直线和圆的方程（4大易错点分析+解题模板++易错题通关）原卷版

专题10直线和圆的方程

l一题型一：平行^求距离问题e、易错点：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错

_______________________一一一迹二：直线的考点”易错点：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况

直线和圆的方程

n"题型三：求有关圆的切线问题0、易错点：求有关圆的切线问题易混淆"在""过"

一题型四：与圆的代数结构有关的最值问题€＜易错点：忽喇率是否存在

易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问

题）

距离问题

画总总

①两点间的距离：已知后（王，%）,P,（%2，＞2）贝»6心|=（（为—千）2+（、2—'1）2

②点到直线的距离：d=

加。A：2珍+B。2：，

③两平行线间的距离：两条平行直线/1：/U+2y+G=0与l2:Ax+By+C2=0的距离公式

易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线尤,y前的系数统一，然后代入公式求算.

三9

例.已知直线乙：4x-3y+3=。，Z2:（m+2）x-（zn+l）y+zn=0（zneR）,则（）

A.直线4过定点（1，2）B.当机=2时，IJH2

C.当机=T时，D.当时，44之间的距离为g

变式1.曲线y=e2xcos3x在点（0,1）处的切线与其平行直线/的距离为右，则直线/的方程可能为（）

A.y=2x+6B.y=2x-4

C.y=3x+lD.y=3x-4

22

变式2.已知直线4：y^kx+1,l2：y^mx+2,圆C：（x-1）+（y-2）=6,下列说法正确的是（）

A.若4经过圆心C,贝!|左=1

B.直线4与圆C相离

C.若l\〃k，且它们之间的距离为则左=±2

D.若左=一1,4与圆C相交于M,N,贝!||肱V|=2

变式3.已知直线4:4x-3y+4=0,：(〃2+2)x-(〃2+I)y+2〃z+5=OOeR),贝(j()

A.直线4过定点(-2,-1)

B.当m=1时，4-L12

C.当m=2时，

D.当“4时，两直线4工之间的距离为1

1.若直线2x-y-3=0与4x-2y+a=0之间的距离为正，则。的值为（）

A.4B.75-6C.4或-16D.8或一16

2.若两条直线乙：y=2无+%,4：y=2x+〃与圆x2+y2-4x=。的四个交点能构成正方形，则|〃[-4=（）

A.4君B.2710C.2A/2D.4

3.两条平行直线2x—y+3=。和6一3y+4=0间的距离为d,则a,d分别为（）

A.a—6,d=B.a=—6,d=

33

C.a=-6,d=—D.。=6,d=—

33

4.两条平行直线3尤+―-12=。与分+8丫+11=。之间的距离（）

23237

A.—B.—C.—D.7

5102

5.已知直线/1：x-my=。和7y+2（〃7-l）=0OeR）与圆C都相切，则圆C的面积的最大值是（）

A.2〃B.4〃C.87rD.16%

6.若直线4:x++6=。与4：(Q—2)x+3y+2Q=。平行，则乙与4间的距离为()

A.V2B.辿

3

C.73D.迪

3

7.已知直线4：（3+2X）x+（4+2）y+（—2+2丸）=0（AGR）,/2•x+y—2=0,若IJ/l2，则4与6间的距离

为（）

A.1B.后C.2D.2夜

8.已知直线小必―3y+6=0,4：4X—3冲+12=0,若"乙，贝！J4,4之间的距离为（）

A@IB.处C.晅D.5

131313

9.若两条平行直线4：x-2y+根=0（根＞0）与/2：2%+利-6=0之间的距离是逐，则加+〃=

A.0B.1C.-2D.-1

10.已知直线，i：3x+4y+5=0,Z2:6x+8^-15=0,则两条直线之间的距离为

A.4B.2C.-D.5

2

易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的

考点）

直线方程的五种形式的比较如下表:

