中考数学一轮复习强化训练：与圆有关的位置关系（分层训练）解析版

专题11与圆有关的位置关系（分层训练）

\讲台I

f分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2023上•福建福州•九年级福建省福州第八中学校考期中）如图,P为回。外一点，以为回。的切线，A为

切点，PO交回。于点8,ZP=30°,OB=4,则线段。P的长为（）

A.6B.4A/3C.4D.8

【答案】D

【分析】连接。4通过直角三角形的性质求解即可.

【详解】连接。4

回。4=OF=4,

鹤为回。的切线，/为切点，

团回。/尸=90°,

0ZP=30°,

SOP=2OA=8,

故选D.

【点睛】此题考查了圆的切线的性质，涉及了直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆切线的有关性质.

2.（2023上•河北邢台•九年级统考阶段练习）已知回。的半径等于8cm,圆心。到直线/的距离为9cm,则

直线/与回。的公共点的个数为（）

A.0B.1C.2D.3个或3个以上

【答案】A

【分析】圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,当d>7•时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当d=r时，

圆与直线相切，直线与圆有一个交点，时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案.

【详解】解：•・•回。的半径等于厂为8cm,圆心。到直线/的距离为d为9cm,

・•.d>r,

■■■直线/与。。相离，

所以直线/与国O的公共点的个数为0,

故选A

【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关

系对应的公共点的个数是解本题的关键.

3.（2023•吉林长春・统考中考真题）如图，48是。。的直径，2C是。。的切线，若NR4c=35。，则乙4cB的

大小为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】C

【分析】根据切线的性质，得的8。=90。，再根据直角三角形的性质，即可求解.

【详解】解：EAB是O。的直径，3c是。。的切线，

EL45EISC,即西BC=90°,

0ZBAC=35°,

fflz4CB=90°-35°=55°,

故选C.

【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键.

4.（2022・山西吕梁•统考一模）如图，四边形ABCD内接于。0,BE与0。相切于点B,连接AC,ND=120°,

A.80°B.70°C.60°D.75°

【答案】A

【分析】连接03、OC,利用圆内接四边形的性质，利用ED可求出mBC,则在西BC中，求出回CNB,因为

8E与国。相切，则可证得EIC8£=I38/C,即可得解.

【详解】连接08、OC,如图，

团四边形N8C。内接于回。，EL£>=120°,

EEID+IM8C=180°,

EH48c=180°-120°=60°,

EEL4cB=40°,

El在a45c中，SCAB^180°-SACB-^ABC^80°,

与回。相切，

ffl0C5E+0O5C=9O°,

SOC^OB,

00O5C=0OCS,

团根据圆周角定理有E1CO8=2曲C,

又回回03。+回0。8+团。。8=180°,

团2团OBC+2E5/C=180°,

aaoBC+aB/c=90°,

又已证得13c8£+回。8c=90°,

[33C5£=iaR4c=80°,

【点睛】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、圆内接四边形的性质以及圆的切线等知识，掌握

圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

5.（2022・广西崇左・统考一模）已知。。的半径是3,若。P=4,则点P（）

A.在。。上B.在。。内C.在。。外D.无法判定

【答案】C

【分析】点在圆上，则4=「；点在圆外，d>r；点在圆内，d<r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）.

【详解】解：0P=4>3,

.•.点P在。。外，

故选：C.

【点睛】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离

和半径的大小关系.

6.（2023•广东广州•统考中考真题）如图，RM4BC中，ZC=90°,AB=5,cosA=£以点B为圆心，r为

半径作OB,当r=3时，OB与2C的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【答案】B

【分析】根据中，ZC=90°,cos/1=求出AC的值，再根据勾股定理求出BC的值，比较BC

与半径r的大小，即可得出OB与4C的位置关系.

【详解】解：EIRt4aBe中，ZC=90°,cos/1=

mAAC4

团cosA=——=-

AB5

团48=5,

团AC=4

EIBC=VBC2-AC2=3

当r=3时，08与AC的位置关系是：相切

故选：B

【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理

解求出BC是解题的关键.

7.（2023•广东汕头•统考一模）如图，4B与。。相切于点4,0B交。。于点C,点。在O。上，连接4D、CD,

0A,若NAB。=40°,贝IJNADC的度数为（）

A.20°B.25°C.40°D.50°

【答案】B

【分析】先根据切线的性质得到团0/5=90。，则利用互余可计算出团0=50。，然后根据圆周角定理得到西QC

的度数.

【详解】解：的5是团。的切线,

团0M5,

酿045=90°,

团乙48。=40°,

回团0=90°—40°=50°,

0[?L4DC=-[?]O=-x5Oo=25°.

