中考数学几何专项冲刺复习：网格中的三角函数（提优）含答案及解析

专题28网格中的三角函数（提优）

一.选择题

1.在4X5网格中，A,B,C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）

D.COSA=¥

A.sinA=B.cosA=C.tanA=

2.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cosNC=（

C.叵2V5

A.-B.—D.——

2225

3.在如图网格中，小正方形的边长为1,点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点0,则NAOC

)

V5

D.

2

5.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、。都在这些小正方形的顶点上，AB、相

6.如图，在4义4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若△ABC的顶点都在格点上，则cos/ABC的

值是（）

niTM4

'm/i1

c

11V52V5

--一

A.B.C.—D.——

3255

7.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C,D,E均在格点上，连接AB,BC,CD,AE,线段

AE的延长线交BC于点F,贝Utan/AFB的值（）

a—二--二-二_二__

一二二一

B

1V341

A.一B.—C.-D.-

2394

8.如图，网格中小正方形的边长都为1,点A,B,C在正方形的顶点处，贝ljcosNACB的值为（）

A_____________

B

2V34V2V857V85

A.-------B.—C.-----D--------

1721785

9.在如图所示8X8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、。都在格点上，AB与相交于点E,

则NAEO的正切值是（)

填空题

10.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1,点A、B、C、。都在格点上，A8与C。相交于点O,

11.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，贝Utan/ACB等于

12.如图，点A,B,C为正方形网格中的3个格点，则tan/ACB=

13.在如图所示的网格图中，小正方形的边长为1,点A、B、C、。都在格点上，A8与。相交于点E,

则NAE。的正切值是

14.如图，将/AO8放在边长为1的小正方形组成的网格中，若点都在格点上，则tan/AOB

AD

16.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，Na、如图所示，则sin(a+0)=

17.如图，是由10个小正三角形构造成的网格图(每个小正三角形的边长均为1),则sin(a+0)=

18.在边长为1的正方形网格中，连接格点A,B和C,D,AB和CD相交于点O,则tanN20C的值为

(2)如果a,0都为锐角，当tana=5,tan0=留寸，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角a,画出

/MOM使得/MON=a-p.此时a-0=度.

20.如图，在2义2的网格中，以顶点。为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A,则tan

ZABO的值为

三.解答题

21.如图，在4义4的网格中，每个小正方形的边长为1,线段A3、的端点均为格点.

(1)A8的长度为,CD的长度为.

(2)若AB与所夹锐角为a,求tana的值.

22.如图，射线0A放置在4X5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点(即每个小正方形的顶点)

B,并连接08、AB使△AOB为直角三角形，并且

(1)使tan/AOB的值为1；

1

(2)使tan/AOB的值为,

图(1)图⑵

23.如图，是由边长相等的小正方形组成的网格，点A,B,C均在格点上，连接BC.

(1)tan/ABC的值等于

7

(2)在网格中，用无刻度直尺，画出/CB。，使tan/CB£)=(.

AB

24.阅读下列的材料，某数学学习小组遇到这样的一个问题:

如图a、0都为锐角，且tana=tan0=,，求a+0的度数.

该数学课外小组最后是这样解决问题的，如图1,把a、0放在正方形网格中，使得ZCBE

=0,且BA,BC直线的两侧，连接AC.

（1）观察图象可知，a邛=NA3C=°；

（2）请参考该数学小组的方法解决问题：如果a,0都为锐角，当tana=3,tan0=4时，在图2的正方

形网格中，利用已作出的锐角a,画出/MON=a-0,并求/MON的度数.

25.如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格

的格点，已知这个大矩形网格的宽为6,△ABC的顶点都在格点.

（1）求每个小矩形的长与宽；

（2）在矩形网格中找一格点E,使AABE为直角三角形，求出所有满足条件的线段AE的长度.

（3）求sin/BAC的值.

26.数学老师布置了这样一个问题：

如果a,0都为锐角.且tana=寺，tan[3=与求a+0的度数.

甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题.他们分别设计了图1和图2.

