中考数学难点突破训练：最值问题中的瓜豆原理模型（含答案及解析）

专题22最值问题中的瓜豆原理模型

【模型展示】

瓜豆原理

若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点叫瓜，从

动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型总结：

条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量.

如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ,且NPCQ为定值，当点P在直线AB上运动，

Q的运动轨迹是？

结论：

①主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角；

②当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长;

③主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

分析：观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径

MQ是OP一半，任意时刻，均有AAMQS/XAOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.

结论：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共

线，

由Q为AP中点可得：AM=1/2AO.Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根据动点之间的

相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.

结论主动点、从动点到定点的距离之比是定量

【模型证明】

如图，P是圆O上一个动点，A为定点连接AP,作AQ_LAP且AQ=AP.

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点、轨，迹是？

Q

A

分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90。得AQ,故Q点轨迹与P点轨

解决方案迹都是圆.接下来确定圆心与半径.考,您AP_LAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM_LAO;

考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.即可确定圆M

位置，任意时刻均有AAPO名△AQM.

,一

Z

/

/

1

\/

A

2

【题型演练】

3

一、单选题

1.如图，在矩形纸片48CD中，AB=2,AD=3,点E是A8的中点，点尸是边上的一个动点，将“EF

沿£产所在直线翻折，得到A4£F,则4c的长的最小值是（）

C.V13-1D.y/10-l

2.如图，在RtAABC中，NABC=90。，ZACB=30°,BC=26,AADC与公ABC关于AC对称，点E、

F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE=CF,BE、DF相交于点P,则CP的最小值为（）

3

A.1B.6C.-D.2

2

3.如图，等腰RtAABC中，斜边AB的长为2,0为AB的中点，P为AC边上的动点，OQLOP交BC

于点Q,M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）

A.丝兀B.显兀C.1D.2

42

4.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-1x+2上的一个动点，将Q绕点P（l,0）顺时针旋转90。,

O'

4

5挺述

B.75D.

丁

二、填空题

5.如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,,且3E=1,尸为A3边上的一个动点，连接£F,以EF

为边向右侧作等边A£FG,连接CG,则CG的最小值为.

6.如图，等边三角形ABC中，AB=4,高线AH=26,。是线段AH上一动点，以2。为边向下作等边三角

形BDE,当点。从点A运动到点X的过程中，点£所经过的路径为线段CM,则线段CM的长为,

当点。运动到点H,此时线段BE的长为.

7.如图，在平面内，线段42=6,尸为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边C。所在的直线与线段AB

垂直相交于点P,且满足PC=B4.若点尸沿A8方向从点A运动到点8,则点E运动的路径长为.

8.如图，在R3ABC中，ZACB=900,ZBAC=30°,BC=2,线段2C绕点B旋转到8。，连A。，E为

的中点，连接CE,则CE的最大值是—.

5

BD

9.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,8。相交于点。，AB=4,NIMC=60。，点尸沿线段AO从点A

至点。运动，连接。尸，以。尸为边作等边三角形QFE,点E和点A分别位于。尸两侧，连接OE.现给出

以下结论：

①/BDE=NEFC；②ED=EC；③直线OELCD；④点E运动的路程是2右.

其中正确的结论是.(写出所有正确结论的序号)

10.如图，已知AC=2AO=8,平面内点P到点。的距离为2,连接AP,ZAPB=60°n.BP=-AP,连

2

接48,BC,则线段BC的最小值为.

三、解答题

11.在平面直角坐标系中，A(a,0)、B(b,0),且a,b满足/-60+9+/+3|=0,C、。两点分别是y轴

正半轴、尤轴负半轴上的两个动点；

6

(2)如图1,若C(0,4),BC=5,BD=AE,且/CB4=N"COE,求。点的坐标；

(3)如图2,若NCA4=60。，以8为边，在C。的右侧作等边△C0E,连接0E,当0E最短时，求A,E

两点之间的距离.

12.如图所示，在RtZXABC中，AB=3C=2,点。是AC上一点，以3。为一边向右下方作等边△3DE,

当。由点A运动到点C时，求点E运动的路径长.

13.如图，等边三角形ABC的边长为4,点D是直线AB上一点.将线段CD绕点D顺时针旋转60。得到

线段DE,连结BE.

(1)若点D在AB边上(不与A,B重合)请依题意补全图并证明AD=BE；

(2)连接AE,当AE的长最小时，求CD的长.

14.如图①，在AABC中，AB=AC=3,NBAC=100°,D是BC的中点.

