圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（三类知识点+五大题型+强化训练）-2024-2025学年沪教版九年级数学下册同步训练（含答案）

第02讲圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（五大题型）

01学习目标

学习目标

1、了解圆心角、弦心距等概念；2、根据教材证明圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定

理及推论；

3、应用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解或证明.

03知识清单

一、圆心角与弧的定义

1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角.如图所示，乙4。8就是一个圆心角.

要点：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征;

（2）圆心角乙所对的弦为线段/以所对的弧为弧N8.

2.1。的弧的定义

试卷第1页，共18页

1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图,

（1）（2）⑶

要点：

（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角

ZJ05=AB-

（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯

曲程度相等）.

二、弦心距

圆心到弦的距离叫做弦心距.在图27-9中，过圆心。作弦的垂线，垂足为C,则垂线

段OC的长是弦的弦心距.

三、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理：

①定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距

相等.

②推论圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理有以下推论：

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得

到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.

【即学即练1】

1.如图，点B,C,D,£是。。上的五等分点，则NEBD的度数为（）

试卷第2页，共18页

A

B.34°C.36°D.38°

【即学即练2】

2.如图，是。。的直径，BC=CD，ZCOD=50°,求乙40。的度数.

3.如图，AC=CB，D,E分别是半径04,的中点.求证：CD=CE.

题型精讲

题型1：圆心角的概念

【典例

4.下列图形中的角是圆心角的是（

试卷第3页，共18页

【典例2】.

5.如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（）

A.NABCB.ZAOBC.ZOABD.ZOCB

题型2：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理概念辨析

【典例3】.

6.下列说法正确的是（）

A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的圆心角所对的弦心距相等

C.度数相等的两条弧相等D.相等的圆心角所对的弧的度数相等

【典例41

7.下列四个命题：

①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.

真命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【典例5】.

8.下列关于圆的说法中，错误的是（）

A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧

B.如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等

C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线

D.拱形不一定是弓形

【典例6】.

9.对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等,

那么它们所对的弧相等.下列判断正确的是（）

试卷第4页，共18页

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题

题型3：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求证

【典例7】.

10.已知：4、B、C、。是O。上的四个点，且命=筋，求证：AC=BD.

【典例81

11.如图，在。。中，弦N8与弦相交于点£,且=求证：CE=BE.

12.已知，如图，AD=BC.求证：AB=CD.

13.如图，。。的弦/8、CD相交于点尸，且48=0求证尸B=

【典例111

14.如图，/、B、C、。是。。上的四点，AB=DC.求证：AC=BD.

试卷第5页，共18页

15.如图，为。。的直径，半径OC〃8。，判断就与也是否相等，并说明理由.

16.已知：如图，。。中弦48=CD.求证：AD=BC.

【典例14].

17.如图，在。0中，弧AC=BC,CD1OA于D,CE1OB于E.求证：AD=BE.

18.已知：如图，在。0中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D,AC=BD,求证:

(1)OC=OD：

(2)AE=BF■

试卷第6页，共18页

【典例16].

19.如图，在。。中，BD^AC，求证:

(1)AB=CD；

⑵NB=NC.

【典例171

20.如图，在Rt448。中，Z(9=90°,乙4=30。，以点。为圆心，08的长为半径的。。

交40、48于点C、D.

⑴求也、访的度数.

(2)如果弦3。的长为5cm,那么。。的半径是多少？

【典例18].

21.如图，过。。的直径N8上两点分别作弦CD,历，CD//EF,AC=BF.

试卷第7页，共18页

E

c

o

D

求证：(1)BC=AF;

(2)AM=BN.

题型4：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解

【典例19].

22.已知。。的一条弦把圆的周长分成1:5的两个部分，则弦所对的弧的度数

为.

【典例20].

23.如图，筋为120。，则弦A8所对的圆心角度数为.

【典例21].

24.若。。的半径为3cm,一条弦分。。为1:3两部分，这条弦所对的圆心角的度数为

这条弦的长度为.

