圆与正多边形 知识归纳与题型突破（21类题型清单）原卷版-2024-2025学年沪教版九年级数学下册

同与正多边形知识归纳与题型突破（21类题型）

01思维导图

02知识速记

知识点01.圆的认识

（1）圆的定义

定义①：在一个平面内，线段。/绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点/所形成的图形叫做圆.固

定的端点。叫做圆心，线段。/叫做半径.以。点为圆心的圆，记作读作“圆O”.

定义②：圆可以看做是所有到定点。的距离等于定长r的点的集合.

(2)与圆有关的概念

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意

一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣

弧.

(3)圆的基本性质：①轴对称性.②中心对称性.

知识点02.圆心角、弧、弦的关系

(1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余

各组量都分别相等.

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣

弧.

(3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推

二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原

图形完全重合.

(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.

知识点03.点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为r,点尸到圆心的距离OP=d,则有：

①点P在圆外Qd>r

②点P在圆上Qd=r

①点P在圆内

(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该

点与圆的位置关系.

(3)符号“o”读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端.

知识点04.三角形的外接圆与外心

(1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

(2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

(3)概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个.

知识点05.垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

知识点06.垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.

知识点07.直线与圆的位置关系

（1）直线和圆的三种位置关系：

①相离：一条直线和圆没有公共点.

②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫

切点.

③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线.

（2）判断直线和圆的位置关系：设。。的半径为r,圆心。到直线/的距离为d.

①直线I和。。相交=40

②直线/和。。相切=d=r

③直线/和。O相离

知识点08.切线的性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

（2）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆

心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直.

（3）切线性质的运用

运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角

形解决问题.

知识点09.切线的判定

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（2）在应用判定定理时注意：

①切线必须满足两个条件：°、经过半径的外端；6、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线.

②切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的.

③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线

的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出

直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作

半径，证垂直”.

知识点10.切线的判定与性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（3）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.

知识点11、正多边形与圆

（一）正多边形及有关概念

（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。

（2）正多边形的画法：把圆〃等分23）,顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这

个圆就是这个正多边形的外接圆。------、

O

中心

(3)正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。

(4)正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。

(5)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。

(6)正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。

(二)正多边形的有关计算

(1)正n边形的每个内角都等于(“-2)T80°=i80°—处.

nn

360°

(2)正〃边形的每个中心角都等于——.

n

(3)正〃边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示,

设正〃边形的半径为民一边46=。，边心距(W=r,则有/80河=幽,氏2=72+]|]，正〃边

形

的周长/=na,面积S=然"=2nSABOM=gk

知识点12、弧长及扇形的面积

设。。的半径为R,"。圆心角所对弧长为/,

(一)弧长的计算

(1)弧长公式：/=上述

180

(2)公式推导：在半径为火的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2»R,所以1。的圆心

角所

对的弧长是红即巫，于是n°的圆心角所对的弧长为1=—

360°180°180

注意：(1)在弧长公式中，〃表示1。的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径尺=6c优，计算20°的圆

心角

20。x6xTC

所对弧长/时，不要错写成/=---------(cm).

(2)在弧长公式中，已知，/，〃，氏中的任意两个量，都可以求出第三个量。

(二)扇形面积的计算

(1)扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。

(2)扇形的面积：S扇形=嚼^=^/凡我为扇形所在圆的半径，/为扇形的弧长。

(3)公式推导：

①在半径为R的圆中，因为360。的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积5=乃氏2,所以圆心角是1。的扇形

而工曰乃火2工曰尸1、缶平，0曲卢谊石工□日。rurR2

面积是----，于是圆心角为〃的扇形面积是S扇刑=------.

360扇形360

②s扇花="之="4・'氏=！/氏，即无形=1次，其中/为扇形的弧长，R为半径。

扇形36018022扇格2

点拨：(1)扇形面积公式S=」出与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧

2

长/看成底，半径火看成高即可。

(2)在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式S扇形=嘿^还是S扇形;/R

(3)已知S扇形,/,尺,〃四个量中任意两个，都可以求出另外两个。

(4)公式中的“〃”与弧长公式中的“〃”的意义是一样的，表示“1。”的圆心角的倍数，计算时不带单位。

已知S,L〃，/?四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量.

