圆的证明与计算 学案（含答案）-2025年陕西中考数学教材梳理

专题三圆的证明与计算

题型1以圆的性质为背景的证明与计算

题型解读圆的证明与计算每年解答题考查1道,分值为8分.主要结合的知识点:①

相似三角形;②锐角三角函数;③全等三角形;④特殊四边形的判定.

1.如图,AB是。0的直径，以AB为腰作等腰△ABC,底边BC交。0于点D,连接

AD,延长CA交O0于点E,连接BE,DE.

⑴求证:NCAD=NBED.

⑵若BD=20,tanNBDE=m，求。。的半径.

2.如图，四边形ABCD内接于。O,NADC=90。.连接BD,作CFLBD,分别交BD,。0

于点E,F,连接BF,交AC于点M,AB=BC.

⑴求证:BF〃CD.

⑵当AD+CD=5e时,求线段BD的长.

题型2以切线性质为背景的证明与计算

3.（2024.交大附中模拟）如图,G>O是^ABC的外接圆,AC是OO的直径,D是OA

的中点.DE,AC交CB的延长线于点E,交AB于点F,G是DE上的一点，且BG与

。。相切于点B.

E

⑴求证:NGBF二NC.

q

⑵若tanNCED=：,AD=4,求FG的长.

4

4.如图，在RtAABC中,NACB=9(T,D是AB的中点，以CD为直径作。0,与AC,BC

分别交于点E,F,过点F作。O的切线FG,交AB于点G.

⑴求证:FGLAB.

(2)若。。的半径是|,cosNACD=|,求FG的长.

5.如图,AB是。O的一条弦,E是AB的中点，过点E作ECXOA于点C,过点B作

O0的切线交CE的延长线于点D.

⑴求证:DB=DE.

⑵若AB=12,BD=5,求AC的长.

6.如图，在RtAABC中,NABC=90。,以AB为直径的。0交AC于点D,过点D作

。。的切线交BC于点E.

⑴求证:EC=ED.

⑵若DC=DE=6,求图中阴影部分的面积.

7.（2024.新城区模拟）如图,△ABC内接于。O,BC为。O的直径,D为。O上一点,

过点D作OO的切线分别交AB,AC的延长线于点E,F,且BC〃EF,连接AD.

⑴求证:NBAD=NCAD.

⑵若AB=3,AC=3g,求CF的长.

8.如图，在△ABC中,AC=BC,。O是^ABC的外接圆，过点B作。O的切线BD,连

接AD交BC于点E,交。O于点F,连接BF.

⑴求证:NFBD=NFAB.

(2)若AE，BC,AC=6,能，求DF的长.

EiDZ

题型3切线的判定及其应用

9.（2024.西工大附中模拟）如图,AB是O0的直径，点C,E在OO上,NCAB=2NEAB,

点F在线段AB的延长线上，且NAFE=NABC.

(1)求证:EF与。O相切.

⑵若BF=a,sinNAFEq求BC的长.

10.如图，在RtAABC中,NA=9（T,BD平分NABC交AC于点D,点O在BC上，以

点O为圆心QB为半径的圆恰好经过点D,交AB于点E.

(1)求证:AC是。。的切线.

⑵若OB=5,CD=4,求AE的长.

11.如图,C是以AB为直径的。。上的一点，过点A作O0的切线交BC的延长线

于点D,取AD的中点E,连接EC并延长交AB的延长线于点F.

(1)求证:EF是。。的切线.

⑵若CF=12,BF=8,求tanD的值.

12.(2024.铁一中模拟)如图，在△ABC中,NACB=9(T,D是AB上一点，点。在BC

上，以点0为圆心的圆经过C,D两点，连接CD,ZA=2ZBCD.

(1)求证:AB为O0的切线.

⑵若tanA=|,O0的半径为2,求AB的长.

参考答案

1.解析:(1)证明：是。。的直径，

/.ZADB=90°,.'.AD±BC.

\"AB=AC,.".ZCAD=ZBAD,BD=CD.

；/BED=/BAD,「.ZCAD=ZBED.

(2):2BDE=/BAE,

.：tan/BDE=tan/BAE=y.

：NB是Q。的直径,.：ZAEB=90°,

-2C_24

..-----------.

□□7

物E=7x,则3E=24x,

.AB=y/Ji2+Bn2=25x,

.".AC=AB=25x,.".CE=AC+AE=32x.

"."BD=CD,BD=20,/.BC=2BD=40.