【典例22].

25.如图，点A,B,C,D在。。上.

(1)若贝gABCD-，

(2)若BD=AC,贝IjBDAC-

试卷第8页，共18页

AD

B

【典例231

26.如图，在。。中，若彘=前=而）,则/C与2CA的大小关系是：AC

27.48是。。的直径，点E在。。上，点。，C是前的三等分点，ZCOD=34°,ZAOE

的度数是_.

28.如图，。是弧所在圆的圆心.已知点8、C将弧三等分，那么下列四个选项中

不正确的是（）

试卷第9页，共18页

A.AC=2CDB.AC=2CDC.ZAOC=2ZCODD.S扇形/g=2S扇形,。。•

【典例26].

29.如图所示，在圆。中，如果//0B=2NZ0C（均小于180。），那么正确的是（）

A.AB=2ACB.AB>2AC

C.AB<2ACD.AB=AC

题型5：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系与其他几何性质结合

【典例27].

30.如图，线段N2,NC分别为。。的弦，AB=6,AC=10,4D是NB/C的平分线，若

ABAC=60°,则弦/。长为（）

C.10V3D.回^

A.473B.—

33

【典例28].

31.如图，点4瓦。为。。上三点，AC=j叶，点〃为前上一点，CE_L4W于£,

AE=5,ME=3,贝的长为（）

C

A.V2B.2C.2亚D.V3

【典例29].

试卷第10页，共18页

32.如图，四边形/BCD内接于OO,£为BC延长线上一点，连接ODOB,若

OD//BC,且OD=8C,则NBOD的度数是().

115°C.130°D.120°

【典例30].

33.如图，以N8为直径的圆。中，点。为圆心，C为弧48的中点，过点C作CD〃48

且CD=03.连接4。，分别交OC,BC于点、E,F,与圆。交于点G,连接50.

(2)连接BE,OF,求证：BEVOF.

强化训练

一、单选题

34.下列说法中，正确的是（）

A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等

C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等

35.若C、。为半圆上三等分点，那么。。:13为（）

A.2：73B.1：V3C.2：1D.1：2

36.下列说法中，不正确的是（）

A.在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等

B.在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°

C.在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大

试卷第11页，共18页

D.若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧

37.如图,48是。。的直径,CD是/。的垂直平分线，斯是。2的垂直平分线，则下列结论

正确的是（）

A.AD=DF=FBB.AD>DF

C.DF<FBD.AD=FB^DF

39.如图，扇形OAB的圆心角为90。，点C、D是部的三等分点，半径OC、OD分别与

弦AB交于点E、F,下列说法错误的是（）

A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB

C.EC=FDD.NDFB=75°

40.如图，PQ、网是。。的两条互相垂直的弦，且20=依，过点。作于点

ON1PR于点、N.若"2=2,则。。的半径为（）

试卷第12页，共18页

A.V2B.2C.2V2D.4

41.如图，NB是。。的直径，C、。是。。上的两点，且点C为弧84D的中点，连接CD、

CB、OD,CD与AB交于点、F.若乙4。£）=100。，则4i5C的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

42.如图，。。在A42C三边上截得的弦长相等，即DE=FG=MV,zJ=50°,贝U乙BOC=

)

110°C.115°D.120°

D.AD=BD

二、填空题

44.如图，OA,OB,OC,OD是。0的半径,

试卷第13页，共18页

(1)如果NAOB=NCOD,那么,=zAOCZBOD；

(2)如果AB=CD,那么=,；

(3)如果标=①，那么—，，ACBD-

45.如图，在两个同心圆中，蕊为60。，则,的度数为

46.如图，在。。中，弧/C与弧2。相等，Nl=30。，则N2='

47.如图，。。经过五边形。48co的四个顶点，若乙4OD=150。，//=65。，ZD=60°,

则BC的度数为°.

48.如图，为。。的直径，△尸48的边尸4P8与。。的交点分别为C、D.若

AC=CD=DB,则/尸的大小为度.

