与圆有关的计算常考题型（5大热考题型）原卷版-2025年中考数学一轮复习知识清单

难点09与圆有关的计算常考题型

（5大热考题型）

麴型盘点N

题型一：正多边形和圆

题型二：与弧长有关的运算

题型三：与扇形面积有关的计算

题型四：不规则图形的面积计算

题型五：与圆锥有关的计算

.精淮提分

题型一：正多边形和圆

【中考母题学方法】

【典例1】（山东青岛•中考真题）如图，正六边形ABCD硬内接于。，点M在AB上，则/CME的度数

36°C.45°D.60°

【典例2】（2023•上海・中考真题）如果一个正多边形的中心角是20。，那么这个正多边形的边数为

【变式1-1］（2024.内蒙古.中考真题）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于。，4£）和所相

交于点则NAMF的度数为（）

27°C.28°D.30°

【变式1-2］（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点。为正六边形跖的中心,

防〃X轴，点E在双曲线y=&（左为常数，左＞0）上，将正六边形ABCDEF向上平移g个单位长度，点。恰

X

好落在双曲线上，则上的值为（）

A.473B.3括C.2上D.3

【变式1-3]（2024•山东东营・中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”,

即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，

则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率兀的近似值为3.1416,

如图，。的半径为1,运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计。的面积，可得兀的估计值为

逋.若用圆内接正八边形近似估计。的面积，可得兀的估计值为.

【变式1-4]（2024•山东潍坊・中考真题）【问题提出】

在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方

形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的

安装方案.

说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面.喷洒覆盖率$为待喷洒区域面积，k为

S

待喷洒区域中的实际喷洒面积.

图1

【数学建模】

这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.

【探索发现】

(1)如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率夕=

9

⑵如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为”的自动喷洒装置；如图4,设计安装9个喷洒半径

9

均为3m的自动喷洒装置;,以此类推，如图5,设计安装1个喷洒半径均为'm的自动喷洒装置.与

n

(1)中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出

理由.

(3)如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率夕=1.已

知正方形ABCD各边上依次取点F,G,H,E,使得AE=3尸=CG=£归，设AE=x(m),，。的面积为y(n?b

r的值.

（4）该公司现有喷洒半径为3&m的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷

洒覆盖率夕=1?（直接写出结果即可）

【中考模拟即学即练】

1.（2024.云南昭通•一模）如图，正八边形内接于（0,连接04,08,则/A03的度数为（）

A.55°B.50°C.45°D.40°

2.（2024.河北•模拟预测）如图，正六边形ABCDEF和正六边形均以点。为中心，连接

AG,BH,CI,DJ,EK,FL（A,G,"三点共线），若C/=2,〃=3,则正六边形砂的边长为（）

3.（2024・山西太原•模拟预测）如图，正五边形MCDE内接于［0,CP与，。相切于点C,则/BCP的度

4.（2024・湖南益阳•模拟预测）如图，正五边形ABCDE的边长为5,以顶点A为圆心，的长为半径画圆,

则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）

H

A.5TIB.7.5KC.871D.IO71

5.（2024•福建泉州•模拟预测）如图,等边三角形ABC和正方形。耳G均内接于）。，若EF=2,则BC的

长为（）

C.^5D.y/6

6.（2024・广东•模拟预测）《墨子•天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆.”知圆度方，感悟数学

之美.如图，以正方形ABCD的对角线交点为位似中心，作它的位似图形AECD,若四边形ARC'D的外

接圆半径为4,AB,:AB=2tl,则正方形ABC。的周长为.

二与弧长有关的运算

题型二：与弧长有关的运算

【中考母题学方法】

【典例1】（2024.江苏镇江・中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，A8长为半径画

弧，交BC边于点、E,连接AE,AB=1,ZD=60°,则BE的长/=（结果保留兀）.

AD

BE

【典例2】（2024.吉林长春・中考真题）一块含30。角的直角三角板45c按如图所示的方式摆放，边与直

线/重合，AB=12cm.现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上，则点A经过的

路径长至少为cm.（结果保留万）

【变式2-1］（2024•江苏宿迁•中考真题）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2,以点E为圆心，EF长

为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为.

【变式2-2］（2024.甘肃兰州.中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广

泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中「M,eN的半径分别是

1cm和10cm,当（M顺时针转动3周时，eN上的点尸随之旋转n°,则«=.

图1图2

【变式2-3］（2024・山东济宁・中考真题）如图，VABC三个顶点的坐标分别是A（1,3）,B（3,4）,C（1,4）.

歹八

6—；—；—；—；—；—

O123456x

（1）将VA5c向下平移2个单位长度得△4片G，画出平移后的图形，并直接写出点片的坐标；

（2）将绕点与逆时针旋转90。得4第4.画出旋转后的图形，并求点G运动到点g所经过的路径长.

【变式2-4］（2024・辽宁・中考真题）如图，。是VABC的外接圆，A3是。的直径，点。在BC上，AC=80，

E在54的延长线上，ZCEA=ZCAD.

