中考数学压轴题专项突破：面积定值问题（含答案及解析）

专题04面积定值问题

一、知识导航

二、典例精析

如图，抛物线y=-f+2无+3与x轴交于A、8两点（点A在点8左侧），与y轴交于点C,连接BC,抛物

线在线段8c上方部分取一点P,连接P8、PC,若APBC面积为3,求点P坐标.

思路1：铅垂法列方程解.

根据2、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3,

设点P坐标为（现-m2+2〃工+3）,

过点尸作尸0_Lx轴交BC于点Q,

则点。坐标为（〃%-机+3）,

PQ=卜〃/+2〃z+3）—（―7?Z+3）|=|—/772+3m|,

=|x3x|-m2+3m|=3，

分类讨论去绝对值解方程即可得相的值.

思路2:构造等积变形

同底等高三甭形面积相等.

取BC作水平宽可知水平宽为3,根据APBC面积为3,

可知铅垂高为2,

在y轴上取点。使得CQ=2,过点。作BC的平行线,

交点即为满足条件的P点.

当点Q坐标为(0,5)时，尸。解析式为：y=-x+5,

耳天工方—x~+2x+3=—x+5,解即可.

当点。坐标为(0,1)时，P。解析式为：y=-x+\,

联立方程：-x2+2x+3=-x+l,解之Rp可.

在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点3,抛物线>=ox?+6x+c(a<0)经过

点A、B.

(1)求“、6满足的关系式及c的值.

(2)如图，当。=-1时，在抛物线上是否存在点P,使AR4B的面积为1?若存在，请求出符合条件的所

有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),

代入解析式可得：c=2,4a-2b+2=0

(2)考虑A、B水平距离为2,的面积为1,故对应的铅垂高为1.

当a=-l时，可得b=-l,抛物线解析式为y=-/-x+2.

取点C(0,3)作A8的平行线，其解析式为：尸无+3,

联立方程-/-了+2=尤+3,解得故点4坐标为(-1,2)

取点D（0,1）作AB的平行线，其解析式为：y=x+l,

三、中考真题演练

1.（2023•浙江湖州•中考真题）如图1,在平面直角坐标系中，二次函数y=f-4x+c的图象与y轴的

交点坐标为（0,5）,图象的顶点为M.矩形ABCD的顶点。与原点。重合，顶点A,C分别在x轴，y轴上,

顶点B的坐标为（1,5）.

⑴求c的值及顶点M的坐标，

（2汝口图2,将矩形ABCD沿尤轴正方向平移f个单位（0</<3）得到对应的矩形AB'C'D'.已知边C‘。‘，A'B'

分别与函数y=V-4x+c的图象交于点尸，。，连接PQ,过点P作PGLAB'于点G.

①当/=2时，求QG的长；

②当点G与点。不重合时，是否存在这样的右使得△尸（迨的面积为1?若存在，求出此时f的值；若不存

在，请说明理由.

2.（2023・四川甘孜・中考真题）已知抛物线y=/+bx+c与x轴相交于A（-l,0）,8两点，与y轴相交于点

C（0,-3）.

⑴求4C的值;

(2)P为第一象限抛物线上一点，APBC的面积与AABC的面积相等，求直线AP的解析式；

3.(2023.内蒙古呼和浩特.中考真题)探究函数了=-2时+4国的图象和性质，探究过程如下:

>

A

图2

(1)自变量X的取值范围是全体实数，X与y的几组对应值列表如下

_5_3j_25_

XL-2-1012L

~2~2~2222

_53_22_5

yL0m2020L

~22222~2

其中，m=.根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分,

请画出该函数图象的另一部分.观察图象，写出该函数的一条性质；

⑵点尸是函数y=-2国2+4国图象上的一动点，点4(2,0),点8(-2,0),当为可,=3时，请直接写出所有

满足条件的点尸的坐标;

4.(2023•辽宁盘锦•中考真题)如图,抛物线、=浸+法+3与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式.

