中考数学一轮复习压轴题：几何背景下的线段最值问题（3题型+解题模板+技巧讲义）原卷版

压轴题解题模板03

几何背景下的线段最值问题

目录

|5下型H解｝I读）

题型一垂线段最短问题

题型二将军饮马问题

题型三旋转最值问题

几何背景下的线段最值问题

题型三旋转最值问题题型一垂线段最短问题

题型二将军饮马问题

下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的

题型解读：

考查热度.

线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的

考试热度

形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查

垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用到

特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理和二

次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与

化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题:①线段和

差最值问题;②尺规作图问题;③旋转“费马点”问题;

④点到直线的距离最值问题等.

题型一垂线段最短问题

解题模板:

根据条件判断该题为垂线段最短模型

利用模型技巧构造垂线段，确定动点位置

根据已知条件或勾股定理列式计算

技巧精讲：垂线段最短模型

模型问题情境图示技巧

已知直线/外一定点A和直线1上A

过点4作48JJ于点B,48即为所求距离

垂线段最短一动点3,求4,8之间距离的最小

人的最小值

值8’BB”

A

已知4408的内部有一定点P,在作点P关于直线0B的对称点P',过点P'

作对称+垂线段最短OA上找一点M,在0B上找一点N,作PW1O4于点M,与08相交于点N,

使得PN+MN的值最小0-BP'M即为所求的最小值

【例1】如图，在RtZkABC中，ZBAC=90°且AB=3,AC=4,点。是斜边8C上的一个动点，过点。

分别作。于点OVLAC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为（）

52

【变式1T】如图，在RtZXABC中，ZC=90°,A。是/BAC的平分线，点E是AB上任意一点.若CD

=5,则。E的最小值等于（）

【变式1-2］如图,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点,连接PD,

以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是（

A-TB.1C.V2D.|

题型二将军饮马问题

解题模板:

根据条件判断该题为“将军饮马"模型

利用模型技巧作对称点并连线，确定动点位置

根据已知条件或勾股定理列式计算

技巧精讲:

1、〃将军饮马”模型

模型问题情境图示技巧

已知直线1异侧的两定点4,&在直A

线1上找一点尸，使得以+总的值连接AB与直线l交于点PyAB即为所求的最小值

最小

“两定一动”

已知直线1同侧的两定点4,当在直A

作点B关于直线1的对称点*，连接力*与直线1

线1上找一点尸,使得PA+PB的值

交于点匕4"即为所求的最小值

最小加

Pl

已知NAOB内部有一定点P,在。4分别作点P关于直线。4,。8的对称点P',产，连接

“一定两动”上找一点M,在0B上找一点N,使P'P",交OA,OB于点M,N,P'P"即为APMN周长

得△口!/N的周长最小x的最小值

-

模型问题情境技巧

名

已知440B内部有两个定点P,Q,分别作P,Q关于直线OA,0B的对称点P',Q',连

“两定两动”在。4上找一点M,在0B上找一点接PQ',分别交Q4,0B于点M,N,PQ+PQ的值

M使得四边形PQNM的周长最小即为四边形PQNM周长的最小值

。

A

已知4〃。，匕4之间的距离为d,将点A向下平移d个单位长度到点1,连接A'B交

在1/上分别找”,N两点，使得d\A'<_/直线4于点M过点N作于点M,/VB+

N、%

MNll,,S.AM+MN+NB的值最小MN即为所求的最小值

B

“架桥”问题已知直线1同侧的两定点4潭,在直将点4向右平移d个单位长度到点4,作点火关

4I~

线/上找M,N两点（M在N左侧），弋'B于直线1的对称点4",连接A"B交直线1于点N,将

1

使得MN=d,且AM+MN+NB的值点N向左平移d个单位长度到点M,A"B+MN即

V

最小4〃为所求的最小值

2、线段差最大值问题模型:

模型问题情境图示技巧

已知直线Z同侧的两定点4,凡在直A

连接48并延长，与直线1交于点尸,48即为所求的

同侧线1上找一点P,使得1尸4-PB1的

最大值

值最大X

已知直线1异侧的两定点儿&在直A

作点B关于直线1的对称点小，连接4"并延长与

异侧线1上找一点P,使得1P4-PB1的-----»>1

直线1交于点匕4*即为所求的最大值

值最大Br

【例2】（德州中考）如图，正方形4BC。的边长为6,点E在BC上，CE=2.点M是对角线8。上的一

个动点，则EM+CM的最小值是（)

C.2任D.4713

【变式2-1］（荷泽中考）如图，在菱形ABCD中，AB=2,ZABC=60°,M是对角线8。上的一个动点,

CF=BF,则的最小值为（）

C.V3D.2

【变式2-2］如图，等腰三角形A3C的底边8C长为6,腰AC的垂直平分线EF分别交边AC,A2于点E,

F,。为边的中点，M为线段上一动点，若△COM的周长的最小值为13,则等腰三角形ABC的面积

为（）

A.78B.39C.42D.30

【变式2-3】已知点尸在/MQV内.