（1）请你分别利用图1,图2求出a+0的度数，并说明理由；

（2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：

如果a,p都为锐角，当tana=5,tan0=留寸，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角a,画出/

MON,使得求出a-0的度数，并说明理由.

27.如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1,四边形ABC。的四个顶点都在格点上，0为AD

边的中点，若把四边形A8CD绕着点。顺时针旋转180°,试解决下列问题：

（1）画出四边形旋转后的图形；

（2）求点C旋转过程所经过的路径长；

（3）设点B旋转后的对应点为"，求tan/DAB'的值.

专题28网格中的三角函数（提优）

一.选择题

1.在4X5网格中，A,B,C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）

A.sinA=B.cosA=2C.tanA=D.cosA=~

【分析】根据网格构造直角三角形利用勾股定理可求出三角形ABC的三边的长，进而得出此三角形是等

腰直角三角形，在利用特殊锐角三角函数值得出答案.

【解答】解：由网格构造直角三角形可得，

AB2=12+32=1O,AC2=l2+22=5,BC2=l2+22=5,

'：AB2^AC2+BC2,

...△4BC是等腰直角三角形，

ZA=ZB=45°,

sinA=sin45。=*,cosA=cos45°=*,tanA=tan45。—1,

二选项。是正确的，

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理及逆定理，特殊锐角三角函数值，掌握勾股定理及逆定理和特殊锐角三角函

数值是正确判断的前提.

2.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos/C=（）

D.——

5

【分析】连接B。，根据图形，可以求得48、AD,的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到△AO8

时直角三角形，再根据图形，可以得到AC、BC的长，即可得到CD的长，然后即可得到cos/C的值.

【解答】解：连接2D

2222

由图可得，BD=Vl+2=V5,AD=712+22=有，AB=Z^/1+3=V10,

:.BD2+AD2^AB2,

是直角三角形，ZADB=90o,

'：AC=V32+62=3V5,AD=V5,BC=V32+42=5,

:.CD=2瓜

故选：D.

【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思

想解答.

3.在如图网格中，小正方形的边长为1,点A、B、C、。都在格点上，AB与相交于点。，贝U/AOC

【分析】如图取格点K,连接8K,则CD〃BK.过点K作KHL48于”.利用面积法求出HK,再利用

勾股定理求出88即可解决问题.

【解答】解：如图取格点K,连接8K,则CO〃BK.

D

B

4:

7O

//»

/G\»

A

过点K作KH_LAB于H.

1[_______

"：S^ABK=^AB'KH,AB=V42+72=V65,

20_4V65

：.HK=量=寸

:BH=y/BK2-HK2=J20-=噜^,

'：CD//BK,

ZAOC=ZABK,

HR1V65

tanNAOC=tan/ABK=„==5,

DDil6V65D

13-

方法二：如图取格点M,连接AM,BM.

证明/AWB=90°,求出tan/ABM即可解决问题.

故选：A.

【点评】本题考查解直角三角形，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属

于中考常考题型.

4.ZVIBC在网格中按如图所示放置，则sinA的值是（

【分析】过点8作8OLAC,垂足为。.利用勾股定理先求出AC、AB的长，再利用三角形的面积求出

8。的长，在RtZXAB。中，求出sinA.

【解答】解：过点B作Braac,垂足为D

在RtAAEC中,AC=yjAE2+CE2=V32+62:3小,

在RtAAEB中，A2=y/AE2+BE2=<32+I2=V10,

1

U：SMBC=^BCXAE

1

=.x5X3

15

=F

又；SAABC=抻斗瓦)

-1

=2X3A/5XBD,

1l15

A-x3V5XBD=笄.

22

：.BD=V5.

..BDV5V2

••sinAA=r丁=i—=-5-.

4Bm2

【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键.

5.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、。都在这些小正方形的顶点上，AB,CD相

交于点P,贝Utan/AP。)

c

c.VToD.2

【分析】根据网格，设出小正方形的边长为1,表示出AO=DC=&,再根据平行线分线段成比例定理

可得出DP=|DC,进而在RtAADP中，由正切的意义求值即可.