试卷第14页，共18页

p

c

[D

49.如图，己知点C是O。的直径48上的一点，过点C作弦DE,使8=CO.若的度

数为35。，则前的度数是—.

50.如图,D、E分别是OO的半径OA、OB上的点,CD1OA,CE1OB,CD=CE,则弧AC与弧

CB弧长的大小关系是.

51.如图，扇形。N2中，-05=60。，。/=46+8,点E为弧的中点，C为半径04

上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90。得到线段C£,若点£恰好落在半径。8上，则

0E'=.

52.如图，在。。中，弦与弦C。相交于点M,且48=CO,求证：BM=DM.

试卷第15页，共18页

cA

53.如图，在。0中，弦AD与BC交于点E,且AD=BC,连接AB、CD.

求证：（1）AB=CD；

（2）AE=CE.

54.已知：如图所示，AB,CD是。。的弦，OC,OD分别交AB于点E,F,且OE=O尸,

55.已知：如图，在中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D,AC=BD,求证:

（1）OC=OD：

（2）AE=B~F.

56.如图，MB,是O。的两条弦，点C分别在弧M3,弧"。上，且=点

M是弧/C的中点.

（1）求证：MB=MD；

试卷第16页，共18页

(2)过。作OE1M8于E,OE=1,。。的半径是2,求〃。的长.

57.如图所示，以口/BCD的顶点/为圆心，48为半径作圆，分别交BC于点、E,F,

延长胡交于G.

(1)求证：GE=EF；

(2)若劣弧前所对圆心角的度数为70。，求/C的度数.

58.如图，已知4B是。。的直径，点CE在。。上，且C是优弧施的中点，过点C作

⑴求证：AE=2CD；

⑵连接BE,若站，班=12,求5。的长.

59.如图，在扇形/。2中，ZAOB=90°,C、D是标上两点，过点、D作DE〃OC交OB

于£点，在。。上取点尸，使。尸=DE,连接C尸并延长交。8于G点.

(1)求证：△OC/乡△DOE；

试卷第17页，共18页

⑵若C、。是的三等分点，Q4=2G：

①求/OGC；

②请比较GE和BE的大小.

试卷第18页，共18页

1.c

【分析】点/、B、C、D、E是。。的五等分点，则每段弧的度数等于72度，弧即的度数

为72度，由圆周角定理知，弧对的圆周角是弧即的度数的一半即可解答.

本题利用了一个周角是360度和圆周角定理,在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等,

都等于这条弧所对的圆心角的一半成为解题的关键.

【详解】解：：点B,C,D,E是。。上的五等分点，

.•・弧皿的度数为72度，

ZA=36°.

故选：C.

2.80°

【分析】根据圆的性质进行计算即可得.

【详解】解：在。。中，N2是。。的直径，

ZAOB=180°,

又;BC=CD>

:.NBOC=ZCOD=50°,

ZAOD=180°-50°-50°=80°.

【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等.

3.见解析

【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质.连接OC,构

建全等三角形ACOD和NCOE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CO=CE.

【详解】证明：连接OC.

:"AOC=NBOC,

VOA=OB,D、E分别是半径。4和03的中点,

/.OD=OE,

答案第1页，共34页

•••OC=OC,

.〔ACOD知COE(SAS),

CD=CE.

4.A

【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义(顶点在圆心上，并且两边与圆相

交的角，叫圆心角)是解此题的关键.根据圆心角的定义逐个判断即可.

【详解】解：A.顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意；

B.顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意；

C.顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；

D.顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；

故选：A.

5.B

【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆

心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是.

【详解】解：根据圆心角的概念，N4BC、ZOAB,/OC2的顶点分别是8、4C,都不

是圆心。，因此都不是圆心角.只有B中的的顶点在圆心，是圆心角.

故选：B.

6.D

【分析】本题考查了圆形角，弧，弦心距之间的关系，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角

所对的弧相等，相等的圆心角所对的弦心距相等，度数相等的两条弧相等，以及相等的圆心

角所对的弧的度数相等逐个判断即可.