（3）如图2,点E是第一象限内一点，连接AE交，轴于点。，AE的延长线交抛物线于点尸，点厂在线段8

上，且CF=OD,连接丛FE,BE,BP,若S.=ZABE，求面积.

5.（2023・湖南•中考真题）如图，二次函数y=f+6x+c的图象与无轴交于A,8两点，与V轴交于C点，

⑴求这个二次函数的表达式；

⑵在二次函数图象上是否存在点P,使得SAMCUSAMC?若存在，请求出尸点坐标；若不存在，请说明理

由；

6.（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与探究

如图，抛物线y=-/+bx+c上的点A,C坐标分别为（0,2）,（4,0）,抛物线与无轴负半轴交于点8,点M

（1）求点M的坐标及抛物线的解析式;

⑵点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP,CP,当S&AC=S“CM时，求点P的坐标;

7.(2023.四川泸州.中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y="+2x+c与坐标轴分别

相交于点AB,C(0,6)三点，其对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点尸是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与，轴，直线8c交于点。，E.

①当CD=CE时，求。的长；

②若ACW,ACDE,△CEF的面积分别为H，S，S3,且满足S1+S3=2SZ，求点尸的坐标.

专题04面积定值问题

一、知识导航

二、典例精析

如图，抛物线y=-f+2无+3与x轴交于A、8两点（点A在点8左侧），与y轴交于点C,连接BC,抛物

线在线段8c上方部分取一点P,连接P8、PC,若APBC面积为3,求点P坐标.

思路1：铅垂法列方程解.

根据2、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3,

设点P坐标为（现-m2+2〃工+3）,

过点尸作尸0_Lx轴交BC于点Q,

则点。坐标为（〃%-机+3）,

PQ=卜〃/+2〃z+3）—（―7?Z+3）|=|—/772+3m|,

=|x3x|-m2+3m|=3，

分类讨论去绝对值解方程即可得相的值.

思路2:构造等积变形

同底等高三甭形面积相等.

取BC作水平宽可知水平宽为3,根据APBC面积为3,

可知铅垂高为2,

在y轴上取点。使得CQ=2,过点。作BC的平行线,

交点即为满足条件的P点.

当点Q坐标为(0,5)时，尸。解析式为：y=-x+5,

耳天工方—x~+2x+3=—x+5,解即可.

当点。坐标为(0,1)时，P。解析式为：y=-x+\,

联立方程：-x2+2x+3=-x+l,解之Rp可.

在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点3,抛物线>=ox?+6x+c(a<0)经过

点A、B.

(1)求“、6满足的关系式及c的值.

(2)如图，当。=-1时，在抛物线上是否存在点P,使AR4B的面积为1?若存在，请求出符合条件的所

有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),

代入解析式可得：c=2,4a-2b+2=0

(2)考虑A、B水平距离为2,的面积为1,故对应的铅垂高为1.

当a=-l时，可得b=-l,抛物线解析式为y=-/-x+2.

取点C(0,3)作A8的平行线，其解析式为：尸无+3,

联立方程-/-了+2=尤+3,解得故点4坐标为(-1,2)

取点D（0,1）作AB的平行线，其解析式为：y=x+l,

联立方程-%2-工+2=尤+1,解得玉=一1+及，x2=-l-A/2.

点鸟坐标为卜1+应,、历）、点鸟坐标为卜1-垃，一应）.

三、中考真题演练

1.（2023•浙江湖州•中考真题）如图1,在平面直角坐标系中，二次函数y=f-4x+c的图象与y轴的

交点坐标为（0,5）,图象的顶点为M.矩形ABCD的顶点。与原点。重合，顶点A,C分别在无轴，y轴上,

⑴求c的值及顶点M的坐标,

（2汝口图2,将矩形ABCD沿尤轴正方向平移f个单位（0</<3）得到对应的矩形AB'C'D'.已知边C‘。‘，A'B'

分别与函数y=V-4x+c的图象交于点尸，。，连接PQ,过点P作PGLAB'于点G.