03题型归纳

题型一圆的基本概念

1.下列说法中，不正确的是（）

A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.圆的每一条直径都是它的对称轴

C.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合

D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

2.如图，点B,C在。。上，N/=36。，ZC=28°,贝此5=（）.

C

A.64°B.66°C.68°D.72°

3.如图，在RtAABC中，ZC=900,AC=6,BC=S,QO是△4BC的外接圆，则下列说法正确的

个数是（）

①/和前都是劣弧；

②48是QO中最长的弦；

③A,O,B三点能确定一个圆；

巩固训练

1.下列命题中，正确的是（）

A.相等的圆心角所对弦相等B.同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等

C.平分弦的直径平分弦所对的弧D.同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等

2.如图，N3是。。的直径，C是A4延长线上一点，点。在OO上，且CD=O4C〃的延长线交。。于E,

若NBOE=72。，则NC的度数是.

3.如图，O。的弦/民的延长线交于点P,连接。尸，且O尸平分N/PC.求证：PA=PC.

题型二求一点到圆上点距离的最值

4.已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm,到圆的最远距离是7cm,则圆的半径为（）

A.3cmB.4cmC.3cm或4cmD.6cm

5.在平面内，在RtZ^/BC中，/8=/C,过点/作8C边上的垂线ND平面内一点E到点/的距离

AE=AD,若8E最长为2+夜，则邑欣=（）

A.4B.2C.V2D.272

6.在同一平面内，已知。。的半径为4,圆心。到直线/的距离为6,尸为圆上的一个动点，则点尸到直线

/的距离不可能是（）

A.2B.6C.10D.14

巩固训练

1.若G。所在平面内一点尸到O。上的点的最大距离为8,最小距离是2,则此圆的半径是（）

A.5B.3C.5或3D.10或6

2.如果。。外一点P到。。上所有点的距离中，最大距离是8,最小距离是3,那么OO的半径长等于.

3.如图所示，在。。上有一点C（C不与A、B重合），在直径AB上有一个动点P（P不与A、B重合）.试判

断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由.

题型三圆的周长和面积问题

7.如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1,则圆的面

积约为正方形面积的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

8.如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

9.如图，圆环中内圆的半径为。米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（）

A.2万米B.（2万+。）米C.（2万+2。）米D.万米

巩固训练

1.如图，分别以正方形的三条边为直径画了三个半圆，那么,正方形的面积与阴影部分面积的比是（）

A.3:1B.4:1C.3:2D.2:1

2.滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力.如图，直径为4分

米的铁环从原点。沿数轴滚动一周（无滑动）到达点。，则。。'=—分米.

3.随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化.为响应国家“加强全民健身设施建设，发展全民体

育”的号召.哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休闲广场，规划设计如图所示.（兀取3）

（1）求塑胶地面休闲区的面积；

（2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值.

题型四利用垂径定理求值

OC，弦于点C,45=4,0C=\,则OB的长为（）

B.15C.V5D.3

11.如图，在。。中,弦的长为2,点。在上移动，连接OC,过点。作交。。于点

2D.1

12.如图，已知。。的半径为5cm,弦的长为8cm,尸是的延长线上一点，BP=2cm,则OP等

3\/3cmC.2#>cmD.3#>cm

巩固训练

1.如图，在。。中，已知0408是。。的半径，OC_L/5于点C,AB=8,。。的直径为10,则

A.3B.4C.5D.6

2.如图，。。是RtZ^/8C的外接圆，于点。，交。。于点£,若48=8,£>E=2,则。4的长为.

E

3.如图，已知为。。直径，8是弦，且48，。。，连接/C、BC.

(1)求证：ZCAB=ZBCD；

(2)若BE=1,CD=6,求(DO的半径.