【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故A不正确，不符合题意；

B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦心距相等，B不正确，不符合题意；

C、在同圆或等圆中，度数相等的两条弧相等，故C不正确，不符合题意；

D、相等的圆心角所对的弧的度数相等，故D正确，符合题意；

故选：D.

7.C

【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题,

不符合题意；

答案第2页，共34页

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，

真命题有3个，

故选：C.

【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大.

8.B

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A、B进行判断；根据过圆心的直线都为圆的对称轴

可对C进行判断；根据拱形与弓形的定义对D进行判断.

【详解】解：A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意；

B.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合

题意；

C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意；

D.拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、

两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了轴对称.

9.A

【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.根

据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可.

【详解】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，故本小题说法是真命题；

②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命

题

故选：A.

10.详见解析

【分析】先根据病=益可得就=而，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得.

【详解】证明：,左=石

■■AC=BD

.-.AC=BD

答案第3页，共34页

【点睛】本题考查圆心角定理推论，解题关键是熟知同圆或等圆中，等弧所对的弦相等.

11.见解析

【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理的推论，熟练掌握是解题的关键.

由弦相等得到凝=也，推出就=筋，得到=再利用等腰三角形的判定得出结

论.

【详解】证明：,・•/3=CD,

:.AB=CD>

■■AB-CB=CD-CB^

■■AC=BD>

：.ZC=ZB,

：.CE=BE.

12.证明见解析

【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，熟知圆心角、弧、弦之间的的关系是解题

的关键.依据弦ND与2c相等，则这两条弦所对的劣弧和优弧分别相等，即可解.

【详解】证明：,.•/O=3C,

:.AD=BC>

AD+AC^BC+AC,

即也=获，

AB=CD.

13.见解析

【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定.连接5D,

由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立.

【详解】证明：连接20.

答案第4页，共34页

•・•AB=CD,

••AB=CD

-AB-AC=CD-AC^

即石二元，

・•・/B=/D,

・•・PB=PD.

14.见解析

【分析】根据43=。。，得出方=也，求出去=丽，即可证明结论.

【详解】证明：・・・/8=。。，

-AB=CD

-AB+BC=BC+CD

即就=砺，

AC=BD.

【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握三个量关系定

理.

15.AC=CD＞理由见解析

【分析】连接根据等腰三角形的性质和平行线的性质，得出//OC=/DOC,即可得

出答案.

【详解】解：AC=CD，理由如下：

连接如图所示：

OD=OB,

AOBD=ZODB,

答案第5页，共34页

OC〃BD,

ZCOD=ZODB,ZCOA=NDBA,

：.AAOC=NDOC,

■■Ac=cb-

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，圆心角性质，解题的关键是作

出辅助线，证明乙4。。=40。。.

16.见解析

【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到前=也，从而得到

AD=AB-BD=CD-BD=BC^再由等弧所对的弦相等即可得到AD^BC.

【详解】证明：,・•/8=CD,

■■AB=CD^

■■AD=AB-Bb^cb-Bb^BC>

：.AD=BC.

【点睛】本题主要考查了弧与弦之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握等弦所对的劣弧

相等，等弧所对的弦相等.

17.证明见解析

【分析】连接0C.只要证明aCOD三△COE,推出OD=OE即可解决问题；

【详解】解：连接OC,

"AC=CB，

•••zAOC=zBOC.

•••CD1OA于D,CE1OB于E,

.­.ZCDO=ZCEO=90°

在△COD与△COE中，

答案第6页，共34页

ZDOC=ZEOC

v<ZCDO=ZCEO=90°,

CO=CO

.-.△COD=ACOE(AAS),

.•.OD=OE,

vAO=BO,

.•.AD=BE.

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的性质和判定.熟知在同圆和等

圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键.

18.(1)见解析；(2)见解析

【分析】(1)证明：连接OA,0B,证明aOAC三AOBD(SAS)即可得到结论；

(2)根据△OAC三△OBD,得至lkAOC=NBOD,即可得至U结论.