①当/=2时，求QG的长；

②当点G与点。不重合时，是否存在这样的右使得△尸（迨的面积为1?若存在，求出此时f的值；若不存

在，请说明理由.

【分析】（1）把（0,5）代入抛物线的解析式即可求出c,把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；

（2）①先判断当7=2时，讯A的坐标分别是（2,0）,（3,0）,再求出x=3,x=2时点。的纵坐标与点尸

的纵坐标，进而求解；

②先求出QG=2,易得P,0的坐标分别是",产-4r+5),(t+l,r-2t+2),然后分点G在点。的上方与点

G在点0的下方两种情况，结合函数图象求解即可.

【详解】(1),••二次函数y=f-4x+c的图象与y轴的交点坐标为(0,5),

••c=5,

••y——4x+5=(尤—2)~+1,

••・顶点M的坐标是(2,1).

(2)①在x轴上，8的坐标为(1,5),

•••点A的坐标是(1,0).

当t=2时，供,A的坐标分别是(2,0),(3,0).

当x=3时，j=(3-2)2+1=2,即点。的纵坐标是2,

当x=2时，y=(2-2)2+1=1,即点P的纵坐标是1.

•?PGLNB',

.,.点G的纵坐标是1,

QG=2-1=1.

②存在.理由如下：

;△尸6。的面积为1,PG=1,

：.QG=2.

根据题意，得P,°的坐标分别是9,产一书+5),(t+l,t--2t+2).

如图1,当点G在点。的上方时，QG=产一布+5-(d-2/+2)=3-2/=2,

此时/=：(在0。＜3的范围内)，

图1图2

如图2,当点G在点。的下方时，QG=t2-2t+2-（t2-4t+5）=2t-3=2,

此时r=2（在0。<3的范围内）.

2

.1-5

22

2.（2023・四川甘孜•中考真题）已知抛物线y=V+bx+c与x轴相交于A（-l,0）,8两点，与y轴相交于点

C（0,-3）.

（2*为第一象限抛物线上一点，APBC的面积与AABC的面积相等，求直线AP的解析式;

【分析】（1）由待定系数法即可求解；

（2）SAPBC=S^ABC得到AP//BC,即可求解；

[1—/?+<?=0,

【详解】（1）由题意，得0

[c=-3.

Ic=—3.

（2）由（1）得抛物线的解析式为广炉-2x-3.

令V=。，则——2x—3=0,得%-—LZ=3.

・・・3点的坐标为（3,0）.

,**S/\PBC=^/\ABC，

，AP//BC.

VB（3,0）,C（0,-3）,

・•・直线BC的解析式为y=%-3.

AP//BC,

可设直线针的解析式为y=x+w.

A（T,O）在直线AP上，

••0——1+TYI.

3.（2023•内蒙古呼和浩特•中考真题）探究函数＞=-2卜「+4国的图象和性质，探究过程如下:

（1）自变量》的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下

_5_32w

XL-2-1012L

~2~2~2222

_52222_5

yL0m020L

~22222~2

其中，机=.根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分,

请画出该函数图象的另一部分.观察图象，写出该函数的一条性质；

⑵点尸是函数y=-2时+4国图象上的一动点，点A（2,0）,点8（-2,0）,当S-=3时，请直接写出所有

满足条件的点P的坐标；

【分析】（1）把尸-1代入解析式，求出机的值即可，描点，连线画出函数图形，根据图形写出一条性质即

可;

(2)利用&皿=，4x|yJ=3,进行求解即可.

【详解】(1)解：当x=—l时，y=-2x|-l|2+4|-l|=-2+4=2,

••m=2,

根据题干中的表格数据，描点，连线，得到函数图象，如下:

由图象可知：图象关于y轴对称;

故答案为：4.

（2）解：•.•点A（2,0）,点3（—2,0）,

AB=4,

S/\FAB=5X4X|词=3,

=±p

当先=|时：一2讨+4国=|,

3113

解得：玉=一大，％2=一大，%3=7，％4二大，

2222

.•.《±31或/《‘11

当力=_|■时：_2国2+4%|=一"|，

解得：%1=+1,X2=--1,

"+2,一|］或年1需3或力|3,3|j；

综上：F±

272222

4.(2023・辽宁盘锦・中考真题)如图，抛物线>="2+法+3与x轴交于点A(-l,0),B(3,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式.