7

小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P,连接PB,将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,

点B的对应点是点E,连接BE,得到ABPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置

也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明

继续探究，并解答下列问题：

(1)当点E在直线AD上时，如图②所示.

①NBEP=；②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是.

(2)请在图③中画出,使点E在直线AD的右侧，连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关系，

并说明理由.

(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.

15.如图，过抛物线"4上一点A作X轴的平行线，交抛物线于另一点B,交】轴于点C,已知

点A的横坐标为一2.

(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；

(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD,求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在X轴上方时，求直线PD的函数表达

16.如图所示，在等腰中，AC=BC=2拒,点尸在以斜边为直径的半圆上，M为尸C的中点,

8

当点尸沿半圆从点A运动至点8时，求点M运动的路径长.

17.如图所示，点P（3,4）,0尸的半径为2,A（2.8,0）,网5.6,0）,点河是0P上的动点，点C是MB的中

点，求AC的最小值.

18.如图所示，为等腰直角三角形，A（-4,0）,直角顶点B在第二象限，点C在y轴上移动，以5c为

斜边向上作等腰直角△BCD,我们发现直角顶点。点随着C点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的

函数解析式.

19.如图1,在AABC中，ZACB=90°,AC=2,BC=26,以点B为圆心，目为半径作圆.点尸为。8

上的动点，连接尸C,作PC，PC,使点P，落在直线的上方，且满足PC:PC=1：6,连接3P,AP.

（1）求一区4c的度数，并证明△APCs^gpc；

（2）如图2,若点尸在AB上时，连接3P,求B户的长；

（3）点P在运动过程中，3P是否有最大值或最小值？若有，请求出当3P取得最大值或最小值时，ZPBC

9

的度数；若没有，请说明理由.

20.如图所示，在扇形AOB中，OA=3,ZAC®=120。，点C是A台上的动点，以BC为边作正方形3CDE,

当点C从点A移动至点6时，求点。经过的路径长.

21.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为AB的中点，F为EC上一动点,尸为。尸的中点,

连接尸3,求PB的最小值.

22.如图，在矩形ABC。中，AB=3,AD=4,连接BO,将△ABD绕点。顺时针旋转，记旋转后的三角形

为AA'B'D,旋转角为a(00<a<360,且awl80。).

备用图

(1)在旋转过程中，当A落在线段上时，求A3的长;

(2)连接A'A、AB,当N&LB'=90。时，求tanNA'AD；

(3)在旋转过程中，若AZMA的重心为G,则CG的最小值=

23.在菱形ABCD中，ABAD=nQ°,E是对角线3D上的一点，连接AE.

(1)当E在AB的中垂线上时，把射线出绕点E顺时针旋转90。后交CZ)于b，连接如图①，若AB=4,

求EF的长.

10

(2)在(1)的条件下，连接所，把/XBEF绕点8顺时针旋转得到ABHK如图②，连接CH,点N为8的

中点，连接AN,求AN的最大值.

24.如图1,已知在平面直角坐标系尤Ov中，四边形Q4BC是矩形点AC分别在x轴和，轴的正半轴上，连

结AC,OA=3,tanZOAC=—,。是2C的中点.

3

(1)求OC的长和点D的坐标；

2

⑵如图2,M是线段0C上的点，OM=§OC,点尸是线段上的一个动点，经过R三点的抛物线

交x轴的正半轴于点E,连结DE交AB于点厂

①将ADD尸沿上所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时毋■的长和点E的坐标；

②以线段DF为边，在。尸所在直线的右上方作等边ADPG,当动点尸从点。运动到点”时，点G也随之运

动，请直接写出点G运动路径的长.

11

专题22最值问题中的瓜豆原理模型

【模型展示】

瓜豆原理

若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主

动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，

豆的轨迹也是圆。

模型总结：

条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量.

如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ,且NPCQ为定值，当点P在直

线AB上运动，Q的运动轨迹是？

结论：

①主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角；

②当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运

动路径长；

③主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

分析：观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什

么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹

12

圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQS2^AOP,

QM:PO=AQ:AP=1:2.

广二----二％-六------”

结论：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、

M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=1/2AO.Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根

据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系

分析轨迹圆半径数量关系.

结论主动点、从动点到定点的距离之比是定量

【模型证明】

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作AQJ_AP且AQ=AP.

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90。得AQ,故Q点轨

迹与P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.考虑AP_LAQ,可得Q点轨迹圆圆

解

决心M满足AMJ_AO;考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可

方得半径MQ=PO.即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO丝ZkAQM.