名称方程的形式常数的几何意义适用范围

点斜式y-y=k(x-%)（%,%）是直线上一定点，左是斜率不垂直于X轴

斜截式y=kx+b人是斜率，。是直线在y轴上的截距不垂直于X轴

y-Ji_%--

两点式（%,%）,（x2,y2）是直线上两定点不垂直于X轴和y轴

%-%%-%

。是直线在X轴上的非零截距，。是直不垂直于x轴和y轴，

截距式2+2=1

ab线在y轴上的非零截距且不过原点

Ax+By+C=0(A2+B2?0）

一般式A、B、C为系数任何位置的直线

给定一般式求截距相等时，具体方案如下：

令x=Ony=_C「「

形如：第一种情况Ax+_8y+C=0n|夕n=nA=3

令wOnx=-CAB

L,A

第二种情况：Ac+8y+C=0=C=0时，横纵截距皆为0

截距之和为。时，横纵截距都为0也是此类模型

易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解

三

例.已知直线/过点(2,1)且在x,y轴上的截距相等

(1)求直线/的一般方程；

(2)若直线/在x,y轴上的截距不为0,点P("I)在直线/上，求3"+3〃的最小值.

变式1.已知直线/过点(1,2)且在x,y轴上的截距相等

(1)求直线/的一般方程；

⑵若直线/在刘＞轴上的截距不为0,点P(a,b)在直线/上，求3"+3&的最小值.

变式2.已知直线4：ax+2y-4=0,直线3bx-2y-l=0,其中a,6均不为0.

(1)若4,4,且4过点(L1),求a,b；

⑵若且4在两坐标轴上的截距相等，求4与4之间的距离.

变式3.已知直线(：or-2y-2a+4=0,直线乙：八+4'-4。2一8=0

⑴若直线4在两坐标轴上的截距相等，求实数。的值；

(2)若4〃4,求直线4的方程.

三9

1.己知圆。：*+丁=4,"（与,%）为圆。上位于第一象限的一点，过点M作圆。的切线/.当/的横纵截

距相等时，/的方程为（）

A.x+y-2-J1=0B.x+y—---=0

C.x+y-4A/2=0D.尤-y-2应=0

2.“直线/：y=辰+2后-1在坐标轴上截距相等”是“左=-l”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.过点A（1,2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A.尤-y+l=0B.x+y-3—QC.y=2x或x+y-3=0D.y=2x或x-y+l=0

4.下列说法正确的是（）

A.若直线。2》一＞+1=0与直线尤一ay—2=0互相垂直，则°=-1

B.已知P（U）,。（-2,-3）,点尸，Q到直线/的距离分别为2和4,则满足条件的直线/的条数是2

C.过（孙珀，（％打）两点的所有直线的方程为七左=三

D.经过点（1,1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为无+y-2=0

5.过点P（3,4）,且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是

A.x—y+\=0B.x—y+1=0或4%-3y=0

C.%+y—7=0D.x+y—7=0或4x-3y=0

6.下列命题中错误的是（）

A.命题“m/wR,x：+l<l”的否定是“X/xeR.Y+lNl”

B.命题“若a>b,则2"的否命题为“若a三八则2”2"-1”