22

故选：B.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

8.（2022•河南周口•校考二模）如图，45切回。于点8,04交回。于点C,过点8作血泡4。交回。于点

连接CD若配CO=25。，则的的度数为（）

【答案】B

【分析】连接。8,由切线的性质得出=90。，根据平行线的性质得至胆。8OC的度数，由圆周角定理得

出阴。8=50。，则可得出答案.

【详解】解：连接08,如图，

的5切回。于点5,

团

团团054=90°,

血

^^DCO=^BDC=25°.

^OC=2^BDC=5Q°,

团的=90°-50°=40°,

故选：B.

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质定理和圆周角定理是解题的关键.

9.（2022上•江苏泰州•九年级统考阶段练习）如图，回。半径0C=5cm,直线府OC,垂足为H且/交回。于

将直线/沿0C所在直线向下平移，若/恰好与回。相切时，则平移的距离为（)

A.lcmB.2cmC.3cmD.8cm

【答案】B

【分析】连接CM,由垂径定理和勾股定理得。〃=3,当点以平移到点C时，直线与圆相切，求得

CH=OC-OH=2cm.

【详解】解：连接。4

团OHB45,

助法4,04=005,

0077=3,

回当点，平移到点。时，直线与圆相切,

BCH=OC-OH=2cm9

即直线在原有位置向下移动2cm后与圆相切.

故选：B.

【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键.

10.（2023•河南信阳・统考一模）如图，48是O。的直径，直线与O。相切于点C,过点4B分别作4。1DE,

BE1DE,垂足为点D,E,连接AC,BC.若AD=1,CE=V3,贝|。4的长为（）

A.1B.V3C.2D..2V3

【答案】C

【分析】连接OC,根据切线的性质和三角函数求得a4co=30。，从而得到胡OC是等边三角形，进而即可

求解.

【详解】解：连接OC,

EL45是回。的直径，

函4c2=90°,

团直线DE与回。相切于点C,

团。。2。£,

^ADWE,BE3\DE,

^ADS\OC^BE,

^OA=OB,

0T>C=CE=V5,

EL4Z）=1,

0tanEL4CD=—=—,

CD3

0EL4CZ)=3O°,

EEL4CO=90°-30°=60°,

^OA=OC,

团a40c是等边三角形，

E1OA=AC,

EL4C=2AD=2,

BOA=AC=2.

故选C.

【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，30。角的直角三角形的性质等，求得的CD=30。是解题的

关键.

11.（2023上•山东济宁•九年级统考期末）在RtAABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心，

2.4cm长为半径的圆与的位置关系是（）

A.相切B.相交C.相离D.不能确定

【答案】A

【分析】利用面积法求出直角三角形ABC的斜边AB上的高，即得到圆心到直线的距离，然后比较它和圆的

半径的大小，得到直线与圆的位置关系

【详解】解：0ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,

SAB=y/AC2+BC2=5cm,

设直角三角形ABC的斜边AB上的高是h,

02.4=2.4,即圆心C到直线AB的距离等于圆的半径,

回直线与圆的位置关系是相切.

故选：A.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法.

12.（2023上•甘肃定西•九年级校联考阶段练习）已知NABC=60。，点。在N4BC的平分线上，OB=5cm,

以点。为圆心，2cm为半径作O。，则。。与BC的位置关系是（）

A.相离B.相交C.相切D.不确定

【答案】A

【分析】过点。作OD1BC于点。，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到。D=|cm,又因为OD大

于半径，即可得到。。与BC的位置关系.

【详解】解：过点。作。。1BC于点。，

•••AABC=60°,点。在乙4BC的平分线上，

:.乙OBC=30°,

在RtAOBD中，OB=5cm,

0D--OB=-cm,

22

5、r

•・•-cm>2cm,

2

.••O。与8C的位置关系是相离，

故选：A.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，30度角所对的直角边等于斜边一半，直线和圆的位置关系，熟练掌

握直线和圆的位置关系是解题关键.

13.（2022・上海松江•校考三模）已知AaBC,AB=10cm,BC=6cm,以点8为圆心，以8c为半径画圆OB,

以点4为圆心，半径为r,画圆02.已知04与OB外离，贝什的取值范围为（）

A.0<r<4B.0<r<4C.0<r<4D.0<r<4

【答案】C

【分析】设OB半径为Rem,则R=6cm,根据两圆外离的条件得到48>7+R,从而得到厂的范围.

【详解】解：设OB半径为Rem,则7?=8。=6011,

,.•。4与。8外离，

AB>r+R,

<AB—R,

即r<4,

r>0,

•••0<r<4.