⑶如图2,点E是第一象限内一点，连接AE交，轴于点O,AE的延长线交抛物线于点尸，点尸在线段8

上，且CF=OD,连接丛FE,BE,BP,若5/=%^，求面积.

【详解】(1)解：•••抛物线,=尔+云+3与无轴交于点A(-1,O),8(3,0),

J<2-&+3=0

**|9«+3Z?+3=0,

a=-1

解得:

b=2

二抛物线的解析式为:y=—x2+2尤+3；

(3)解：设点P(利-m2+2m+3),直线/IP的解析式为y=履+》,

A(-1,O),

\—k+b=Q

km+b=—m2+2m+3

k=-(m-3)

解得:

b=-(m-3)'

「•直线AP的解析式为y=-(m-3)x-(m-3),

当犬=0时，y=-(m-3)=3-m,

.\(O,3-m),

/.OD=3—m,

/.CF=OD=3—mf

在抛物线y=-Y+2x+3中，当x=o时，y=3,

.-.C（0,3）,

/.OC=3,

..DF=OC—OD—CF=3—（3—m）—（3—m）=2m—3,

设点E的坐标为卜，一（机一3），一（机一3》,

•/A（-1,O）,3（3,0）,

.\AB=4,

•「SAAFE~^/\ABE，

:.^DF\xA-xE）^^AByE,

.,.；x（2M-3）x（/+l）=；x4x[-（m-3）/—（m-3）],

解得：m=|,

二.点尸的坐标为

cLn1.77

•，S^PAB=]A3xyp=,X4XW=5.

5.（2023・湖南・中考真题）如图，二次函数>=/+"+<、的图象与x轴交于A,8两点，与y轴交于C点，

其中6（1,0）,C（0,3）.

八歹\y

\L\:

\l

（备用图）

⑴求这个二次函数的表达式；

（2）在二次函数图象上是否存在点尸，使得S4Mc=SAMC?若存在，请求出尸点坐标；若不存在，请说明理

由；

【详解】（1）解：将点3（1,0）,C（0,3）代入丫=/+阮+，,得

\l+b+c=O

[c=3

fb=—4

解得：，

•••抛物线解析式为y=f-4%+3；

（2）•；y=x?-4%+3=（x-2）~-1,

顶点坐标为（2,1）,

当y=0时，%2-4x+3=0

x

解得：i=l,x2=3

A（3,0）,则。4=3

VC（0,3）,则OC=3

...AAOC是等腰直角三角形，

・・q_c

•°APAC-°AABC

•••尸到AC的距离等于B到AC的距离，

•••4（3,0）,C（0,3）,设直线AC的解析式为尸质+3

...3k+3=0

解得：k=—l

/.直线AC的解析式为y=-x+3,

如图所示，过点2作AC的平行线，交抛物线于点P,

设BP的解析式为y=-x+d,将点巩1。）代入得,

—l+d=O

解得：d=l

・•・直线BP的解析式为y=-x+l9

y=—x+\

y=一一4%+3

解得:

・・・P（2,-l）,

•/PA=^（3-2）2+12=41,PB=^/（2-1）2+12=V2,AB=3-1=2

P^+PB'=AB2

.••△AB尸是等腰直角三角形，且NAP3=90。，

如图所示，延长R4至。，使得AD=X4,过点。作AC的平行线OE,交无轴于点E,则1%=上4,则符

合题意的点P在直线DE上，

是等腰直角三角形，DE//AC,ACLPD

：.ZDAE=NBAP=45°PD±DE

•••VAOE是等腰直角三角形，

AE=y[2AD=y/2AP=2

E（5,0）

设直线DE的解析式为y=-k+e

—5+e=0

解得：e=5

•••直线OE的解析式为y=-X+5

y=—x+5

综上所述，尸（2,-1）或可¥，*］或尸［心,孑］；

6.（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与探究

如图，抛物线，=-f+法+。上的点A,C坐标分别为（0,2）,（4,0）,抛物线与无轴负半轴交于点2,点M

（1）求点M的坐标及抛物线的解析式;