【解答】解：设小正方形的边长为1,

由图形可知，AD=DC=V2,AC=2,

...△AOC是等腰直角三角形,

C.ADLDC.

'JAC//BD,

ACCP

—=—=2,

BDDP

：.PC=2DP,

：.AD=DC=3DP,

An

tan^APD=》尹=3.

故选：B.

【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系和平行线分线段成比例定理是解决问题的

前提.

6.如图，在4X4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若△ABC的顶点都在格点上，则cos/ABC的

1V5275

A.-B.C.—D.——

3255

【分析】首先判断NACB=90°,利用勾股定理求出AB,即可解决问题.

【解答】解：观察图象可知：ZACB=9Q°,

".'AB=V32+42=5,BC=Vl2+22=V5,

••cosA.-5,

故选：C.

【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

7.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C,D,E均在格点上，连接AB,BC,CD,AE,线段

AE的延长线交8c于点F,贝Utan/AEB的值（）

【分析】如图，连接MC和把NAFB转化成进而证明NBMC=90°,问题便迎刃而解.

【解答】解：如图，连接MC和

'：AM//EC,AM=EC=\,

四边形AMCE为平行四边形，

：.AF//MC,

：.NAFB=ZMCB,

.,AM1/八…,CN2

・tanZABM=tanZCMN=须=豆=

/ABM=/CMN,

VZABM+ZAMB=90°,

/.ZCMN+ZAMB=90°,

：.ZBMC=90°,

.BMJ42+121

••tan^.A.FB一tanNBCM=二八“=/==不.

CM97z

阿+2，

故选：A.

【点评】本题是解直角三角形的应用，难度较大，主要考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质,

关键是把所求角的三角函数值转化到格点直角三角形中解决问题，体现了数学中的转化思想.

8.如图，网格中小正方形的边长都为1,点A,B,C在正方形的顶点处，贝Ucos/ACB的值为（）

2V34V2V857V85

A.-------B.—C.—D.-------

1721785

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以求得AC、CE的长，再根据等积法可以求

得的长，再利用勾股定理即可求得的长，从而可以求得cos/ACB的值.

【解答】解：如右图所示,

•.•网格中小正方形的边长都为1,

CE=V22+42=2后AC=Vl2+42=V17,AE=3,CD=4,

作于点H,

_CEAHAE-CD

•=，

22

.2年AH3X4

••=,

22

解得，AH=誓，

'：AC=V17,AH=^-,ZAHC=90°,

：.CH=J(g)2-(空)2=等

..COSNAC"-"一万一85'

即cosXACB=

故选：D.

【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答.

9.在如图所示8X8的网格中，小正方形的边长为1,点A、B、C、。都在格点上，4B与。相交于点E,

则的正切值是（）

【分析】如图，取格点K,连接AK,BK.观察图象可知AK_LBK,BK=2AK,BK//CD,推出/AEZ)=

NABK,解直角三角形求出tan/ABK即可.

【解答】解：如图，取格点K,连接AK,BK.

K

观察图象可知AK_L2K,BK=2AK,BK//CD,

：.ZAED=ZABK,

tanZAED=tanZABK=镭=2

故选：B.

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属

于中考常考题型.

二.填空题

10.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1,点A、B、C、。都在格点上，AB与CZ)相交于点O,

3

则ZAOC的正弦值是F.

【分析】连接BE,过点E作跖，AB于点况说明Cr>〃BE,ZABE=ZAOC,利用勾股定理和三角形

的面积公式求出E足BE,再利用直角三角形的边角间关系求出NA8E的正弦值得结论.

【解答】解：如图，连接BE,过点E作EFU4B于点?

'JBD//CE.BD=CE.

...四边形DBEC是平行四边形.

J.BE//DC.

：.ZABE=ZAOC.

'：AB^V22+42=2限

S^ABE=XEF=1x2V5XEF=1x2X3.