故选：C.

【点睛】本题考查圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为R,r,两圆外离=d>R+r；

两圆外切Qd=R+r；两圆相交=R—rVdCR+r(R>r)；两圆内切Qd=R—r(R>r)；两圆

内含Qd<R—r(R>r).

14.(2023・湖北鄂州•校考模拟预测)如图，A4BC的内切圆。。与AB,BC,AC分别相切于点。，E,F,连

接OE,OF,若NC=90。，AC=3,BC=4,则阴影部分的面积为()

111

A.2—71B.4—71C.4—71D.1—71

224

【答案】D

【分析】先由勾股定理求出N8的长,再判定四边形CEO尸是正方形，由切线长定理建立方程求出圆的半径,

进而计算扇形面积即可解答；

【详解】解：由题意EL42c中=VXC12+BC2=V32+42=5,

回。=90°,OF^AC,OE^BC,

回四边形CEOk是矩形，

OE=OF,

团矩形CEO尸是正方形，

由切线长定理可得CF=CE,AF=AD,BE=BD,

^AB=AD-\-DB=AF+BE,

设圆的半径为x,则(3-x)+(4—%)=5,解得x=l,

扇形方面积二券;7T•12=%,

3604

团阴影面积=正方形CEO尸面积一扇形EO尸面积=1-%,

4

故选：D；

【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定和性质，切线长定理，扇形面积计算；结合图形求出内切圆

半径是解题关键.

15.(2022・广东深圳・深圳市观澜第二中学校考模拟预测)如图，如图，力B是。。的直径，点C是。。上一点，

4。与过点C的切线垂直，垂足为D,直线DC与A8的延长线交于点P,弦CE平分乙4CB,交4B于点F,连接8E,

BE=7V2.下列四个结论：①AC平分AD4B；②PF2=pB.pa；③若BC=}OP,则阴影部分的面积为

-7T--V3；④若PC=24,则tan/PCB=2.其中正确的是()

444

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】①连接。C,根据CD是。。的切线，AD1CD,推出力。||0C,得至UACMC=N4C。，根据。C=0A,

推出NB4C=N4C。，得至=NB4C=(NBAD,得至！MC平分止匕结论正确；

②根据4B是。。的直径，推出N4CB=90。，得至!INCZB+NCBA=Z_0C8+/PC8=90。，卞艮据。8=0C,

推出NOBC=NOCB,得至！UCAB=NPCB,根据NP=NP,推出△PCB-APAC,推出詈=言，得至!JPC2=

PB-PA,I艮据CE平分N4CB,推出NACE=NBCE,根据NPCF=NPCB+NBCE,ZPFC=^ACE+^BAC,

推出NPCF=NPFC,得到PC=PF,得到PF2=PB.PA,此结论正确；

③根据若8c=1OP,推出BC是RtAOPC斜边。P上的中线，推出。B=PB=8C=^0P,根据。B=OC,

推出OB=0C=BC,得到△OBC是等边三角形,得到NBOC=60°,连接4E,则力E=BE=7VL根据乙4EB=

90°,推出=y/AE2+BE^=•BE=14,得到。B=7,推出S阴影=S扇形如。一SABOC=嗤乙-誓=

497r竽此结论不正确;

6

④根据OC=0A=7,PC=24,乙OCP=90°,推出。P=VOC2+PC2=25,得到P4=OP+OA=32,

根据4。IIOC,推出宅=9,得到8=字，根据APO。PH。,推出?=馨得到4。=甯，根据＜PCB=

CzCziZDCzC/CziZD

7X24

ABAC=^DAC,推出Cn"CB=tanz£MC=黑=蓬=.=£此结论正确.

25

【详解】①连接OC,

团CD是。。的切线，

团CD1OC,

团4。1CD,

团4。IIOC,

皿MC=乙4C。，

团。C=OA,

国4BAC=4ACO,

国匕DAC=Z-BAC=-Z.BAD,

2

团AC平分"48,

故AC平分448正确；

②团是。。的直径，

国匕ACB=90°,

^£.CAB+MBA=90°,

^OCB+乙PCB=90°,

0ZCXB+2LCBA=乙OCB+乙PCB,

回。8=OC,

团乙。BC=乙OCB,

^\Z.CAB=乙PCB,

团乙尸=乙P,

[HAPCBs、PAC9

「PCPB

,

回Pf2=PB•PA,

团CE平分N4CB,

^Z-ACE=乙BCE,

团乙PCF=Z.PCB+乙BCE,乙PFC=LACE+乙BAC,

⑦乙PCF=乙PFC,

团PC=PF,

加产PB.PA,

故P产=PB-P4正确；

③团若BC=3OP,

EIBC是Rt△OPC斜边。P上的中线，

1

团。8=PB=BC=-OP,

2

BOB=OC,

团。B=OC=BC,

0AOBC是等边三角形，

团NBOC=60°,

连接4E,贝l|AE=BE=7V2,

EINAEB=90°,

EL4B=y/AE2+BE2=V2BE=14,

0OB=7,

13s阴影=S扇形BOC—S&BOC

60兀X72V3X72

=~3604~

497r49V3

—,

64

故若BC=；OP,则阴影部分的面积为:兀-?旧不正确;