题型五垂径定理的推论

13.下列命题中是真命题的为（）

A.弦是直径

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

C.相等的弧所对的弦相等

D.相等的圆心角所对的弧相等

14.如图，在△ABC中，ZABC=40°,以4B为直径的。。交3c于点。，交。的延长线于点E,若点E

在8。的垂直平分线上，则/C的度数为（）

E

A

A.25°B.30°C.35°D.40°

15.如图，Z5是。。的直径，CD是。。的弦，4BLCD于点E,则下列结论不一定正确的是要（）

A.CE=EDB.BC=BDC.OE=BED.OA=OB

巩固训练

1.如图，点48是。。上两点，/3=10,点尸是上的动点（尸与45不重合），连接ZP、PB,过点

。分别作。£，力尸交加于点E，OF1PB交PB于点、F,则石尸等于（）

A.2B.3C.5D.6

2.如图，45为。。的直径，£为弦CO的中点，若NB/Q=30。，且5£=2,则5c的长是

c

3.如图，已知在半圆NOB中，AD=DC,ZCAB=30°,AB=8,求4D的长.

题型六垂径定理的实际应用

16.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径.小敏同学想到了如下

方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、3、C、。四点，然后利用

刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm,AB=4cm,CO=3cm.请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（）

D.6cm

17.我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，

筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，已知圆心。在水面的上方，。。的半径长为5米，被水

面截得的弦4B长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦N8的距离为（）

A.5米B.4米C.3米D.2米

18.赵洲桥是我国建筑史上一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙.如图,

若桥跨度48约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧48所在圆的半径为（）

A.25米B.30米C.35米D.50米

巩固训练

1.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一

尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道=1尺（1尺=10

寸），则该圆材的直径为（）

A.26寸B.25寸C.13寸D.50.5寸

2..筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1,点尸表示筒车的

一个盛水桶.如图2,当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心。为圆心，6m为半径的圆，且圆心在水

面上方.若圆被水面截得的弦长为6扇，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为

m

图1图2

3.如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为0.6米，污水的最大深度为

0.1米.

(1)求此下水管横截面的半径：

(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？

题型七圆心角概念

19.如图，在。。中，/5是弦，C是弧48上一点.若/CM2=25。，NOC4=40。，则/20C的度数为()

20.如图，在。。中，NN8C=20。，ND/C=24。，则的度数为(

A.43°B.44°C.45°D.46°

21.下列说法正确的是（）

A.等弧所对的圆心角相等B.优弧一定大于劣弧

C.经过三点可以作一个圆D.相等的圆心角所对的弧相等

巩固训练

1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着点。旋转多少度后和它自身重合？甲同学说:

45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135。.以上四位同学的回答中，正确的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

2.在半径为2的O。中，弦的长为2,则弦所对的圆心角的度数为.

3.如图，AB、CD是。。的直径，弦CE〃AB,弧CE的度数为40。，求N/OC的度数.

题型八利用弧、弦、圆心角的关系求解

22.如图，在。。中，点C是弧的中点，ZOAB=55°,则弧2c的度数为（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

23.如图，在A/B。中，AAOB=90°,以。为圆心，长为半径作（30,分别交/以80于C、D.若

48=40。，则①的度数是（）

C.30°D.40°

24.如图，在OO中，戢=俞，4403=50。则NCOD的度数为（）

C.40°D.50°

巩固训练

1.如图，点/,8在以CD为直径的半圆上,2是介的中点，连结ACUC交于点若NECD=40°,则NBDC

的度数是（）

A.45°B.40°C.30°D.25°

2.如图，。。的直径45=4,半径OC_L/B,点。在弧3C上，DELOC,DFVAB,垂足分别为E、F,

若点E为。C的中点，弧CD的度数为.

3.如图，乙4。=90。,C,。是标的三等分点，连结Z2分别交OC。。于点E,尸.

⑴求出//EC的度数；

(2)求证：AE=BF=CD.

题型九圆周角定理

25.如图，48是。。的直径，圆上的点。与点C,£分布在直线的两侧，ZBCD=50°,则N4ED=()

A.60°B.50°C.45°D.40°

26.如图，ND4E是。。的内接四边形/8CO的一个外角，若丽的度数为112。，则ND4E的度数是()

C.56°D.112°

27.如图，ND是半圆。的直径，点8、C在半圆上，且筋=前=①，点尸在①上，若/PC8=130。,

C.30°D.35°

巩固训练

I.如图，在。。中，弦48的长等于。。的半径,族恭为优弧，则//C8为（

A.30°B.45°C.60°D.150°

2.如图，4B、C三点在。。上，ZAOB=2ZBOC=80°.则=

3.如图，在。。中，AC=CB，CO，/。于点。，CELO8于点£.

c

(1)求证：AD=BE.