•s3后

••EF=--

在RtABEP中，

,:BE=Vl+22=V5,

・・・•sin/A0167£—=EF

3/5

_工

一渡

3

sinZAOC=|.

3

故答案为：--

【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点，作平行线把N40C平移到NA2E是解决本题的

关键.

11.如图，AABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan/ACB等于3.

【分析】过点B作BCAC,垂足为。，先求出△A8C的各边及C。的长，利用三角形的面积公式再求

出BD的长，最后在直角三角形中求出NACB的正切值.

【解答】解：过点8作BOLAC,垂足为D

"：AB=5,AC="+32=VIU,BC="+42=5,

.,.CZ)=孚.

3I15

S^ABC=15->今x4X3=号,

1

SAABC=2xACXDB,

AIXV10XBO=竽，

•.•但喘,同

在RtABCZ)中，

Dn

tanNACB==3.

故答案为：3.

【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系并利用勾股定理和三角形的面积求

出的长，是解决本题的关键.

12.如图，点A,B,C为正方形网格中的3个格点，则tan/ACB=2.

【分析】连接格点8、D.利用勾股定理先计算BC、AB,CD、AO的长，根据等腰三角形的性质，再判

定△BCD是直角三角形，最后根据直角三角形的边角间关系求出NACB的正切值.

【解答】解：如图，连接格点3、D.

\'BC=AB^Vl2+32=V10,CD=AD=V2,

：.BD±AC.

在RtABCD中，BD=VBC2-CD2=V10-2=2企,

BD2V20

tanZACB=9MM』?.

故答案为：2.

【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及解直角三角形，根据题目特点构造直角三角形是解

决本题的关键.

13.在如图所示的网格图中，小正方形的边长为1,点A、B、C、。都在格点上，A8与相交于点E,

1

则NAE。的正切值是5.

【分析】如图，取格点K,连接AK,BK.观察图象可知AK_LBK,BK=2AK,BK//CD,推出

ZABK,解直角三角形求出tan/ABK即可.

【解答】解：如图，取格点K,连接AK,BK.

K

观察图象可知AK_LBK,BK=2AK,BK//CD,

：.ZAED=ZABK,

AV1

tanZAED=tanZABK=徐=当

,,­,1

故答案为：—.

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属

于中考常考题型.

14.如图，将NA03放在边长为1的小正方形组成的网格中，若点A,0,8都在格点上，则tanNA05=

2

【分析】利用格点构造直角三角形即可解决问题.

故答案为2.

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题.

15.如图，在1义3的小正方形网格中，点A、B、C、。都在这些小正方形的顶点上，AB,相交于点P,

贝!]tanZAPC=2.

AD

CB

【分析】如图，连接BE交。于O.证明OB=2OP,即可解决问题.

【解答】解：如图，连接BE交。于。

4ED

-r

CB

•.•四边形是正方形，

：.BE±CD,OC=OD=OE=OB

：.ZFOB=90°,

'：AD//BC,

.PCBC1

""PD~AD~

:.PC=OP,

：.OB=2OP,

,/ZAPC=ZBPO,

••.tanNAPCutanNBPOn丽=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题

型.

2V7

16.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，/a、N0如图所示，则sin(a+0).

【分析】连接。E,利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出Na=30°,同理可得出：ZCDE

=NCED=30°=Za,由NAEC=60°结合NAEO=NAEC+/CE。可得出NAED=90°,设等边三角

形的边长为a,则AE=2a,DE=年,利用勾股定理可得出AD的长，由三角函数定义即可得出答案.

【解答】解：连接。E,如图所示：

在△ABC中，ZABC=120°,BA=BC,

.".Za=30°,

同理得：ZCDE=ZCED=30°=Za.

又•；NAEC=60°,

ZAED=ZAEC+ZCED=90°.

设等边三角形的边长为a,则AE=2m£)£=2Xsin60°*tz=V3a

：.AD=y/AE2+DE2=J(2a)2+(V3a)2=y/7a,

...oxAE2a2"

..sinf(a+P)=而=鬲=>.

2A/7

故答案为：.