244

④团。C=OA=7,PC=24,AOCP=90°,

HOP=<OC2+PC2=25,

^PA=OP+OA=32,

SAD||OC,

胫=上，

OAOP

回6=等

[?]△POCPAD,

"OPA

7X32

团4。=——

25

国乙PCB=Z-BAC=Z-DAC,

7X24

rr\---74?

团tanZ_PCB=tanZ.DAC=——==—=-

AD324

25

故若PC=24,贝Ijtan/PCB=?正确.

4

故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆的切线，角平分线，圆周角，勾股定理，平行线，相似三角形，等边三角形,

扇形面积，锐角三角函数等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握圆的切线的性质，角平分线的定义,

圆周角定理的推论，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，等边

三角形的判定和性质，扇形面积计算公式，正切的定义.

二、填空题

16.（2023•辽宁抚顺•校联考一模）已知。。的半径为6,2为线段0P的中点，当。P的长度为10时，点力与。。的

位置关系为—.

【答案】点4在圆内.

【分析】知道。P的长，点A是。P的中点，得到。4的长与半径的关系，求出点4与圆的位置关系.

【详解】解：•••0P=10,a是线段0P的中点，

OA=S,小于圆的半径6,

.••点4在圆内.

故答案为点4在圆内.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据。P的长和点4是。P的中点，得到。4=5,小于圆的半径,

可以确定点2的位置.

17.（2023,广西防城港•统考一模）已知。。的半径为6,且点4到圆心的距离是5,则点4与。。的位置关系

是.

【答案】/在O。内

【分析】根据当d<r时，点在圆内解答.

【详解】解：回。4<r,

团点A在O。内，

故答案为：/在。。内.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，关键要记住若半径为，，点到圆心的距离为d,则有：当d>r时，

点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<?""时，点在圆内.

18.（2023上•广西•九年级统考阶段练习）如图，在RtZ^ABC中，NC=90。，AB=13,AC=5,以点C为圆

心r为半径作圆，如果OC与4B有唯一公共点，则半径r的值是.

【分析】由题意易知OC与AB有唯一公共点，说明OC与直线AB相切，即过点C作CDEIAB,CD的长即为

Oc的半径r.

【详解】解：由题意得：OC与AB有唯一公共点，说明OC与直线AB相切，过点C作CD回AB,如图所示：

B

CA

0ZC=90°,AB=13,AC=5,

BBC=y/AB2-AC2=12,

0/1C-BC=AB-CD,

故答案为詈

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及切线定理，熟练掌握直线与圆的位置关系及切线定理是解题

的关键.

19.（2023上•河北唐山•九年级统考期末）如图，48是。。的直径，点尸是4B延长线上的一点，PC是。。的

切线，C为切点.若24=8,sinP=±则O。的半径为.

【分析】如图，连接OC,由sinP=1,设圆的半径为r,证明PB=2r,再求解r,再利用勾股定理可得答

案.

【详解】解：如图，连接。C,

•••PC是O。的切线,

・•・乙PCO=90°,

而sinP=I，

设圆的半径为厂，则一彘

UrDT~rrD3

PB=2r,

■■■PA=8,

r+r+2r=8,解得：r=2.

.•・O。的半径为2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，锐角三角函数的应用，解题的关键熟练掌握切线的性质以及锐角

三角函数.

20.（2023•福建宁德•统考二模）如图，点/为回O上一点，点P为/O延长线上一点，尸8切回。于点3,连

接N8,若a4P8=40。，则m的度数为.

【答案】25。

【分析】连接0B,由切线的性质可以算出回BOP的度数，再利用圆周角定理即可算出西的度数.

【详解】连接OB,

0P8切回。于点3

00OBP=9O°,

又EEUP8=40°

EB50P=90°-40°=50°

国乙4=%NBOP=25。

2

故答案为：25。

【点睛】本题考查了切线的性质以及圆周角定理，连接0B,构造除直角三角形是解题的关键.