案

如图，AAPQ是直角三角形，NPAQ=90。且AP=2AQ,当P在圆O运动时，Q点轨

迹是？

13

Q

分析考虑AP_LAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM_LAO;考虑AP:AQ=2:1,可

得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:L即可确定圆M位置，任意时刻均有

△APO^AAQM,且相似比为2.

模型总结

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.此类问题的必要

条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NPAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.

结论：

（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

ZPAQ=ZOAM;

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩.

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在矩形纸片ABC。中，AB=2,AD=3,点E是A8的中点，点P是4。边上的

一个动点，将AAEF沿£尸所在直线翻折，得到AA，所，则4C的长的最小值是（)

14

D

C.V13-1D.710-1

【答案】D

【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A，在线段CE上时，AC的长

取最小值，根据折叠的性质可知AE=1,在RSBCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用

CE-A旧即可求出结论.

【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点N在线段CE上时，AC的长

在RSBCE中，BE=-AB=1,BC=3,4=90。，

2

.-.CE=A/BEL2+BC2=国，

.^.A'C的最小值=CE-A'E=^/^i-l.

故选D.

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出AC取最小值时

点A，的位置是解题的关键.

2.如图，在R3ABC中，/ABC=90。，NACB=30。，BC=2g,△ADC与△ABC关

于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE=CF,BE、DF相交于点P,

则CP的最小值为（）

l3

A.1B.73C.-D.2

2

15

【答案】D

【分析】连接BD,证明AEDB丝Z\FCD,可得/BPD=120。，由于BD的长确定，则点P

在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A,P,C在一条直线上时，CP有最小值.

【详解】解：连接AD,因为/ACB=30。，所以/BCD=60。，

因为CB=CD,所以ACBD是等边三角形，

所以BD=DC

因为DE=CF,ZEDB=ZFCD=60°,

所以AEDBg/^FCD,所以NEBD=NFDC,

因为/FDC+ZBDF=60°,

所以NEBD+/BDF=60。，所以NBPD=120。，

所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，

直角△ABC中，ZACB=30°,BC=2布,所以AB=2,AC=4,

所以AP=2

当点A,P,C在一条直线上时，CP有最小值，

CP的最小值是AC—AP=4—2=2

故选D.

【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当

动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值.

3.如图，等腰RtAABC中，斜边AB的长为2,O为AB的中点，P为AC边上的动点,

OQLOP交BC于点Q,M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路

C.1D.2

【答案】C

16

【分析】连接OC,作PELAB于E,MHLAB于H,QFLAB于F,如图，利用等腰直角

三角形的性质得AC=BC=0,ZA=ZB=45°,OCXAB,OC=OA=OB=1,NOCB=45。，再

证明RtAAOP^ACOQ得至UAP=CQ,接着利用AAPE和八BFQ都为等腰直角三角形得到

PE=1AP=1CQ,QF=1BQ,所以PE+QF=1BC=I,然后证明MH为梯形PEFQ的

2222

中位线得到MH=1,即可判定点M到AB的距离为g,从而得到点M的运动路线为AABC

的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长.

【详解】连接OC,作PE_LAB于E,MH_LAB于H,QF_LAB于F,如图，

VAACB为等腰直角三角形，

.•.AC=BC=^AB=V2,/A=/B=45。，

为AB的中点，

.\OC±AB,OC平分NACB,OC=OA=OB=1,

.•.NOCB=45°,

,?ZPOQ=90°,ZCOA=90°,

.•.ZAOP=ZCOQ,

在RtAAOP和4COQ中

Z=AOCQ

<AO=CO,

ZAOP=ZCOQ

/.RtAAOP<△COQ,

；.AP=CQ,

易得△APE和小BFQ都为等腰直角三角形，

，PE=2/IAP=^CQ,QF=^BQ,

222

.*.PE+QF=^(CQ+BQ)=2^BC=^X"=1,

222

：M点为PQ的中点，

AMH为梯形PEFQ的中位线，

/.MH=y(PE+QF)=：,

即点M到AB的距离为g,而CO=1,

.•.点M的运动路线为△ABC的中位线，

，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长AB=1,

故选C.

17

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计

算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-1x+2上的一个动点，将Q绕点P(l,0)顺

时针旋转90。，得到点。'，连接OQ',则OQ'的最小值为()

0,

A.迪B.非C.述D.逑

535

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q，的坐标，然后根据勾股定理

并利用二次函数的性质即可解决问题.