图Iffl2

（1）如图1,求证：CE是（。的切线；

（2）如图2,若NCEA=2ZDAB,。4=8,求BZ）的长.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•浙江温州•一模）点A、B、6;在（O上的位置如图所示，44=70。，，。的半径为3,则8c的长

是（）

632

2.（2024.湖南.模拟预测）如图,用一个半径为6cm的滑轮将物体G向上拉升,若物体G的上升速度为?7Tcm/s,

上升的时间为4s,假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则图中线段。尸在这段时间内扫过的面积（单

位：cm?）是（）

C.4兀D.6兀

3.（2024・陕西商洛•模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如

图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中40的长度为米，裙长AB=0.8米，圆心角

ZAOD=ZBOC=60°,则02的长为（）

D.2.2米

4.（2024・四川眉山.二模）7个半径均为r的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币

的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余6个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（）

32

C.—7irD.\2jir

3

5.（2023•内蒙古呼伦贝尔•一模）已知一弧长为10万cm,此弧所对圆心角为120。，则此弧所在圆的半径为—

cm.

6.（2024•浙江温州•三模）在半径为18cm的圆上有一段弧，弧长是12%cm,则该弧所对的圆周角的度数

为.

7.（2024•山东济南.一模）如图1,我国是世界上最早制造使用水车的国家.如图2是水车舀水灌溉示意图，

水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水

斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150。

上升至轮子上方8处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀

水）转动到B处（倒水）所经过的路程是米.（结果保留万）

图1图2

8.（2023・四川绵阳•模拟预测）如图，正三角形的高是3厘米，正方形的边长是正三角形的2倍，木块从图

①的位置开始，沿着木桩的边缘滚动，滚动过程如图②，图③所示，木块滚动一周后回到原位置，那么正

三角形正中心的点A经过的路径长度为（%=3）.

图③

9.（22-23九年级上•浙江绍兴•期末）如图，在（。中，是直径，弦ABLCD,垂足为点E,连接AC,

AD.

⑴求证：ZC^ZBAD.

⑵若NC=30。，OC=3,求A8的长度.

题型三：与扇形面积有关的计算

【中考母题学方法】

【典例1】（2024.广东深圳.中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=gAB,。为3c中点，OE=AB=4,

则扇形EOF的面积为

【典例2X2024•山东青岛・中考真题）如图，AB,C,D是。上的点,半径。4=3,Ag=CA，4»。=25。,

5

C.-7tD.

212

【变式3-1]（2024•山东东营・中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.东

营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图，04=20cm,

OB=5cm,纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角NAOC=120。.现需在扇面一侧绘

制山水画，则山水画所在纸面的面积为（)cm2.

C.125兀D.150K

【变式3-2]（2024・河南・中考真题）如图，，。是边长为4指的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的

中点，连接BO,CD.以点。为圆心，8。的长为半径在C。内画弧，则阴影部分的面积为（）

A

A-TB-471C-VD-16无

【变式3-3]（2024.河北.中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如

图，某折扇张开的角度为120。时，扇面面积为S、该折扇张开的角度为“。时，扇面面积为S“，若加=（，

kJ

则加与"关系的图象大致是（）

1.（2024・云南•模拟预测）已知扇形的弧长为4;rcm,面积为zercn?,则此扇形的圆心角为度.

2.（2024・北京•三模）已知一个扇形的面积是12兀，弧长是2兀，则这个扇形的半径为.

3.（2024.黑龙江大庆•中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作

等边三角形A3C；分别以点A,B,C为圆心，以的长为半径作BC，AC，AB.三段弧所围成的图形

就是一个曲边三角形.若该“莱洛三角形”的周长为3兀，则它的面积是.

4.（2024・甘肃.中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗

产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2,其中扇形OBC和扇形。4。有相同的圆

心。，且圆心角N0=100。，若Q4=120cm,OB=60cm,则阴影部分的面积是cm2.（结果用左

表示）

5.（2024•甘肃・模拟预测）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构

细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的

配套镶嵌和高级饰面之理想材料.如图，是一个半径为3cm的半圆形的鸳鸯玉石，A8是半圆。的直径，C,

。是弧上两点，ZAZ）C=130°.张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形

玉石的面积是.

6.（2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测）如图，AC,AE是边长为2的正六边形A3CDEF的对角线，以A为圆

心，AC的长为半径画弧，得EC，则图中阴影部分的面积为.（用含万的式子表示）

7.（2024•吉林长春•模拟预测）一个闹钟的时针长是6cm,从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是—

cm2.

8.（广东深圳•一模）如图，48为半圆。的直径，C是半圆上一点，且NCQ4=60。，设扇形AOC-CO民弓

形即?C的面积分别为H，邑,邑，则它们的大小关系是（）

A.S1<S2<S3B,S2<SI<SC.St<S3<S.D.S3K

9.（2024.吉林长春.一模）如图为风力发电机的示意图，叶片Q4外端A到旋转中心。的距离为20米，叶片

当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为30。.当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大

时，叶片。4扫过的面积至少为平方米.（结果保留万）

10.（2024•浙江宁波•二模）如图，在网格中按要求作图并回答相应问题.

