AC,