【详解】解：作QMLx轴于点M,QNLx轴于N,

0'

设Q(机，一;枕+2),贝QM=-1W+2,

ZPMQ=ZPNQ,=ZQPQ,=90°,

ZQPM+ZNPQ,=ZPQ,N+ZNPQ,,

.\ZQPM=ZPQ,N,

在4PQM和△QTN中，

ZPMQ=ZPNQ'=90°

<ZQPM=ZPQ'N,

PQ=Q'P

：.△PQM出△Q'PN(AAS),

18

/.PN=QM=-1m+2,Q,N=PM=m-l,

.•.ON=l+PN=3--m,

2

Q\3-m,1-m),

OQ，2=(3-^m)2+(1-m)2=m2-5m+10=^-(m-2)2+5,

当m=2时，OQ，2有最小值为5,

•••OQ'的最小值为石，

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和

性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关

键.

二、填空题

5.如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且5E=1,尸为A3边上的一个动点,

连接所，以E尸为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最小值为

【答案】|

【分析】由题意分析可知，点尸为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等

关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.

【详解】由题意可知，点尸是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在

直线轨迹上运动

将AEFB绕点、E旋转60。,使所与EG重合，得到AEFBMAEHG,

从而可知AE3”为等边三角形，点G在垂直于"E的直线上,

忤CM1HN,则CM即为CG的最小值,

19

作EPLCM,可知四边形HEPM为矩形,

135

则CM=MP+CP=HE+_EC=l+_=_.

222

故答案为!■.

2

【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出

点G的运动轨迹，是本题的关键.

6.如图，等边三角形ABC中，AB=4,高线AH=2否，。是线段AH上一动点，以BD为边

向下作等边三角形当点。从点A运动到点X的过程中，点E所经过的路径为线段

CM,则线段CM的长为,当点。运动到点此时线段8E的长为.

【分析】由"SW可得△江△CBE,推出AO=EC,可得结论，再由勾股定理求解5”=2,

当重合时，BE=BH=2,从而可得答案.

【详解】解：如图，连接EC.

,：AABC,ABDE都是等边三角形，

：.BA=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=60°,

：.ZABD=ZCBE,

在^ABD和4CBE中，

20

BA=BC

</ABD=ZCBE,

BD=BE

：.AABD^ACBE(SA5),

：.AD=EC,

点D从点A运动到点H,

・••点E的运动路径的长为CM=AH=2布,

当2H重合，而(即为等边三角形，

\BE=BH,

QA3=4,AH=2后A”八BC,

BH="(2可=2,

:.BE=2,

故答案为:2瓜2.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题

的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

7.如图，在平面内，线段A8=6,P为线段AB上的动点，三角形纸片C0E的边CQ所在的

直线与线段垂直相交于点P,且满足若点P沿48方向从点A运动到点8,则

点E运动的路径长为.

【答案】6正.

【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC,点E运动的路径为EE,由平

移的性质可知AC'=EE,在RtAABC中，易知AB=BC=6,ZABC'=9Q°,：.EE'=AC=^2

=6拉，故答案为6&.

21

点睛：主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问

题，属于中考填空题中的压轴题.

8.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,N5AC=30。，BC=2,线段BC绕点B旋转到BD,

连A。，E为的中点，连接CE,则CE的最大值是—.

【答案】3

【分析】通过已知求得。在以B为圆心，2。长为半径的圆上运动，为的中点，

在以中点为圆心，:劭长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的

最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值.

【详解】解：；BC=2,线段BC绕点8旋转到8Z),

D

：.BD=2,

2

由题意可知，。在以3为圆心，长为半径的圆上运动,

为AO的中点，

22

，E在以BA中点为圆心，三BD长为半径的圆上运动,

CE的最大值即C到BA中点的距离加上工BD长.

2

VZACB=9Q°,N8AC=30。，BC=2,

：.C到BA中点的距离即;AB=2,

又

2

/.CE的最大值即工48+,8£>=2+1=3.

22

故答案为3.

【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键.

9.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,BD相交于点。，AB=4,NZMC=60。，点尸沿

线段AO从点A至点。运动，连接DR以。尸为边作等边三角形。庄，点E和点A分别位

于。尸两侧，连接OE.现给出以下结论：

®ZBDE=ZEFC；②ED=EC；③直线OELCD；④点E运动的路程是2省.