【详解】(1)证明：连接OA,OB,

vOA=OB,

.•.Z.OAC=ZOBD.

在△OAC与AOBD中，

OA=OB

NOAC=ZOBD,

AC=BD

.•.AOAC=AOBD(SAS).

•••OC=OD.

(2)•••△OAC=AOBD,

•••zAOC=zBOD,

【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等

角的性质，相等的圆心角所对的弧相等的性质，正确引出辅助线证明aOAC三2XOBD是解题

答案第7页，共34页

的关键.

19.⑴见解答

(2)见解答

【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解答本题用到的知识点为:

同弧所对的圆心角相等，等腰三角形两底角相等等.

(1)由丽=就，可知而-介=G--益，得到筋=①，可得结论；

(2)根据圆心角、弧、弦的关系由标=①，得至1］乙4。8=/。。。，然后利用等腰三角形

底角相等即可得到结论.

【详解】(1)证明：・••丽=北，

BD-AD=AC--AD,

■-AB=CD

AB=CD

(2)证明：,•,蕊=历,

ZAOB=ZCOD,

•1-OA=OB=OC=OD,

NA=NB=NC=ND,

即ZB=ZC.

20.(1)①的度数为30。，丽的度数为60°

(2)。。的半径是5cm

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识

点并灵活运用是解此题的关键.

(1)连接8,先证明ABQD为等边三角形，得出/8。。=60。，即可得出访的度数，求

出//。。=30。，即可得出①的度数；

(2)由等边三角形的性质即可得解.

【详解】(1)解：如图：连接

答案第8页，共34页

A

•.•在Rt^/80中，NAOB=90°,N/=30。，

.•.4=90°-//=60°,

vOB=OD,

.•.△80。为等边三角形，

.・"BOD=60°,即丽的度数为60。,

•••ZAOD=ZAOB-ZBOD=30°,即CD的度数为30°；

（2）解:由（1）可得：力。。为等边三角形，

・•,弦5D的长为5cm,

OB=OD=BD=5cm,

•1.O<9的半径是5cm.

21.（1）详见解析；（2）详见解析

【分析】（1）连接OC、OF,根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到NA=NOCA=ZBFC=NB,等量代换得到NBFC=NACF.根据

平行线的性质得到NAMCNANE.根据全等三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：（1）如图，连接。C,0\

•：AC=BF,

ZCOA=ZBOF,

ZCOB=ZFOA.

答案第9页，共34页

/.BC=AF-

(2)•：/COA=/BOF,OC=OF=OA=OB,

/.ZCAB=NOCA=NBFC=/ABF,

ZBFC=ZACF.

二,CD//EF,

ZAMC=ZANE.

又•:ZBNF=ZANE.

ZAMC=/BNF.

在和ABNF中,

"AMC=4BNF,

</CAB=/ABF,

AC=BF,

:^AMCaBNFlAAS),

/.AM=BN.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角

形的判定和性质是解题的关键.

22.60。或300。

【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，分优弧和劣弧两种情况，结合比例关系进行求解

即可.

【详解】解：・・・。。的一条弦力8把圆的周长分成1:5的两个部分，

弦对应的圆心角的度数为：360。x丁［=60°,

・••弦所对的劣弧的度数为60。，所对的优弧的度数为：360°-60°=300°,

故答案为：60。或300。.

23.120°

【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，连接04OB,由荔为120。可得

4408=120。，据此即可求解，掌握弧、弦、圆心角之间的关系是解题的关键.

【详解】解：连接04OB,

•••AB为120°,

ZAOB=120°,

答案第10页，共34页

••・弦力B所对的圆心角度数为120。,

故答案为：120。.

24.90。##90度3亚cm

【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据一条弦分。。为1:3部分，则分圆心

角也为1:3两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：•••一条弦分。。为1:3两部分，

・•.这条弦所对的圆心角的度数为360。X；=90。，这条弦的长度为斤百=3亚cm.