在R3BCE中,BC=CE2+BE2,

.：402=(32X)2+(24X)2解得x=l(负值已舍去)，

.：AB=25,.：。。的半径为今

2.解析:⑴证明：

"."ZADC=90°,

r.ZADB=ZCDB=45°.

VCFLBD,.".ZDEC=90°,

.：ZDCF=45°.

又VZF=ZBDC=45°,

r.ZF=ZDCF=45°,

.'.BF//CD.

(2)如图，延长AD至点N,使得DN=DC,连接NC

R

"/ZADC=90°,DN=DC,

；./N=/DCN=45。,

•:sinN**.

"."AD+CD=5y/2,

.：AD+DN=AN=5®

"/ZDAC=ZDBC,ZN=ZBDC=45°,

.：△NACsADBC,

,.而一二

即」=一=叱

15V2□□2，

解得BD=5,

.：线段3。的长为5.

3.解析:

⑴证明:如图，连接则03=0C,

・：/C=/OBC.

:.BG与。。相切于点民

.：BGLOB.

:NC是。。的直径，

.：ZOBG=ZABC=90°,

.：ZGBF=ZOBC=90°-ZOBF,

/.ZGBF=ZC.

(2);。是。4的中点,AD=4,

.'.0D=AD=4,/.OC=OA=2AD=8,

/.CD=OD+OC=4+8=12.

VDELAC,ZADF=ZCDE=9Q°,

：，

.W□=□tanNCEDW4，

.：ED=5CD=|X12=16,

VZA=ZCED=9Q°-ZC,

；一

.□=□tanA=tanNCED=4-',

：

.FD=U4D=^4x4=3,

/.EF=ED-FD=16-3=13.

:,NFBE=NCDE=9。。,

r.ZGFB=ZC=9Q°-ZE.

由(1)得NG3R=NC,

:.ZGFB=ZGBF,:.FG=BG.

VZE+ZGFB=9Q°,ZGBE+ZGBF=9Q°,

r.ZE=ZGBE,:.EG=BG,

.：FG=EG=；EF=ixl3=^,

.：RG的长为最

4.解析:⑴证明:如图，连接OJDF.

VZACB=90°,AD=DB,

・：DC=DB=DA.

7CD是。。的直径，

.：NCTD=90。,即。

.：CF=FB.

"/OC=OD,CF=BF,

.：。尸是4。。3的中位线，

/.OF//BD,

r.ZOFC=ZB.

:NG是。。的切线，

/.ZOFG=90°,

r.ZOFC+ZBFG=90°,

r.ZBFG+ZB=9Q°,

/.ZFGB=9Q°,

.".FGLAB.

(2)在R3ABC中，

:•。是AB的中点,CD=5,

.：AD=BD=5,

.：AB=10.

"."cosZACD=cosZCAD=一=|,

.：AC=10x|=6,

.".BC=yJJU2-AJ2=V102-62=8.

7CD是。。的直径，

ZCFD=9Q°,.".BF=CF=\BC=4,

.".DF=yJ□O2-CD2=V52-42=3,

.：SABDF=\DFBF=\BDFG,

5.解析:⑴证明：：方。为。。的切线，

.：OBLBD,

.：N=90°,即N03E+/D3E=90°.

VCD±OA,/.ZA+ZAEC=90°.

又"/OA=OB,.".ZA=ZOBE,

r.ZOBE+ZAEC=9Q°,

•：/AEC=/DBE.

VZAEC=ZDEB,

/.ZDEB=ZDBE,

・：DB=DE.

⑵如图，作DR，A3于点E

7E是AB的中点，

：

.AE=BE=L2AB=6.

"/DB=DE,DF±AB,

.：BF=EF=(BE=3,

；.£)F=VO^2-BD2=4.

VECLOA,DFLAB,

/.ZACE=ZDFB=9Q°.

VZAEC=ZDBE,

.「AACEsADFB,

..•------.风Bn)-n-n-_-6.

□□145'

解得AC专

6.解析:⑴证明:如图，连接OD,3D

TAB为。。的直径，

ZADB=90°.X：*ZABC=90°,

.：3C是。。的切线.

：Z>E是。。的切线，

.：BE=DE,:.ZEBD=ZEDB.

VZADB=90°,

/.ZEBD+ZC=90°,ZEDB+ZCDE=90°,

/.ZC=ZEDC,/.ED=CE.

(2)在RtABCD中，

".'DC=DE=BE=CE=6,

.：△CDE是等边三角形,5C=12,

.：ZC=60°.