C.“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件

D.若“p或q”为假命题，则p,q均为假命题

7.与圆V+（y-1>=1相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（）

A.2条B.3条C.4条D.6条

8.已知直线/过点加（-2,3）,且与x轴、y轴分别交于A,B点,则（）

A.若直线/的斜率为1,则直线/的方程为y=x+5

B.若直线/在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为x+y=l

C.若M为A8的中点，贝心的方程为3x-2y+12=。

D.直线/的方程可能为y=3

9.已知直线4：x-y+m=O,/2：2x+my-l=0,则下列结论正确的有（）

A.若〃〃2，则m=-2

B.若/J4，则加=2

C.若八'在x轴上的截距相等则相=1

D.12的倾斜角不可能是4倾斜角的2倍

10.直线/与圆（x-2f+y2=2相切，且/在x轴、>轴上的截距相等，则直线/的方程可能是

A.尤+y=OB.尤+y-2应+2=0

C.%—>=。D.x+y-4=0

易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问题）

技巧总结

VgF类：求过圆上一点（%,光）的圆的切线方程特方

正规方法：

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率左

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为-4

k

第三步：利用点斜式y-%=Mx-%）求出切线方程

注意：若左=0则切线方程为x=x0，若女不存在时，切线方程为＞=为

侬杀方法：）

①经过圆x2+y2=/上一点尸（飞,%）的切线方程为x（）x+=r2

②经过圆（x-o）2+（y-/?）2=/上一点M%,%）的切线方程为（.一0）（工一。）+（%-匕）6-5）=/

③经过圆V+V+m+4+尸=o上一点尸（与,凡）的切线方程为

xQx+yQy+D-^^+E-^^+F=0

类：求过圆外一点（%,光）的圆的切线方程的港〉

方法一：几何法

第一步：设切线方程为丁一方=左（》-/），即左x—y-左0+为=0,

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得左，切线方程即可求出

方法二:代数法

第一步：设切线方程为丁一%,=女（%一叫）），即y=左x—左q+y（）,

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由A=0可求得左，切线方程即可求出

注意:过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的女只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,

可得数形结合求出.

盘三类：求斜率为左且与圆相切的切线方程的还）

方法一：几何法

第一步：设切线方程为y=左次+加，即左％-丁+根=0

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得加，切线方程即可求出.

方法二:代数法

第一步：设切线方程为y=

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由A=0可求得加，切线方程即可求出

方法三：秒杀方法

已知圆/+/=/的切线的斜率为人,则圆的切线方程为y=依土厂炉了1

已知圆(X——人)2=户的切线的斜率为左，则圆的切线方程为y=依士—

工具：点与圆的位置关系判断

圆的标准方程为(x-〃)2+(y-6)2=户(厂>0)

222

一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0(。2+E-4F>0).

点在圆上：(%。—a)?+(%—=户XQ++DXQ+Ey0+F=0

②点在圆外：(司-a/+(%-/?)2>,XQ+yo+DXQ+Ey0+F>0

③点在圆内：(%。一a)?+(%—/?)2〈产Xo++DXQ+Ey0+F<0

易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理

三9

22U5

例、圆的方程为一+/=1,过点上"的切线方程

”2J

(3V31

变形1、圆的方程为/+：/—4x+2y+4=0,

过点(-2-2--1)的切线方程

变形2、圆的方程为r+/―4x+2y+4=0,过点(1,1)的切线方程

变形3、圆的方程为（尤-2）2+（y+1）2=1,切线斜率为1方程为

1.在平面直角坐标系中，过直线2x-y-3=0上一点尸作圆C：f+2x+y2=l的两条切线，切点分别为AB,

则sin/APB的最大值为（）

A.哀1B.—C.—D.—

5555

2.已知点时（1,0）在圆C:/+y2=机上，过M作圆c的切线/,则/的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.已知圆+/-4x-6y+12=0与直线/：尤+y-l=。，P,。分别是圆C和直线/上的点且直线产。与

圆C恰有1个公共点，则|PQ|的最小值是（）

A.77B.2A/2c.V7-1D.2A/2-1

4.已知直线/:如一丫+相+1=0（切*0）与圆C:x2+y2-4x+2y+4=0,过直线/上的任意一点尸向圆C引切

线，设切点为A,B,若线段A3长度的最小值为石，则实数加的值是（）

12127

A.——B.-C.-D.——

5555

5.已知圆C:（尤-2丫+_/=4,直线/:>=履化eR）,则下列结论正确的是（）

A.存在实数上使得直线/与圆C相切

B.若直线/与圆C交于A,8两点，贝的最大值为4

C,当％=-1时，圆C上存在4个点到直线/的距离为3

D.当左=1时，对任意4eR,曲线■E：x2+y2-（九+4）x+£y=0恒过直线/与圆C的交点

6.过圆尤、y2=4上一点p作圆/+y2=l的两条切线，切点分别为A,8,则（）.