故答案为：90°,3j5cm.

25.==

【分析】本题题考查了圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的

弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等.

【详解】解：(1)•.•A8=cr>,

■■AB=CD-

故答案为：=；

(2)-：BD=AC,

■■BD^AC-

故答案为：=.

26.<

【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到

AB+BC>AC.如图，连接8C,根据题意知，AB=BC=CD,又由三角形三边关

系得到48+8C>/C得到：AC<2CD.

【详解】解：如图，连接48、BC,

答案第11页，共34页

在。。中，若标=前=①，

AB=BC=CD,

在ZUBC中，AB+BOAC.

AC＜2CD.

故答案为：＜.

27.78°##78度

【分析】本题考查弧，弦，角直角的关系，根据点。，C是前的三等分点，推出

NBOE=3ZCOD,再根据平角的定义，求出的度数即可.

【详解】解：•••点E在。。上，点。，C是前的三等分点，

■■DE=CD=BC＞

：.ZEOD=ZCOD=ZBOC,

ZBOE=32coD=102°,

ZAOE=\80°-ABOE=78°；

故答案为：78°.

28.B

【分析】利用三等分点得到标=前=而，由此判断A；根据/B=3C=C。，得到

AB+BOAC,由此判断B；根据左=2。即可判断C；根据凝=蓝=而，得至U

S扇物ic»=,扇形BOC=S扇形co。＞由止匕判断D.

【详解】解：连接48、BC,OB,

•・•点以C将弧/。三等分，

■■AB=BC=CD，

•1•AC=2CD＞故A选项正确；

答案第12页，共34页

B

•・•AB二BC=CD，

：.AB=BC=CD,

-AB+BOAC,

:.AC<2CD,故B选项错误；

,-AC=2CD>

，ZAOC=2/COD,故C选项正确；

,-AB=BC=CD

^/.AOB=Z.BOC=2LCOD,

•••S扇形405=S扇形30c=S扇形co。,

•••S扇形HOC=2s扇形co。,故D选项正确；

故选：B.

【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相

等，另两个量也对应相等.

29.C

【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键.

直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答.

【详解】解：取懿的中点。，连接

/.AD=BD9

AD=BD,ZAOD=/BOD=-ZAOB,

2

-ZAOB=2ZAOC,

ZAOD=/BOD=ZAOC,

二.AD=BD=ACf

答案第13页，共34页

vAD+BD>AB,

；,2AC>AB,故C正确;

故选：C.

30.D

【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角

形的性质和判定的应用，过点。作CE垂直于N8的延长线，交于E,作于尸，连

接BD,，根据圆内接四边形的性质可得NBDC=120。，由/。平分ZBAC,可得。E=DF,

NBAD=NCAD=30°,AD=2DF,BD=CD,再证明口市8。£g11床。。尸（111）,

RtA4DF^RtA/OE（HL）,可得BE=CF,AE=AF,贝U/5+5E=/C-C斤，进而求得

BE=CF=2,可知/F=/C-C尸=8,再由勾股定理即可求解，能根据角平分线正确作出

辅助线是解此题的关键.

【详解】解：过点。作CE垂直于N8的延长线，交于E,作。尸14C于尸，连接8。，

CD,

•••AD平分/5/C,ZBAC=60°,

：.DE=DF,NBAD=NC4D=30。,NBOC=120。(圆内接四边形对角互补),

则丽=S>，AD=2DF,

：.BD=CD,

.•.RtABOE丝RtACD尸(HL),

BE=CF,

AD=AD,

答案第14页，共34页

Rt，。尸gRt"Z>£(HL),

AE=AF,则/B+B£=/C—W,

：,AC—AB=BE+CF=2BE=10-6=4,贝!J=Cb=2,

AF=AC-CF=Sf

由勾股定理可得：AD2=AF2+DF2,即：AD2=^+^AD^,

“回，

3

故选：D.