⑵若40=00,r=3,求8长.

题型十90度的圆周角所对的弦是直径

28.如图，在RtZk/BC中，ABIBC,AB=6,BC=4P是A/BC内部的一个动点，满足

/PAB=/PBC,则线段CP的长的最小值为（）

A.2B.4C.5D.7

29.已知N48C=NE4D=90。，。是线段上的动点且4C_LED于点G,4B=4E=4,则8G的最小值

为（）

A.2不B.272-1C.275-2D.1V10

30.将一个含60。角的直角三角板和一个量角器按如图所示的方式放置，ZACB=90°,其中点。所在位置在

量角器外侧的读数为30。，连接DC交4B于点E,则图中/8EC的度数是（）

C.55°D.45°

巩固训练

1.在RL^48C中,ZC=90°,AC=14,8c=24,点。为线段3c上一动点，以CD为。。直径，作AD

)

C.20D.22

2.木工师傅常用一种带有直角的角尺来测量圆的直径.如图，他将角尺的直角顶点A放在圆周上，角尺的

两条直角边分别与O。相交于点8、C,若度量出46=2收，4c=2,则。。的直径是.

3.如图，48是OO的直径，点C、。是OO上的点，5.OD//BC,4C分别与8。、QD相交于点E、F.

D

(2)若C3=6,AB=10,求。尸的长；

(3)若。。的半径为2,/。。/=80。，点尸是线段4B上任意一点，试求出产C+尸。的最小值.

题型十一圆内接四边形定理

31.如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，若44OC=122。，则N/OC的度数为()

32.如图，A,B,C,。是。。上的四个点，己知44OC=60。，ZBDC=40°,则NNCB=()

A.60°B.70°C.79°D.80°

33.如图，点/,2是O。上的两个定点，构成等边△048,点C是O。上的一个动点，不与点4,8重合,

则N/C8的大小为()

C.60。或120°D.30°或150°

巩固训练

1.如图，四边形N8CD为O。的内接四边形，/BCD=116°,则N5O。的大小是()

R

A.128°B.108°C.100°D.110°

2.如图，四边形48c。是。。的内接四边形，ZABD=72°,AB=AD,则NC=.

3.如图，四边形/BCD内接于O。，连接BD,Z84D=105°,BD^DC-

⑴求48DC的大小；

(2)若。。的半径为3,求8c的长.

题型十二点和圆的位置关系

34.在直角坐标平面内，点/的坐标为(1,0),点2的坐标为(a,0),圆/的半径为2.若点8在圆上，则a

值为()

A.2或3B.-1或3C.-3或1D.-3或2

7

35.如图，在RtZX/BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,P为边3c上的一点，以尸为圆心，不长为半径

作圆，则当点C在圆内，点/在圆外时，线段CP的取值范围为()

'0<CP<|

C.3<CP<5D.-<CP<-

22

36.数轴上有两个点A和B,点3表示实数16,点A从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动

速度为7,02半径为4,若点A在。8外，贝I]()

A./<6或/>10B.6ct<10C./<12班f>20D.12<f<20

巩固训练

1.如图，在RtZX/BC中，ZB=90°,AB=4,BC=7,点。在边8c上，且2。=3,连接ND.以点。为圆

心，以，为半径画圆，若点/,B,C中只有1个点在圆内，则厂的值可能为()

C.5D.6

2.如图，在矩形N5CD中，AB=3,AD=A.作。E1NC于点£,作4尸_L8。于点足

(1)4尸的长是.

(2)若以点/为圆心作圆，B,C,D,E,尸五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，则。/

的半径r的取值范围是.

3.如图，在三角形/5C中，ABAC=90°,AB=3,/C=4,4。是高线，/E是中线.

(1)以点N为圆心，3为半径作圆/,则点8,D,C与圆/的位置关系如何?

(2)若以点/为圆心作圆N,使3,。，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆/的半径『

的取值范围？

题型十三确定圆的条件

37.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上,

A.点。B.点EC.点尸D.点G

38.如图，将△/BC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、8、C均落在格点上，用一个圆面去

覆盖△/5C,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是()

39.下列命题中，真命题的个数是（）

①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并

且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等.