其中正确的结论是.（写出所有正确结论的序号）

【答案】①②③

【分析】①根据NZMC=60°,OD^OA,得出△04。为等边三角形，再由△DFE为等边三

角形，得NEDF=NDEF=60°,即可得出结论①正确；

②如图，连接OE,利用&4s证明△ZMF四△DOE,再证明M9DE丝VOCE,即可得出结论

②正确；

③通过等量代换即可得出结论③正确；

④如图，延长OE至E',使OE'=OD,连接DE',通过△ZMF丝ZDOE=60°,

可分析得出点尸在线段A。上从点A至点。运动时，点E从点O沿线段OE'运动到£,从

而得出结论④错误.

【详解】解：①•.♦/ZMC=60。，OD=OA,

：./\OAD为等边三角形，

ZDAO=ZODA^60°,AD=OD,

;△。所为等边三角形，

23

ZEDF=ZEFD=NDEF=6。。,DF=DE,

ZBDE+ZFDO=NAOb+Nb。0=60。，

:・NBDE=/ADF,

•・•ZADF+ZAFD+ZDAF=180°,

・•・ZADF+ZAFD=1SO°-ZDAF=120°,

'/ZEFC+ZAFD+ZDFE=180°,

AZEFC+ZAFD=180°-ZDF£=120°,

ZADF=AEFC,

：.ZBDE=/EFC,

故结论①正确；

②如图，连接OE,

在^DA/和△DOE中，

AD=OD

<ZADF=ZODE,

DF=DF

：.(SAS),

・・・ZDOE=ZDAF=60°,

*：ZCOD=180°-ZAOD=nO°f

：.ZCOE=ACOD-ZDOE=120°-60°=60°,

：.ZCOE=ZDOEf

在40。£和4OCE中，

OD=OC

<ZDOE=ZCOEf

OE=OE

：.AODE^/\OCE(SAS),

：.ED=EC,/OCE=/ODE,

故结论②正确；

ZODE=ZADF,

：.ZADF=ZOCE,即ZADF=ZECF,

故结论③正确；

④如图，延长OE至E,使OE=OD,连接OE,

ADAF^△DOE,NDOE=60°,

・•・点尸在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE运动到笈,

OE'=OD=A0=AB・tanNA8O=4・tan3Oo=延，

3

...点E运动的路程是生8,

24

故结论④错误.

故答案为①②③.

【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰

三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定

和性质等相关知识是解题关键.

10.如图，己知AC=2AO=8,平面内点P到点。的距离为2,连接AP,若NAPB=60。且

BP=^AP,连接AB,BC,则线段BC的最小值为.

,_________O_________「

B

【答案】277-73

【分析】如图所示，延长尸8到。使得先证明AAP。是等边三角形，从而推出

ABP=90°,ZBAP=30°,以A。为斜边在AC下方作及△AM。，使得/MAO=30。，连接CM,

过点〃作AfflLAC于解直角三角形得到理=4g=1，从而证明△AAffis/viOP,

AOAP2

得到典=丝=立，则BM=退，则点3在以M为圆心，以名为半径的圆上，当M、B、

OPAP2

C三点共线时，即点B在点3'的位置时，BC有最小值，据此求解即可.

【详解】解：如图所示，延长PB到D使得PB=DB,

•：BP=-AP,

2

/.AP=PD=2PB,

又：ZAPB=60°,

...△APD是等边三角形，

为PD的中点，

J.ABLDP,BPZABP=9O°,

ZBAP=3O°,

以AO为斜边在AC下方作及△AMO,使得NAMO=30。，连接CM,过点M作MH_LAC于

H,

25

*/八4iy/f—AM_^3

•・cosNOAM------——f

AO2

同理可得竺二XI,

AP2

VZOAM=30°=ZB4B,

ZBAM=ZPAO,

P・・AM_AB_6

AOAP2

/\AMB^/\AOP,

.BMAB43

,；点P到点O的距离为2,即0P=2,

BM=s/3,

...点8在以〃为圆心，以6为半径的圆上，

连接CM交圆M（半径为百）于9，

...当M、B、C三点共线时，即点8在点9的位置时，BC有最小值,

'：AC=2AO=8,

：.AO=4,

AAM=AO-cosZOAM=2指，

：.AH=AM-cosZMAH=3,HM=AM-sinZMAH=s/3,

：.CH=5,

CM=4HM2+CH2=25/7，

B'C=CM-MB'=2/7-y/3,

.♦.BC的最小值为2s'-6，

故答案为：2币-乖：.

D

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判

定，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即

证明点3在以M为圆心，半径为名的圆上运动.