⑴如图①，点尸关于射线OM、ON的对称点分别是G、H,连接OG、OH、OP、CH.

①若/MON=30。,则AOGH是什么特殊三角形？为什么？

②若NMON=90。,试判断G”与OP的数量关系，并说明理由；

(2)如图②，若/MON=30。，A、8分别是射线OM、ON上的点，A3LON于点B,点尸、。分别为OAAB

上的两个定点，且Q3=L5,OP=AQ=2,在03上有一动点E,试求尸E+QE的最小值.

【变式2-4](2023•山东日照・统考中考真题)如图，矩形ABC。中，AB=6,AD=8,点尸在对角线3D上,

过点尸作交边AD,8C于点M,N,过点M作交3D于点£,连接EN,BM,DN.下

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列结论：①EM=EN；②四边形"BAD的面积不变；③当AM:MD=1:2时，SAMP£=—；®BM+MN+ND

的最小值是20.其中所有正确结论的序号是.

题型三旋转最值问题

解题模板:

根据条俏断该题为旋转最值模型

根据模型技巧进行旋转作图

借助几何关系或勾股定理列式计算

技巧精讲：旋转求最值模型

类别问题情境图示技巧.

A

已知△48C内部有一点P,连接将△4PC绕点C顺时针旋转60。,得到△即C,连接

“费马点”问题求P4+P8+PC的PO,8M当B,P,O,E四点共线时，尸4+P8+PC取

最小值纱得最小值，最小值为BE

BC

已知在四边形ABPC中，=将△回「绕点P顺时针旋转a得到△4＜户,连接

三角形三边

PC,AB=a,AC=b,乙BPC=Q,一A4',当4,C,4'三点共线时,/bC的值最大，此时4P

关系问题

求4尸的最大值\的值最大

P

【例3】（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）如图，AABC是边长为6的等边三角形，点E为高上的动点.连

接CE,将CE绕点C顺时针旋转60。得到C/.连接AT,EF,DF,贝UACD厂周长的最小值是.

【变式3-1】如图，在AABC中，ZC4B=90°,AB=AC=1,尸是AABC内一点，求X4+PB+PC的最小值

为.

p.

【变式3-2］如图，已知矩形AB。，AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为8c边上任意一点，则

MA+MD+ME的最小值为.

BE

【变式3-3］如图，正方形ABCD的边长为4,点尸是正方形内部一点，求PA+2P3+6PC的最小值.

一、单选题

1.如图，YABCD的面积为12,AC=3D=6,AC与30交于点。分别过点C,。作BD,AC的平行线

相交于点尸，点G是8的中点，点尸是四边形OCED边上的动点，则PG的最小值是（）

D

G

B.立C.-D.3

2.已知在RhACB中，ZC=90°,ZABC=75°,AB=5.点E为边AC上的动点，点P为边A3上的动点,

则线段FE+EB的最小值是（）

C

A.在B.-C.加D.也

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二、填空题

3.如图，P是菱形A8CD对角线8。上一点，PELA8于点E,PE=4cm,

则点P到BC的距离是cm.

4.如图，在"LBC中，NC=90o,AC=3C=6.P为边A3上一动点，作PDL3c于点。，PELAC于点E,

则DE的最小值为.

A

5.如图，在RtaABC中，NACB=90。，ZABC=30°,AC=4,按下列步骤作图：①在AC和A3上分别

截取AD、AE,使=②分别以点。和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在/54C

内交于点③作射线AM交BC于点足若点P是线段AF上的一个动点，连接CP,贝。。尸+：4尸的最小

值是.

6.菱形ABCD的边长为2,—ABO45。，点尸、。分别是3C、3。上的动点，CQ+PQ的最小值为.

7.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点C在直线MN上，NBCN=60。,点尸为MN上一动

点，连接AP,BP.

(I)使AP+3尸取最小值的动点尸的位置在点C的侧.(填“左''或"右”).

(II)当AP+BP的值最小时，请直接写出NCBP的度数..

三、解答题

8.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1,点A的坐标为(-2,3).点8的坐标为(-3,1),

点C的坐标为(1,-2).

⑴作出AABC关于y轴对称的AA