21.（2023・云南昆明•统考二模）已知直线1:y=-巳％+2,若OP的半径为1,圆心P在y轴上，当OP与直

线/相切时，则点P的坐标是.

【答案】（0,2—孚）或（0,2+苧）

【分析】先计算直线与两坐标轴交点B,再根据勾股定理得到/2=2遥，设尸坐标为（0,m）（m>0）,

即。尸=加，若P在3点下边时，AP=2-m,根据切线的性质得到aPN3=90。，根据相似三角形的性质得到m=

2-y,此时尸（0,2_当）；若尸在8点上边时,同法求得尸（0,2+当）.

【详解】解：令尤=0,得y=2,令y=0,得x=4

回直线/经过点44,0）,B（0,2）,

EL4S=A/42+22=2V5,

设尸坐标为（0,即。尸二加，

若尸在8点下边时，BP=2-m,

当48是团。的切线，

盟PNB=90°.

加P8N=胤450,"W乐勖。4=90°,

^PBN'^ABO,

12—m

.•厂2V5

此时尸(0,2-—)

若尸在3点上边时，BP=m-2,

同理勖尸冲血O,则有丝=之

1_m-2

4-2V5，

771=2+此时尸（0,2+,），

综上所述：尸（0,2-苧）或尸（0,2+争,

故答案为：（0,2一9或（0,2+争.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质，难度一般.

22.（2023•浙江宁波•校考三模）已知，RtAABC中，ABAC=90°,AB=3,BC=5.点。在△ABC的一边

上，OD是以。为圆心，CD为半径，并与AABC的一边相切，则CD=.

【答案】2或g

【分析】根据题意，进行分类讨论，①当点。在2C上时，OD与边相切，根据中点的定义进行解答；

②当点。在BC边上时，。。与4B边相切，根据相似三角形性质进行解答；③当点。在4B边上时，不符合

题意，舍去.

【详解】解：根据勾股定理可得：AC=yjAB2-BC2=4,

①当点。在/C上时，

团CD=AD,

配D=-AC=2；

2

B

②当点。在BC边上时，

设CD=DE=x,

国O。与48相切，

团DE1AB,

^BAC=90°,

团。EIIZC,

^1Z.BDE=乙BCA,乙BED=Z-BAC,

[?]△BDE-△BCA,

f-.DEBDx5-x

E—=—,即Rn一=—,

ACBC45

综上：CD=2或空，

9

故答案为：2或

【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌

握切线的判定定理和相似三角形对应边成比例.

23.（2023上•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨德强学校校考开学考试）如图，PA切。。于点4直径BC的延长

线交P4于点P,PA=6,PC=2,NP的正切值为.

【分析】连接设半径O/=OC=x,则。P=x+2,由切线的性质可得回CMP=90。，进而根据勾股定理列

方程求得04=8,最后再根据正切值的定义计算即可.

【详解】解：如图，连接04,

设半径贝ij0P=%+2,

回P/切。。于点4

团团CMP=90°,

团在AS。4尸中，。42+/P2=。「2,

团/+62=(x+2)2,

解得：x=8,

团04=8,

团在Rt^OAP中，tan/P=-=-=

AP63

故答案为：

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，正切值的定义，熟练掌握切线的性质是解决本题的关键.

24.（2023•安徽芜湖•校联考二模）如图，在RM4B0中，OB=4,乙4=30。，。。的半径为r,点P是4B边

上的动点，过点P作。。的一条切线PQ（其中点Q为切点）.当。。与直线4B只有一个公共点时，r=；

当r=旧时，线段PQ长度的最小值为.

【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理可得48=8,04=4百，设。。与直线4B的切点为点C,连接

OC,再根据圆的切线的性质可得48,且0C=r,然后利用三角形的面积公式求出。C长即可得；连接

OP.OQ,先根据圆的切线的性质可得0Q1PQ,0Q=T=®再利用勾股定理可得PQ=VOP2-3,从而

可得当。时，0P取得最小值，线段PQ长度最小，同上可得0P的最小值为2次，由此即可得出答案.

【详解】解：•••在RtAAB。中，0B=4,44=30°,/-AOB=90°,

•••AB=20B=8,。力=<AB2-0B2=48，

当O。与直线只有一个公共点时，则。。与直线相切，

如图，设。。与直线4B的切点为点C,连接0C,

贝UOC14B,且。C=r,

11

•••ShAB0=-0A-OB=-AB-OC,

ccOAOB

・••OC=-------包---=2。

AB

即r=2V3；

如图，连接。P,OQ,

•••PQ与。。的相切于点Q,

OQ1PQ,OQ=r=V3,

在Rt△POQ中，PQ=JOP2-OQ2=70P2-3,

要使线段PQ长度最小，则只需OP取得最小值即可，

由垂线段最短可知，当。P_L48时，OP取得最小值，

由上可知，0P的最小值为2禽，

则线段PQ长度的最小值为JCZ%）2=3=3,

故答案为：2乃，3.