26

三、解答题

11.在平面直角坐标系中，A(4Z,0)、B(b,0),且a,。满足/-6a+9+|b+3|=0,C、D

两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；

图1图2

(1)如图1,若C(0,4),求的面积；

(2)如图1,若C(0,4),BC=5,BD=AE,^.ZCBA=ZCDE,求。点的坐标；

(3)如图2,若ZCBA=60。，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE,连接。E,当OE

最短时，求A,E两点之间的距离.

【答案】(1)AABC的面积为12；(2)。点的坐标为(-2,0)；(3)A,E两点之间的距离

为；

【分析】(1)利用完全平方式和绝对值的性质求出a,b,然后确定A、8两点坐标，从而利

用三角形面积公式求解即可；

(2)根据题意判断出△CBD四△以£,从而得到CB=AD,然后利用勾股定理求出CB,

及可求出结论；

(3)首先根据“双等边”模型推出AOCB/A£C4,得到NDBC=NE4C=120。，进一步推出

AE//BC,从而确定随着。点的运动，点E在过点A且平行于8C的直线P。上运动，再

根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定最短时，各点的位置关系，最后根据含

30。角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：(1),*,-6«+9+|Z?+3|=0,

a—3=0a=3

由非负性可知,,解得:

b+3=0b=-3

：.A(3,0),3(-3,0),AB=3-(-3)=6,

vC(O,4),

OC=4f

•••^C=1AB.OC=1X6X4=12；

(2)由(1)知A(3,0),3(-3,0),

27

・•・OA=OB,

OC.LAB,

：.ZAOC=ZBOC=90°,

在AAOC和/OC中，

OA=OB

<ZAOC=ZBOC

oc=oc

：.AAOC的△BOC(SAS),

JZCBO=ZCAO,

'：ZCDA=ZCDE+ZADE=ZBCD+ZCBA,NCBA=NCDE,

：.ZADE=/BCD,

在△BCD和VADE1中，

ZBCD=ZADE

<ZCBD=NDAE

BD=AE

：.^BCD^ADE(AAS),

:.CB=AD,

VB(-3,0),C(O,4),

.•.03=3,OC=4,

•*-BC=>]OB2+OC2=5-

AD=BC=5,

VA(3,o),

。(-2,0)；

(3)由(2)可知CB=C4,

ZCBA=6Q°,

.♦.△ABC为等边三角形，ZBCA=60°,N。8c=120。，

：为等边三角形，

CD=CE,Z£)C£=60°,

ZDCE=ZDCB+ZBCE,/BCA=/BCE+/ECA,

：.NDCB=/ECA,

在^DCB和小ECA中，

CD=CE

•ZDCB=ZECA

CB=CA

/.ADCB沿AECA(SAS),

28

ZDBC=ZEAC=120°,

,：ZEAC+ZACB=120°+60°=180°,

AE//BC,

即：随着。点的运动，点E在过点A且平行于8C的直线PQ上运动,

•.,要使得OE最短，

如图所示，当。E_LP。时，满足OE最短，此时NOEA=90。，

,/ZDBC=ZEAC=120。，ZCAB=60°,

ZOAE=ZEAC-ZCAB=60°,ZAOE=30°,

A（3,0）,

OA=3,

13

/.AE^-OA=-,

22

3

...当OE最短时，A,E两点之间的距离为；.

2

【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定

与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用

全等三角形的判定与性质是解题关键.

12.如图所示，在RtZVLBC中，钻=3C=2,点。是AC上一点，以为一边向右下方

作等边△BDE,当。由点A运动到点C时，求点E运动的路径长.

【答案】点E运动的路径长为2®.

【分析】根据是等边三角形，得出点E运动的路径长等于点。运动的路径长，即为

AC的长，根据勾股定理即可得出答案

【详解】•.•点8为定点，

3E可以看作是8D绕点8顺时针旋转60。而来，

•・•点E运动的路径长等于点。运动的路径长，即为AC的长，

29

♦:AB=BC=2,ZABC=90°,

AC=20.

，点E运动的路径长为2夜.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是

正确寻找点E的运动轨迹，属于中考常考题型.

13.如图，等边三角形ABC的边长为4,点D是直线AB上一点.将线段CD绕点D顺时

针旋转60。得到线段DE,连结BE.

（1）若点D在AB边上（不与A,B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；

（2）连接AE,当AE的长最小时，求CD的长.

【答案】（1）见解析；（2）2币

【分析】（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC,ZA=ZB=60°,

由旋转的性质得:NACB=NDCE=6(F,CD=CE,得出NACD=NBCE,证明△A