【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律等知识；构造出含一个锐角

等于Na+N0的直角三角形是解题的关键.

247

17.如图，是由10个小正三角形构造成的网格图(每个小正三角形的边长均为1),则sin(a+B)--.

【分析】如图，连接BC,构造直角三角形ABC,由正三角形及菱形的对角线平分对角的性质，得出/

BC£)=a=30°,ZAB90°,从而a+0=/ACB,分别求出△ABC的边长，利用正弦函数的定义可得

答案.

【解答】解：如图，连接BC

•••上图是由10个小正三角形构造成的网格图

任意相邻两个小正三角形都组成一个菱形

：.ZBCD=a=30°,ZABC=90°,

a+^ZACB

•••每个小正三角形的边长均为1

.\AB=2,

在RtZkDBC中,

BCBC「

—二—=tan60°=v3

BD1

：.BC=V3

.•.在RtzMBC中,

AC=y/AB2+BC2=V4T3=V7

22/7

sin(a+0)sinZACB=第77=~

2V7

故答案为：

【点评】本题考查了构造直角三角形求三角函数值，正确作出辅助线，明确正弦函数的定义，是解题的

关键.

10

18.在边长为1的正方形网格中，连接格点A,B和C,D,AB和CD相交于点0,则tanNBOC的值为[

【分析】如图，连接AQ,取格点E,连接。E,则E,D,C共线.在RtZ\A。。中，求出A。，。。即可

解决问题.

【解答】解：如图，连接A。，取格点E,连接。E,则E,D,C共线.

；EC=4&,ED=DC=AD=2五

：.OC=警，

00=2‘一第=警，

VZADO=9Q°,

：.tanZB0C=tanZAOD^黑=吗=j,

UL)6J2D

丁

故答案为3

【点评】本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

19.(1)如图1,如果a,0都为锐角，且tana=^,tan0=5,则a+B=45°

(2)如果a,0都为锐角，当tana=5,tan0=令寸，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角a,画出

【分析】(1)如图1中，只要证明△ABC是等腰直角三角形即可解决问题.

(2)如图2中，由02=回，MB=2a,0M=3&,推出推出/8河。=90°,推

2

出tan/MOBW，推出由/08N=a,即可推出NMON=a-0=45°.

【解答】解：⑴如图1中,

"：AC=V5,BC=V5,AB=V10,

：.AC=BC,AC2+BC2=AB2,

：.AABC是等腰直角三角形，

AZBAC=45°,

/.a+P=45°.

故答案为45°；

(2)如图2中,

'：OB=A/26,MB=2®OM=3近,

<9B2=MB2+OM2,

：.ZBMO=90°,

2

/.tanXMOB=可

NM03=B，

9：ZBON=af

：.ZMON=a-p=45°.

故答案为45.

【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理的逆定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

20.如图，在2义2的网格中，以顶点。为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A,贝han

ZABO的值为2+VI.

【分析】连接。4,过点A作AUL08于点C,由题意知AC=1、OA=OB=2,从而得出OC=y/0A2-AC2=

V3>BC=0B-OC=2-痘,在RtZkABC中，根据tan/A8O=釜可得答案.

【解答】解：如图，连接过点A作ACLOB于点C,

在RtAAOC中，0C=y/OA2-AC2=V22-I2=V3,

：.BC=OB-OC=2-^3,

AC1_

在RtAABC中，tanZABO=第==2+V3.

故答案是：2+百.

【点评】本题主要考查解直角三角形，根据题意构建一个以/ABO为内角的直角三角形是解题的关键.

三.解答题

21.如图，在4X4的网格中，每个小正方形的边长为1,线段A3、CD的端点均为格点.

(l)A8的长度为2遮，C£)的长度为_作_.

(2)若AB与C。所夹锐角为a,求tana的值.

【分析】(1)把48和CD看成格点直角三角形的斜边，再根据勾股定理进行解答便可；

(2)找一格点E,使得CE〃人8,再过E作EfUCD于G,得另的格点尸，由的比例线

段求得EG,DG,进而得CG,再计算/ECG的正切值，便是tana的值.