A.4个B.3个C.2个D.1个

巩固训练

1.如图，在由小正方形组成的网格中，点/,B,C,D,E,F,。均在格点上.下列三角形中，外心不是

点。的是（）

A.LABCB./\ABDC."BED.AABF

2.将边长为2的小正方形/BCD和边长为4的大正方形EFG”如图摆放，使得C、£两点刚好重合，且

B、C、笈三点共线，此时经过“、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为.

3.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点/他,4）、3（-4,4）、C（-6,2）,请

在网格图中进行如下操作:

图1

（1）利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点；

⑵连接/D、CD,则。。的半径长为.（结果保留根号）

（3）如果点£坐标为（2,-2）,则E点在G。.（填“内”、“外”或"上”）

题型十四直线与圆的位置关系

40.如图，△48C中，ZC=90°,AB=5,tanB=~,如果以点C为圆心，半径为R的。C与线段4B有

2

两个交点，那么0c的半径尺的取值范围是（）

A.2dB.2<R<45

C.V5<7?<275D.0<R<45

41.已知OO的半径为3,点。到直线m的距离为d,若直线加与。。公共点的个数为2个，则d可取（）

A.2B.3C.3.5D.4

42.已知O。的直径为15cm,若直线/与OO只有一个交点，那么圆心。到这条直线的距离为（）

A.7cmB.7.5cmC.8cmD.10cm

巩固训练

I.如图，在矩形中，对角线4c与3。相交于点。，AB=5,3c=12,以点。为圆心作圆，若

与直线4D相交、与直线CD相离，则。。的半径/•的取值范围是（

D.r<6

2.如图，在矩形48CD中，BC=5,AB=2,OO是以8C为直径的圆，则直线4D与。O的位置关系是

3.在MAABC中，ZC=90°,BC=4,AC=3,

（1）斜边42上的高为;

（2）以点C为圆心，厂为半径作。C

①若直线N2与。C没有公共点，直接写出厂的取值范围；

②若边N3与。C有两个公共点，直接写出r的取值范围；

③若边与。C只有一个公共点，直接写出r的取值范围.

题型十五切线长定理

43.如图，AB,AC,是。。的切线，切点分别为P、C、D,若AB=5,AC=3,贝的长是（）

A.1.5C.2.5

44.如图，△NBC的内切圆。。与4B、BC、C4分别相切于点。、£、尸且40=2,BC=5,则△4BC的周

长为（）.

A

F

BEC

A.7B.14C.10D.4

45.如图，PA,P8为。。的两条切线，C,。切。。于点£,分别交尸4尸8于点C,D.尸为。。上的点,

连/尸，BF,若PA=5,/尸=40。，则△PCD的周长和4EB的度数分别为（）

A

€B

A.10,40°B.10,80°C.15,70°D.10,70°

巩固训练

1.如图，PA,心切。。于点4,B,直线尸G切。。于点£,交PA于F,交PB于点、G,若△尸FG的周长

A.3cmB.6cmC.12cmD.13cm

2.如图，B、C的坐标分别为（-5,0）和（5,0）,AB-AC=6亚,0M为3c的内切圆，则M的横坐标

为.

3.我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形.

如图1,OO与△4BC的三边4B,BC,/C分别相切于点。，E,尸则△4BC叫做的外切三角形，以

此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形.

如图2,。。与四边形N8CD的边48,BC,CD,D4分别相切于点£,F,G,H,则四边形48CD叫

做。。的外切四边形.

（1）如图2,试探究圆外切四边形4BCD的两组对边4B,CD与BC,40之间的数量关系，猜想:

AB+CDAD+BC（横线上填“>”，“<”或"="）；

⑵利用图2证明你的猜想；

（3）若圆外切四边形的周长为36.相邻的三条边的比为2:6:7.求此四边形各边的长.