31.B

【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角

形的性质与判定，在上取一点尸，使得=连接CRCM,由公=前得到

AC=BC,进而证明A/PC也ABMC(SAS),得到。尸=CM,由三线合一定理得到

EF=EM=3,则8河=/尸=/£一跖=2.

【详解】解：如图所示，在上取一点尸，使得=,连接CF,CM,

,：AC=BC，

AC=BC,

又,：/A=/B,AF=BM,

.-.△^FC^AWC(SAS),

：,CF=CM,

vCELAM,

・•.EF=EM=3,

：.BM=AF=AE-EF=2,

故选：B.

答案第15页，共34页

32.D

【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，连接0C,由8〃2C,

OD=BC证明四边形08CD是平行四边形，由。8=。。可证明四边形08CD是菱形，得

OB=BC,ABOC=ZDOC,再证明AOBC是等边三角形即可得出结论.

【详解】连接。C,如图，

OD//BC,OD=BC,

••・四边形08C。是平行四边形，

又OB=OD,

••・四边形08co是菱形，

OB=BC,ZB0C=ZDOC,

vOB=OC,

：.OB=BC=OC,即△0BC是等边三角形,

ABOC=60°,

；.NBOD=2NBOC=120°,

故选：D

33.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据平行四边形的判定可得四边形08。。为平行四边形，根据C为半圆的中

点可得NCO8=90。，根据矩形的判定可得平行四边形O8DC为矩形，即可证明；

(2)连接BE,OF,交于H,结合(1)易知四边形OBOC为正方形，可证

^FOC^FDC,得NCOF=NCDF,再证OC垂直平分AB,进而证明NEBO=NCDF=ZCOF,

再根据角度之间的互余关系可得=90。，即可则证明BELO尸.

【详解】(1)证明："CD//AB,CD=OB,

.•.四边形OBDC为平行四边形，

•••c为半圆的中点，

.-.COLAB,即/CO3=90°,

答案第16页，共34页

・•・平行四边形05。。为矩形.

・•・ZOBD=90°,

・•・BD1AB.

(2)证明：连接BE,OF,交于"，

由(1)可知平行四边形05。。为矩形，

•・•OC=OB,

・•・四边形05。。为正方形，则CQ=C。，/OCB=/DCB=45。,

,：CF=CF,

・•・八FOC'FDC,

・•・ZCOF=ZCDF,

•・•AB//CD,

：,ZA=NCDA,

,；0A=0B,COA.AB,

・•・0c垂直平分48,

AE=BE,

；./A=/EBA,

・•・ZEBO=ZCDF=ZCOF,

vZCOF+ZBOF=90°,

:・/EBO+/BOF=90。,

'.ZOHB=90°,

・•・BELOF,

【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、

等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键.

34.B

答案第17页，共34页

【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件.

【详解】/中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；

8中，等弧所对应的弦相等，故选8

C中，圆心角相等所对应的弦可能互补；

D中，弦相等，圆心角可能互补；

故选2

【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和

圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握.

35.D

【分析】根据圆心角定理可得NAOC=NCOD=NBOD=60。，则△OCD为等边三角形，即CD

等于半径.

•••C、。为半圆N2上三等分点，

.••ZAOC=ZCOD=Z.BOD=60°,

・•.△OCD为等边三角形，

r,,1

则CD=OC=-AB.

故选D.

【点睛】本题主要考查圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆

心角相等.

36.D

【分析】圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中发生的，因此在大小不等的两圆中，即使

位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，由此可知答案.

【详解】A.在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等，此项说法正确，不符合

题意；

B.在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60。，此项说法正确，不符

合题意；

C.在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大，此项说法正确，不符合题意；

答案第18页，共34页

D.在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，符合题

-zfc.

忌、.

故选：D.

【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆的有关概念和性质是解题关键，要特

别注意题干的要求.

37.A

【分析】如图，连接AD,OD,DF,OF,BF,根据垂直平分线的性质易证DF=DF=BF,

再根据“在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧”即可判断.