【点睛】本题考查了含30。角的直角三角形、勾股定理、圆的切线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的性

质是解题关键.

25.（2022•江苏盐城•校考一模）如图，在△力8c中，^ACB=45°,4B=4,点、E、F分别在边BC、28上，

点E为边BC的中点，AB=3AF,连接4E、CF相交于点P,贝UA4BP面积最大值为

【答案】1+V2

【分析】作4HII8C交CF的延长线于点H,贝必4H尸〜ABCF,得煞=箓=%所以4H=/。=EC,再证

明△力PH=△EPC,贝IMP=PE=\AE,所以SA/BP=^SAABE=}SLABC,可知当S^BC最大时，贝达△.「最大；

作AABC的外接圆o。，作CG14B于点G,。。148于点£>,。/，CG于点/,连接0C,可证明当点/与点。重

合，即C、0、。三点在同一条直线上时，CG最大，此时SMBC最大；当点C在。。的延长线上，连接。40B,则

/.A0B=2乙ACB=90°,由勾股定理求得。C=。4=2或,而。。=AD=BD=^AB=2,所以CD=2+2VL

即可求得S-BC最大=4+4V2,S.BP最大=1+V2.

【详解】解：如图1,作4HII2C交CF的延长线于点H,则△4HF〜ABCF,

4\、、lFDG/B

H图1

1

•••ABEC=EB=-BC,

=3i4F,2

.AH_AF_1

•,*———,

BCBF2

1

・•・AH=-BC,

2

・•.AH=EC,

•••Z-H=(PCE,乙APH=2EPC,

APH=AEPC(AAS),

i

・•.AP=PE=-AE,

2

•••S'ABP=2S&ABE9

1

SA/BE=5s△人⑶口

，•S^ABP=ZS^ABC，

・••当SAABC最大时，则SAABP最大；

作△ABC的外接圆。。，作CGJ.ZB于点G,。0148于点。，。/，CG于点/,连接。

•・•Z.ODG=Z.OIG=Z.IGD=90°,

・•・四边形O/GO是矩形，

•••IG=OD,

vIC<OC9

IC+IGWOC+ODr

即CG<OC+OD,

・•・当点/与点。重合，即c、。、。三点在同一条直线上时，CG最大，此时SAABC最大；

如图2,△ABC的外接圆O。，。。_1.43于点。，点C在。。的延长线上，连接CM、OB,

•••乙ACB=45°,

AAOB=2^ACB=90°,

•••OA2+OB2=AB2,OA=OB,AB=4,

2。炉=42,

OC=OA=2V2,

vAD=BD,

OD=AD=BD=-AB=2,

CD=2+2^2,

S.BC最大=1X4x（2+2夜）=4+4或，

SAABP最大=；x（4+4V2）=1+V2,

A4BP面积最大值为1+V2,

故答案为：1+/.

【点睛】此题重点考查三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判

定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的

关键.

三、解答题

26.（2022•河南郑州•郑州外国语中学校考模拟预测）如图，已知AB是回。的直径，BD是回。的弦，延长BD

到C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE0AC,垂足为E.

（1）求证：AB=AC；

（2）求证：DE是回。的切线；

（3）若回。的半径为6,0BAC=6O°,贝IjDE=.

【答案】（［）见解析；（2）见解析；（3）3V3.

【分析】（1）连接AD,由直径所对的圆周角度数及中点可证AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线

的性质可得结论；

（2）连接OD,由中位线的性质可得ODEIAC,由平行的性质与切线的判定可证；

（3）易知△力BC是等边三角形，由等边三角形的性质可得CB长及NC度数，利用直角三角形30度角的性质

及勾股定理可得结果.

【详解】（1）连接AD.

BAB是的直径,

团团ADB=90°.

・•・AD1BC

又回DC二BD,

・・・AD是BC的垂直平分线

回AB=AC.

(2)连接OD.

00CED=9O°.

团O为AB中点，D为BC中点，

团OD回AC.

丽ODE二团CED=90°.

团DE是团O的切线.

（3）由（1）得ZC=AB

•・.ABAC=60°

・•.△是等边三角形

・•.Z.C=60°,BC=AB=2x6=12

i

.・.DC=BD=-BC=6

2

在Rt△CEO中，乙CDE=90°-60°=30°

・•・CE=-CD=3

2

根据勾股定理得CE2+DE2=CD2

DE=JCD2-CE2=762-32=3V3

【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，涉及的知识点主要有圆的切线的判定、圆周角定理的推论、垂直

平分线的性质、等边三角形与直角三角形的性质，灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.