【解答】解：(1)根据题意得，AB=V22+42=2V5,

CD=V22+32=V13,

故答案为：2V5；V13;

（2）取格点E,连接CE,则CE〃A8,取格点R连接ER使得跖于点G,如图所示

ZEDF=ZEGD=90°,NGED=NDEF,

：./\DEG^/\FED,

EGDGDEEGDG2

―,即一二

••ED~FDFE23

・・・EG=^p,DG=^p,

：.CG=CD-DG=^^~,

FG4

tati/ECG=

9：AB//CE,

：.a=ZECG,

：.tana=^.

【点评】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，关键是正确构造直角三角形.

22.如图，射线。4放置在4X5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）

B,并连接03、A5使△AOB为直角三角形，并且

（1）使tanNAOB的值为1；

【解答】解:

（2）如图2所示;

【点评】此题主要考查了应用设计与作图，利用锐角三角函数关系得出是解题关键.

23.如图，是由边长相等的小正方形组成的网格，点A,B,C均在格点上，连接2C.

1

(.1)tan/A8c的值等于一

2

画出NCB。，使tanNC8O=1.

【分析】（1）根据三角函数的定义即刻得到结论;

（2）根据三角函数值作出图形即可.

1

【解答】解：（1）如图，在RtABCE中，tan/ABC=±

1

故答案为：—;

9

(2)如图所示，tan/CBD=*

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

24.阅读下列的材料，某数学学习小组遇到这样的一个问题:

如图a、0都为锐角，且tana=tan0=I，求a+0的度数.

该数学课外小组最后是这样解决问题的，如图1,把a、0放在正方形网格中，使得ZCBE

=0,且BA,BC直线BD的两侧，连接AC.

（1）观察图象可知，a+B=NABC=45°；

（2）请参考该数学小组的方法解决问题：如果a,0都为锐角，当tana=3,tan0="寸，在图2的正方

【分析】（1）由8C2=AB2+AC2=2AB2,得出是等腰直角三角形，且NA4c=90°,那么a+0=

ZABC=45°；

（2）连接MN,由0岭=0降+M砰=20降,得出△OMN是等腰直角三角形，且/ONM=90°,那么a

-0=/MON=45°.

【解答】解：(1)如图1.

VBC2=32+52=34,AB2=42+12=17,AC2=42+12=17,

BC2=AB2+AC2=2AB2,

...△ABC是等腰直角三角形，且/BAC=90°,

.*.a+p=ZABC=45°.

故答案为45；

(2)如图2,连接MN.

VOM2=32+12=10,ON2=22+12=5,MN2=21+12=5,

：.OM2=ON2+MN2=20^,

.♦.△OWN是等腰直角三角形，且/ONM=90°,

；.a-0=/MON=45°.

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，作图-应用

与设计作图，利用网格结构进行计算，判断所求角所在的三角形是等腰直角三角形是解题的关键.

25.如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格

的格点，已知这个大矩形网格的宽为6,△ABC的顶点都在格点.

(1)求每个小矩形的长与宽；

(2)在矩形网格中找一格点E,使△ABE为直角三角形，求出所有满足条件的线段AE的长度.

(3)求sin/BAC的值.

【分析】(1)设每个小矩形的长为x,宽为y,根据图形可知小矩形的长与宽间的数量关系有两个：2个

矩形的宽=矩形的长；两个矩形的宽+1个矩形的长=6,据此列出方程组，并解答即可；

(2)利用图形和勾股定理逆定理进行解答；

(3)由锐角三角函数的定义进行解答.

【解答】解：⑴设每个小矩形的长为x,宽为y,

依题意得：g着=6,

解得d

所以每个小矩形的长为3,宽为1.5；

(2)如图所示：

A

AE=3或3西或橙7^；

(3)由图可计算AC=5/32+6?=3有,

3/5

.'.AB=

11

设AC边上的高为江则有734・〃=分3・6,

.,6V5

­•h=—

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