【详解】如图，连接AD,OD,DF,OF,BF,

■.-CD是A0的垂直平分线,EF是0B的垂直平分线，

1

••.DF=CE=-AB,AD=OD,OF=BF,

2

•1.DF=DF=BF,

则益=5?=丽.

故选A.

【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等弧的判定，解此题的关键在于熟练掌握其知识

点.

38.C

【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可判断.

【详解】(1)在。。中，,•,4B=/C,.,.笳=就，(1)正确；

(2)成与也不是同圆或等圆中的弧，由4=推不出标=①，二(2)不正确；

(3)-■AD^BC，■-AD+BD=BC+BD--AB^CD；(3)正确；

(4)弦与弦CD不是同圆或等圆中的弦，.•・乙4。3片/COD；(4)不正确

故选：C

【点睛】本题考查弧、弦与圆心角的关系，解题的关键是熟练掌握弧、弦、圆心角的关系进

行判断正误.

答案第19页，共34页

39.A

【详解】试题分析:禾!l用点C,D是就的三等分点，得出AC=CD=DB,ZAOC=ZCOD=ZBOD=

|zAOB=30°,再求出NOBA的度数，利用外角求出NBFD的度数，通过证aAOE三△BOF,

得出OE=OF,则EC=FD.连接AC,在4ACE中，求证AE=AC,贝l|可证CD=AE=BF,再

根据CD>EF得AE、EF、FB关系.

解：,・,点C,D是套的三等分点，

•••AC=CD=DB,ZAOC=ZCOD=ZBOD=-zAOB=30°,

3

.•・选项B正确；

vOA=OB,ZAOB=90°,.-.z0AB=z0BA=45o,

.•.zAEC=zOAB+zAOC=45°+30o=75°,同理NDFB=75°,

故选项D正确.

••.zAEO=z.BFO,

在AAOE和ABOF中，zAEO=zBFO,zAOC=zBOD,AO=BO,

•••AAOE=ABOF,

•••OE=OF,

，EC=FD,故选项C正确.

在△AOC中，•••OA=OC,.♦.NACO=NCAO=；(180°-30°)=75°,

••zACONAEC,

•••AC=AE,同理BF=BD,

X-.AC=CD=BD,

•••CD=AE=BF,

•.•在aOCD中，OE=OF,OC=OD,

•■•EF<CD,

•••CD=AE=BF>EF,故A错误.

故选A.

40.C

【分析】利用垂径定理,弦、弦心距的关系求得(W=ON,=2,证明四边形(WPN

是正方形，利用勾股定理即可求解.

【详解】解：•••PQ=PR,OM±PQ,ON1PR,

答案第20页，共34页

OM=ON,QM=PM=2,

■：PQVPR,OM1PQ,ON1PR,

四边形0MPN是矩形，

OM=ON,

矩形。MPN是正方形，

连接。P,则OP=JFG'=2后.

故选：C.

【点睛】本题考查了垂径定理，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题.

41.B

【分析】先根据邻补角的性质求出乙B。。，再根据点C为弧34D的中点，求出乙B0C的度

数，再根据等腰三角形的性质即可求出乙48c的度数.

【详解】•••乙400=100。，

•,280。=180°-々0。=80°,

•・•点C为弧24D的中点

“BOC=3OC=(360°-80°)=140°

■：OC=OB

；2BC=ABCO=g(180°-140°)=20°

故选B.

【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆心角、弧的关系.

42.C

【分析】过点。作OPYAB于点P,OQ1AC于点。，OKLBC于点K,由于。E=FG=MN,

所以弦的弦心距也相等，所以。2、OC是角平分线，根据乙4=50。，先求出

//8。+a4。8=180。-乙4=130。，再求出，进而可求出乙80c.

答案第21页，共34页

【详解】解：过点。作OPL4B于点P,OQL4c于点。，OKLBC于点、K,

•:DE=FG=MN,

：・OP=OK=OQ,

：,0B、OC平分乙45。和乙4c5,

/.ZOBC=-ZABC,/OCB=L/ACB,

22

,・