A.|AP|=|BP|=V2

B.ZAPS=60°

C.|AB|=>/3

D.直线AB与圆Y+y=」相切

4

7.已知圆C的方程为x2+（y-2）2=l,点Q（0,3）,点尸是x轴上的一个动点，过点尸作圆C的两条切线，切

点分别为4,8,则（）

A.存在切点使得-AQ8为直角B.直线A3过定点（0,1）

C.丽•诙的取值范围是［0,万］D.AQAB面积的取值范围是（Oqg］

8.已知直线/：尤->+1=0与圆CK：（x+"l>+（y+2左y=l,下列说法正确的是（）

A.所有圆CJ匀不经过点（0,3）

B.若圆CR关于直线/对称，则上=-2

C.若直线/与圆CR相交于A、B,且［4邳=夜，则上=-1

D.不存在圆CR与x轴、y轴均相切

9.已知。£：5-2）2+“-1）2=4,过点尸（5,5）作圆片的切线,切点分别为","，则下列命题中真命题是（）

A.\PM\=y/21

B.直线跖V的方程为3x+4y-14=0

C.圆/+丁=1与。石共有4条公切线

D.若过点P的直线与。£交于G,”两点，则当AEWG面积最大时，\GH\=2yf2.

10.已知点M为直线/：x-y+8=。与y轴交点,尸为圆。:V+y2=45上的一动点，点A（-l,0）,3（3,0）,则

()

A.忸网取得最小值时，Sz=6君B.MP与圆。相切时，俨闾=屈

sinNAPB的最大值为更

C.当时，APBM=0D.

4

易错点四：忽略斜率是否存在（与圆的代数结构有关的最值问题）

三9

处理此类问题宗旨:截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值

①截距式：求形如mx+ny的最值转化为动直线斜率的最值问题

②斜率式：求形如上二生的最值转化为动直线截距的最值问题

x-n

③距离式：求形如（x-a）2+（y-＞）2=r2的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题

形如：若尸（X»）是定圆。：（％-冷2+6-人）2=/上的一动点，则求如+胡和工这两种形式的最值

，鬼路1:几何氏）

①阿的最值，设圆心到直线”的距离为d=、"吆_H,由d=r即

y/m2+n2

可解得两个〃直，一个为最大值，一个为最小值

②工的最值：上即点P与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值

XX

（电路2：代数警）

①7加+胡的最值，设M%+融=/,与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0,求得f的两

个值，一个为最大值，一个为最小值.

②工的最值：设/=上，则y=沅，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0,求得/的两个

XX

值，一个为最大值，一个为最小值.

易错提醒：截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要

注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在

例、已知〃）为圆C：炉+y2一4%—14>+45=0上任意一点.

（1）求根+2〃的最大值；

（2）求y〃一3的最大值和最小值；

m+2

（3）求m2+“2的最大值和最小值.

变形1、如果实数x,y满足（x_3）2+（y_3『=6,求:

（1））的最大值与最小值；

X

（2）%+y的最大值与最小值；

（3）d+y2的最大值和最小值.

变形2、已知实数X,y满足方程（x-2）2+y2=3.

（1）求上的最大值和最小值；

X

（2）求丁一%的最大值和最小值；

（3）求X2+y2的最大值和最小值.

变形3、已知实数了、丁满足/+丁+2%一4y+l=0.

（1）求上-的最大值和最小值；

x-4

（2）求Jx?+/-2%+1的最大值和最小值.

1.+（y-bp可以转化为平面上加（尤,y）点与点N（a,3之间的距离.结合上述观点，可得

/(尤)=J/+8x+20+J尤2+4x+20的最小值为()

A.晒B.2MC.731D.2+万

2.已知实数工，丫满足曲线C的方程尤2+V-2x-2=0,则下列选项错误的是（）

A.f+y2的最大值是4+26

B.’二匚的最大值是2+几

c.|x-y+3|的最小值是20-力

D.过点（0,闾作曲线C的切线，贝彻线方程为x-0y+2=O

3.点（。,1）到直线区+>+左=0的最大距离为（）

A.2B.GC.72D.1

4.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体.”事实上，有很多代数问题可以转化为

几何问题加以解决，如：J（x-a>+（y-力2可以转化为平面上点M（x,y）与点