27.（2023•河南•统考一模）如图，在RtE⑷9c中，EL4c8=90。，以直角边8c为直径作回。、交AB于点、D,E

为NC的中点，连接DE

⑴求证：OE为回。的切线；

(2)已知3C=4.填空.

①当。£=时，四边形DOCE为正方形;

②当。£=时，05。。为等边三角形.

【答案】⑴证明见解析；⑵①2；②2Vl.

【分析】(1)连接CD,根据圆周角定理得出NCDB=90°,根据直角三角形性质得出。E=CEAE,求出

ZACD+ZDCO=ZEDC+ZCDO,求出OD_LO£,根据切线的判定得出即可；

(2)①若四边形。OCE1为正方形，则OC=OD=DE=CE=2；

②若△30。为等边三角形，则/DOE=60。,则RtZkODE中，则。£=2百.

【详解】⑴如图，连接CD,OE,

西C为回。的直径，

035。。=90°,

0£>E为RtEWDC的斜边/C上的中线，

在13coE与EIDOE中，0D=CC,OE=OE,DE=CE,

H3COE团IHDOE,

^BOCE=SODE=90°,

DE为国。的切线；

⑵①若四边形。。C£为正方形，则OC=OD=DE=CE,

0BC=4,

WE=2.

②若鲂OD为等边三角形,

03500=60°,

EBCOZ)=180°-05(9^=120°,

H3Z)OE=60°,

EIRtElOAE中，DE=0D-tan60°=2百.

故答案为2,2次.

【点睛】本题为圆的综合题，涉及到直角三角形中线定理、正方形的性质，等边三角形的性质以及切线的

判定和性质，熟练掌握圆的相关性质以及等边三角形、正方形的性质是解题的关键.

28.(2023•内蒙古鄂尔多斯,二模)如图，AB.CN为。。的直径，弦CD10B于点E,点尸在延长线上，CN

交弦AD于点M,B为。F的中点，sin^ADO=

⑴求证：CF为O。的切线；

⑵求CE=V3,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

(2)———

''32

【分析】(])连接BC,根据特殊角的三角函数值得出乙4。。=30。，进而证明AOBC是等边三角形，△OCF是

直角三角形，即可得出结论；

(2)根据勾股定理求得CE,进而求得。M=1,DM=巾,根据图中阴影部分的面积=S扇形DON-SADOM，

即可求解.

【详解】(1)证明：连接BC,

D

i

vsinA.ADO--

2

.•・/.ADO=30°,

OD—OA,

・•・4=30°,

•••Z.DOB=2/-A=60°,

BCD1OB

团8c=RD,

回NB。。=乙BOD=60°,

・•.△OBC是等边三角形，

BC=OB,

•••8为。尸的中点，

•••OF=2BC,

SOB=BC=BF,

^BCF=4FBC=|(180°-ZCBF)=^(180°-120°)=30°,

0ZOCF=乙OCB+Z.BCF=90°,

OCF是直角三角形，

ZOCF=90°,

•••。。是O。的半径，

・•.CF为。。的切线；

(2)解：•••AOCF=90°,ACOF=60°,

•••乙F=30°,

•••Z-A=Z.F,

•••ADWCF,

・•・CN工AD,

・•・^AMO=90°,

・•.Z.AOM=60°,

・•・乙DON=180°-匕AOM-乙DOF=60°,

CD1OB,

・•・(CEO=90°,

•••CE=V3,

OC=OD=2,

OM=LOD=1,DM^—ODV3,

22

・•・图中阴影部分的面积=S扇形DON_SADOM=嗤"-jxlxV3=^-^.

【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，扇形面积公式，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是

解题的关键.

29.(2023,天津东丽•统考二模)如图，4B是回。的直径，点£为团。上一点，4D和过£的切线互相垂直，垂

足为。，切线。E交48的延长线于点C.

A

(1)若NDE4=66。，求NC的度数；

(2)若NC=30°,AB=6,求2。的长.

【答案】⑴42。

【分析】(])连接。E,可推出4。||。凡故N£ME=N4E。；根据NEOC=NEA。+N4E。、NC=90°—NEOC

即可求解;

(2)在OEC中可求出。C,进而可确定4C；在RtAADC中即可求出4D的长.