题型十六三角形的内心问题

46.如图，/是△48C的内心，乙4=80。，则48/C的度数是（）

100°C.120°D.130°

47.如图，点。是△48C内切圆的圆心,已知448c=50。,44c5=80。，则/8OC的度数是（）

C.125°D.130°

48.如图，在一张RtZk48C纸片中，44c8=90。，BC=5,/C=12,。。是它的内切圆.小明用剪刀沿着

。。的切线OE剪下一块三角形4DE,则△4DE的周长为()

C.22D.20

巩固训练

1.在△/BC中，N/=50。，如果。。截三条边所得的三条弦的长度相等，那么/8O。的度数为()

2.如图，己知点。是△23C的外心，点/是a/BC的内心，连接03,IA.若NOBC=20°,贝|/C//=

3.己知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？

古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式

S〈p(p_a)(p_b)(p_c)(其中a,b,c是三角形的三边长，p="”，S为三角形的面积)，并给出

了证明.

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶

公式等方法解决.

如图，在△ASC中，BC=5,AC=6,AB=9.

(1)用海伦公式求△ZBC的面积；

(2)求△48C的内切圆半径八

题型十七切线的性质和判定综合

49.如图，48是。。的直径，点C是<3。外一点，过点C的两条直线分别与圆相切于点5、D,点E是圆

周上任意一点，连接DE,若NC=70。，则()

A.50°B.40°C.25°D.35°

50.如图，尸4P8分别与。。相切于48两点，DE与。。相切于点C,与尸4尸5相交于。,石两点，若

PA=9,ZAPB=50°,则△山£的周长和的度数分别为()

0>P

A.9,130°B.18,130°C.9,115°D.18,115°

51.如图，PA,，阳为的两条切线，切点分别为A,」5,连接。尸交。。于点。，交弦力5于点。.下

列结论中错误的是()

A.PA=PBB.OPA.AB

C.AC=BCD.△小是等边三角形

巩固训练

1.如图，AB是。。的直径，C,。是。。上的点，ZCDB=\5°,过点C作。。的切线交4B的延长线于点

2.如图，在OO中，48为直径，点〃为48延长线上的一点，MC与OO相切于点C,圆周上有另一点。

与点C分居直径两侧，且使得MC=MD=/C,连接4D.现有下列结论：①与。。相切；②四边

形/CW是菱形；③AB=MO；®ZADM=UO°.其中正确的结论是(填序号).

3.如图，。。是以等腰△48C的腰48为直径所作的圆，点。是。。与底边/C的交点，自。点作

DELBC,垂足为点E,过点8作。。的切线叱，交/C于尸

⑴求证：是O。的切线；

(2)若。。的半径为5,DE=3,求此时。尸的长.

题型十八正多边形和圆

52.如图，等边三角形/3C和正方形。斯G均内接于O。，若EF=2,则2c的长为（）

A.2V2B.273C.V5D.

53.如图，正方形N8CO内接于130,点E在。。上连接8E,CE,若4BE=18。,则/BEC-NZ）CE=（）

B.17°C.18°D.20°

54.如图，正五边形48CDE内接于OO,点尸是O。上的一个动点，当尸沿着8。C的路

径在圆上运动的过程中（不包括8,C两点），N3FC的度数是（）

A.36°B.72°C.54°D.不确定

巩固训练

1.若正多边形的一个外角为72。，则这个正多边形的中心角的度数是（）

A.18°B.36°C.72°D.108°

3.已知正六边形4BCDEF的外接圆圆心为0,半径。4=5.

（1）求正六边形的边长;

⑵求正的长度.

题型十九求弧长

55.如图，点3、C、。在。。上，NADB=30°,N是前的中点，若08=3,则前的长是（）

56.如图，在△NBC中，NACB=9Q°,/4=30。，BC=3,以点8为圆心，BC长为半径画弧，交边4B

于点。，则方的长是（）

c

ADB

2n2V3

A.冗B.2»C.—nD.------兀

33

57.小明学习圆以后，进行以下操作：如图，线段N8的长为3,分别以点A,5为圆心，长为半径画

弧，两弧交于点C,连接/C,BC,则阴影部分的周长为（）

A.3^---B.2万+6C.6TT--D.71+6

42

巩固训练

1.如图，。。的半径为2,四边形4BCD是圆内接四边形，NC=120°,则丽的长为（）

一

5------气

27r4万

A.——B.reC.——D.2»

2.以48为直径的。。上三点/、B、C,作/氏4c的平分线4D交。。于。点，如图，过点。作。

交/C的延长线于£点，交的延长线于/点，若45=4

（1）若NADE=3N