⑴在图1中以点A为旋转中心，作VABC绕点A顺时针旋转90后得到的△AB'C；

⑵设VABC外接圆圆心为点。，则在（1）的条件下，求AO扫过的面积.

题型四：不规则图形的面积计算

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•山东日照•中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,ZB=120。，点。是对角线AC的

中点，以点。为圆心，长为半径作圆心角为60。的扇形OM,点。在扇形O所内，则图中阴影部分的

面积为（）

A.三-也B.兀一3C.g-LD.无法确定

24424

【变式4-1】（2024・山东泰安.中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与

半圆0的圆心重合，若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是（）

A.—71—A/3B.—7iC.—Ji~A/3D.-n-

33334

【变式4-2]（2024•山东威海・中考真题）如图，在扇形AO8中，ZAOB=90°,点C是49的中点.过点C

作CELAO交A8于点E，过点E作即，03,垂足为点。.在扇形内随机选取一点P,则点尸落在阴影

部分的概率是（）

【变式4-3]（2024・重庆・中考真题）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，长为半径画弧,

两弧有且仅有一个公共点.若4）=4,则图中阴影部分的面积为（）

A.32-8?tB.1673-471

C.32-4兀D.16A/3-8K

【变式4-4]（2024•江苏南通・中考真题）如图，VABC中，AB=3,AC=4,BC=5,A与相切于点

D.

（1）求图中阴影部分的面积；

（2）设A上有一动点P,连接CP,BP.当CP的长最大时，求3P的长.

【变式4-5]（2024・山东・中考真题）如图，在四边形ABCZ）中，AD//BC,^DAB=60°,

AB=BC=2AD=2.以点A为圆心，以AD为半径作交A3于点E,以点3为圆心，以3E为半径作历

所交8c于点尸，连接阳交所于另一点G,连接CG.

八EB

⑴求证：CG为防所在圆的切线；

（2）求图中阴影部分面积.（结果保留万）

【中考模拟即学即练】

1.（2024•浙江宁波•二模）如图，在矩形A2CD中，AD=^3,尸是A8上一点，AF^l,以点A为圆心A£）

为半径画弧，交AB于点E,以尸为圆心，OF为半径画弧，交CD于点弘加于点N,则阴影部分的面积

为（）

AFEN

3737i

F_―12

2.（2024•内蒙古包头.模拟预测）如图，已知，半圆的直径AB=8,0为圆心，点尸是半圆上的一点，将投尸

沿直线AP折叠后的弧经过圆心0,则图中阴影部分的面积是.

3.（2024・重庆•一模）如图，在ABCD中，E为BC边中点.以C为圆心，CD为半径画弧，恰好经过点A.以

C为圆心，CE为半径画弧，与2。相切于点?若3C=4,则阴影部分的面积为.（结果保留兀）

4.（2024.山东济宁.二模）如图，在正方形网格中，点A、B、C、。均在格点上，过C,。的弧交A8于

点E,若每个正方形的边长为1,则图中阴影部分的面积为.（结果保留兀）

5.（2024.四川广元.模拟预测）如图，为半圆的直径，且筋=2,半圆绕点B顺时针旋转40。，点A旋转

到A'的位置，则图中阴影部分的面积为（结果保留苏.

6.（2024・广东.模拟预测）如图，在扇形OEb中放置三个边长均为1的正方形方格，点。为扇形的圆心,

格点A,B,C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为.

7.（2025・湖北黄石•一模）如图，VABC内接于（O,为直径，作CD,交BC于点E,且DE=OC.

B

（1）求证：直线CD是。的切线.

⑵如果OA=2后，OE=2,求图中阴影部分的面积.

8.（2024.湖北襄阳.一模）如图，在△OAE中，OA=OE,B是AE中点，以。为圆心，OB为半径作

分别交AO及其延长线、OE于C,D,F点,连接交OE于点G.

⑴求证：AE是，:，。的切线;

（2）若C是。4的中点，BD=g求阴影部分的面积.

题型五：与圆锥有关计算

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•江苏徐州•中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4兀cm"

圆心角。为90。，圆锥的底面圆的半径为.

【典例2】（2023•湖北十堰•中考真题）如图，已知点C为圆锥母线S3的中点，AB为底面圆的直径，SB=6,

AB=4,一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（）

A.5B.3A/3C.372D.6指

【变式5-1］（2024•江苏南通・中考真题）已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为6cm,则该圆锥的侧面积

为cm2•

【变式5-2］（2024・江苏宿迁・中考真题）已知圆锥的底面半径为3,母线长为12,则其侧面展开扇形的圆

心角的度数为°.

【变式5-3］（2024•江苏扬州•中考真题）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥

底面圆的半径为cm.

【变式5-4］（2024•山东烟台・中考真题）如图，在边长为6的正六边形ABC。所中，以点P为圆心，以FB

的长为半径作20,剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为.

【变式5-5］（2024.内蒙古.中考真题）如图是平行四边形纸片ABC。，BC=36cm,ZA=110°,ZBDC=50°,

点/为3C的中点，若以"为圆心，MC为半径画弧交对角线80于点N,则N/VMC=________度；将扇形

MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为cm.