⑵点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP,CP,当S△皿=S“CM时，求点尸的坐标;

【分析】（1）根据点〃在y轴负半轴且OM=2可得点/的坐标为“（0,-2）,利用待定系数法可得抛物线

7

的解析式为y=~^2+--^+2；

（2）过点尸作轴于点代交线段AC于点E,用待定系数法求得直线AC的解析式为y=-1x+2,

设点尸的横坐标为P（°<P<4），则尸（p，-p2+gp+2j,E（p,-；p+2）,故尸E=-°2+4°（0<p<4）,先

求得Sic“=8,从而得至1］5»M=；尸石-0。=-2。2+8。=8,解出p的值，从而得出点P的坐标；

【详解】（1）解：：点M在y轴负半轴且OA1=2,

.\M（0,-2）

将A（0,2）,C（4,0）代入>=-/+次+%得

c=2

-16+4Z?+c=0

b=—

解得,2

c=2

7

，抛物线的解析式为了=-丁+5工+2

（2）解：过点尸作尸尸，x轴于点尸，交线段AC于点E,

设直线AC的解析式为y=kx+m(k^Q),

将4（0,2）,C（4,0）代入y=4+m,得

「0L1

\m-2k=——

C，解得I2,

4^+m=0c

iym=2

直线AC的解析式为y=-；x+2

设点尸的横坐标为P（°<P<4）

则P〔P，-p2+[0+2],E（p,-；p+2],

PE=-p2+-^p+2-^--^p+2^=-p2+4p（0<p<4）

2

SAACM=8-S^PAC=1PE-OC=-2p+8p=8,解得Pi=P?=2,

•••P（2,5）

7.(2023•四川泸州•中考真题)如图，在平面直角坐标系xQv中，已知抛物线y="2+2x+c与坐标轴分别

相交于点A,B,C(0,6)三点，其对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点尸是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与，轴，直线BC交于点。，E.

①当CD=CE时，求。的长；

②若ACW,&CDE,△CEF的面积分别为工，S2,S3,且满足H+$3=25?,求点尸的坐标.

【答案】⑴y=-5%2+2X+6

⑵①8-20;②尸（4,6）

91

【分析】（1）根据抛物线对称轴为x=2,可得-（=2,求得。=-上再将C（0,6）代入抛物线，根据待定系

数法求得c,即可解答；

（2）①求出点6,点A的坐标，即可得到直线BC的解析式为y=f+6,设CD=a,则。（0,6-a）,求得

4D的解析式，列方程求出点E的坐标，最后根据CD=CE列方程，即可求出CD的长；

②过&F分别作A3的垂线段，交AB于点、G,H,过点。作EG的垂线段，交EG于点/,根据H+S3=2Sz，

可得AD+E尸=2DE,即坐=：,证明设+2/z+6］，得到直线AF的解析式，

AF3<2）

求出点。的坐标，即可得到点E的坐标，将点£的坐标代入>=-%+6解方程，即可解答.

【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为尤=2,

解得〃=-；，

将C（0,6）代入抛物线可得6=c,

抛物线的解析式为，=_#+2彳+6；

（2）解：当y=0时，得0=—；d+2x+6,

解得玉=6,X2=-2,

••.A（-2,0）,3（6,0）,

设CB的解析式为>=履+"将C（0,6）,3（6,0）代入好乙+。,

Q=6k+b

：.CB的解析式为y=-x+6,

设CD=a,贝lJD（0,6—a）,

设A£）的解析式为>=空+仿，将0（0,6-a）,A（-2,0）代入y=《x+伉,

6-〃=4

得

0=—2k]+4

j6-Q

匕=---

解得:“2

l\=6-a

.:钿的解析式为了=等彳+6—。,

y=-x+