【详解】(1)解：连接OE,

团CD与。。相切

WE1CD

国4。1CD

BADWOE

^DEA=66°,Z-ADE=90°

团乙DAE=AAEO=90°-66°=24°

回。E=OA

^EAO=^LAEO=24°

团4EOC=乙EAO+Z.AEO=48°

团乙C=90°-Z,EOC=42°

(2)解：^\AB=6

团。Z=OB=OE=3

在RtaOEC中：OE=3,Z-C=30°

团。C=2OE=6

团4c=OA+OC=9

在中：AC=9,zC=30°

1g

SAD=-AC=-

22

【点睛】本题考查了切线的性质定理、直角三角形的性质以及勾股定理等知识.熟记相关结论即可.

30.(2023,江苏扬州,校联考二模)如图，△ABC中，AB=AC,。。过B、C两点，且2B是。。的切线，连

接2。交劣弧BC于点P.

(1)证明：AC是。。的切线；

(2)若AB=8,AP=4,求。。的半径;

【答案】⑴见解析

(2)0。的半径为6

【分析】(1)直接根据"SSS"证明AABOmAac。即可得出结论；

(2)设。。的半径为r,贝然。=「+4,然后根据勾股定理列出方程求解即可.

【详解】(1)证明：在AdB。和△力C。中，

rAB=AC

加。=C。，

(4。=AO

0AABO=AACO(SSS),

S1Z.AB0=Z.ACO,

囿4B是。。的切线，

0Z4BO=AACO=90°,

回C。是。。的半径，

财。是。。的切线；

(2)解：设。。的半径为r,

则4。=r+4,

在RtAAB。中，AB2+B02=A02,

即8?+产=(4+7)2,

解得：r=6,

故O。的半径为6.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，灵活运用所学知

识点是解本题的关键.

31.(2023•内蒙古呼伦贝尔•统考一模)已知，如图，是国。的直径，点C为回。上一点，。曲C于点尸,

交圉。于点E,/£与交于点，，点。为O£的延长线上一点，且回OO8=a4EC.

（1）求证：2。是回。的切线；

（2）若回。的半径为5,sin/=|,求班/的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）BH=*

【分析】⑴由圆周角定理和已知条件证出团。。8=囿43。，再证出0A8C+0Z）8/=90。，即回。3。=90。，即可得

出8。是回。的切线；

（2）连接由圆周角定理得出胡班=90。，设BH=5x,EH=3x,在RtABEH中BH?-EH2=BE?,即可

进行求解.

【详解】（1）证明：^S\ODB=SAEC,^AEC^SABC,

^S\ODB=^ABC,

EICWBC,

0E5FD=9O°,

^\ODB+^DBF=90a,

EB48C+E1D2F=9O°,

即团03。=90°,

051）005,

血）是EIO的切线；

（2）解：连接BE,如图2所示：

A

C

H.

O

F

D

B

图2

EL45是回。的直径,

014班=90°,

03。的半径为5,s加勖4&=|,

3

胤45=10,BE=AB•sin⑦BAE=10X-=6,

EI8E=CE,

ElNCBE=Z.A,

3

^\sin^\CBE=sin^\A=-f

「EH3

设8〃=5x,EH=3x,

在Rt^BEH中Bl-EH2=BE2,

(5x)2—(3x)2=6?,解得，彳=|,

15

2

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理，正确作出辅助线是解题的关

键.

32.(2023・安徽合肥・统考三模)如图，己知AC是O。的直径，P414C于点4连接OP,弦C8〃0P,直线

PB交直线&C于点D.

(1)求证：直线PB是。。的切线:

(2)若BD=2PA,OA=3,PA=4,求BC的长.

【答案】（1）见详解；（2）y

【分析】（1）连接08.利用"S证明即。施即Q4,根据全等三角形对应角相等得出附30=皿0=90。，

即直线尸8是回。的切线；

（2）根据即。施加04得出尸5=以，由已知条件〃5。=2以〃、等量代换可以求得加=2尸5；然后由相似三

角形的对应边成比例可以求得BC=|P。，进而即可求解.

【详解】（1）证明：如解图，连接。B.

0BC//OP,

团乙BC0=4P0A,乙CB0=乙P0B.

又团。C=0B,

团NBC。=乙CB0,

BZ.P0B=Z-P0A.

在APOB与△P04中，

OB=0A

Z-POB=Z.POA,

、P0=P0

[?]△POB=^POA(SAS).

^PBO=Z.PAO=90°,

又回。8是。。的半径，

团PB是。。的切线；

（2）W：0APOB三△P04,

MB=PA.

团BO=2PA,

国BD=2PB.

⑦BC//OP,

团ADBC〜△OP。，

国BC=-P0=-xV32+42=—.

333

【点睛】本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半

径