VZABC=9Q0,/.ZA=3Q°,

.：AB=ViBC=12V3,

.：04=00=6V3,

r.ZA=ZAD0=3Q°,

/.ZBOD=60°,

.：图中阴影部分的面积=S四边形OBEO-S扇形OOB

=6x6行60飞产

=36V5-18兀.

7.解析:

⑴证明:如图，连接0D

叱是。。的切线,3。〃防

ZEDO=ZCOD=90°,

ZBOD=ZCOD=90°,

,63ZBAD=ZCAD.

⑵如图，连接。。并延长，交AC于点G

:'BC为。。的直径,.：NS4c=90。.

：*AB=34C=3V5,

.：BC=7an2+An2=6,.：0B=0C=0D=3.

,."ZGOC=ZBAC,ZGCO=ZBCA,

.：△GCOS^BCA,.：而一而一而，

・□□—3

--3?5-~6~

.：GO=V3,GC=2V3.

--BC//EF,.-.^„^,.-.CF=6.

8.解析:(1)证明:如图，连接30,延长80与。。交于点G,连接GF

:方。是。。的切线，

r.ZOBD=90°.

：,3G为。。的直径，

/.ZBFG=9Q°,

/.ZG+ZGBF=ZGBF+ZDBF=90°,

r.ZFBD=ZG.

VZG=ZFAB,/.ZFAB=ZFBD.

⑵：NC=3C=6,」W，

/.CE=2,BE=4.

VAE±BC,

.：AE=J万-0=4V2.

rzc=ZBFE,ZCAE=ZFBE,

.■.AACE^ABFE,/.^=^,

即竽=/，解得ER=V1

设。R=x,

:，DB是。。的切线,/FAB=NFBD,ND=/D,

.：△BDFsAADB,

•：」=一,.：

□□BD2=DFDA.

："BD2=DE2+BE^=(X+^2)2+42,

.Xx+V2)2+42=x(x+4V2+V2),

解得x=3V2,

即DR=3V2.

9.解析:

⑴证明:如图，连接。£

：/3是。。的直径，

r.ZACB=9Q°.

VOA=OE,.".ZOAE=ZOEA,

r.ZF0E=Z0AE+Z0EA=2Z0AE.

VZCAB=2ZEAB,/.ZCAB=ZF0E.

又VZAFE=ZABC,

.：ZCAB+ZABC=ZFOE+ZAFE,

.：N。所=NAC3=90°,即OELEE

rOE是半径,.：EF是O。的切线.

(2)设半径为r,即0E=03=r，则。歹=厂+应.

在R3EOF^,smZAFE=^=^,

「・r=4®:.AB=2r=86

在RtZkABC中,sinNABC=—=sinNARE=(,AB=8近,

.：AC=5X8V2=^V2,

.：BC=V3D2-AI2=^V2.

10.解析:

⑴证明:如图1,连接OD

:如平分NA5C,

.：/ABD=/DBC.

VOB=OD,

.：/DBC=/BDO,

/.ZABD=ZBDO,/.AB//DO,

r.Z0DC=ZA=9Q°.

是。。的半径，

.:AC是。。的切线.

(2)如图2,过点。作。G，AB,垂足为G,

；.BG=GE,ZBG0=ZAG0=9Q°.

丁NA=NODA=ZAGO=90°,

.：四边形AG。。是矩形，.:AG=OD=O3=5.

在RtAODC中,OD=5,DC=4,

.：OC=Vnn2+DJ2=VS2+42=V4T.

\"AB//OD,/.ZABC=/DOC.

VZBGO=ZODC=9Q0,/.ABGOSAODC,

A

图2

---------，即亍一而，

解得BG=竽，

.：GE=BG=*

41'

.：AE=AG-GE=5-智，

41'

.：AE的长为5-等.

11.解析:⑴证明:如图，连接OC,EO.

：是。。的切线，.：ZA=90°.

：名为AD的中点，。为A3的中点,

.：OE为△A3。的中位线，

/.OE//BD,

.".ZAOE=ZABD,ZEOC=ZOCB.

VOB=OC,

.：ZABD=ZOCB,.：ZAOE=ZCOE.

在△AOE和△COE中扣0口n=□口皿

.：△AOE等△COE(SAS),

r.ZA=ZOCE=9Q°,.".OC±EF.

TOC为Q。的半径,.：EF是Q。的切线.

(2)设。。的半径为厂，则0C=r,0/=r+8.

在R3OCF^,OC2+CF2=OF2,

则3+12?=(厂+8)2,解得厂=