云南省2024-2025学年高二年级上册12月月考数学试卷（含答案）

云南省2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.已知全集0=口,集合A={乂尤2_9<0},§={小>0},则A&8)=()

A.(O,3)B.(-3,0)C,[-3,0)D.(-3,0]

2.若(2+i)z=5+5i,则z在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知sintz-cosa则sin2tz的值为()

3

1221

A.-B.--C.-D.」

3333

4.将一个上底为2,下底为5,高为2的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体,

则该几何体的体积为()

A.52兀B.78兀C.26兀D.14兀

5.“。=—3”是“直线ax+y-4=0与直线9x+ay-12=0平行”的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知点4(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1),P(3,2,11则三棱锥P—ABC的体积是()

A.-B.-C.bHD.空

2662

22

7.如图椭圆与+%=i(a〉“o)的左、右焦点分别为耳，工，以线段£B为边作等边

三角形"E鸟,/XHFR的两边町，分别交该椭圆于A,B两点.若|叫=鼻印讣则该

8

椭圆的离心率为()

A.lB.lC正D.-

5333

8.已知函数〃%）的定义域为R,/（x）-4为奇函数,/（x+4）为偶函数，则

/（1）+/（2）+/（3）++/（160）=（）

A.480B.320C.640D.1280

二、多项选择题

9.已知向量°,匕满足恸=3,恸=2,则下列结论正确的有（）

A.（2a+3Z?）±（2a-3Z7）

B.若小0=6,则a//。

C.°在方向上的投影向量为;（a力”

D.若卜+2。卜抽，则°在人的夹角为g

10.若函数/（x）=cos,x+T（°〉0）在［6］上单调递减，则①的值可能为（）

A.3B.9C.12D.15

22

11.已知双曲线C卡丁=1的左、右顶点分别为A］，4,点出租,“）（相＞4,〃〉0）

是双曲线c上的点，直线“A,的倾斜角分别为q,4,则（）

A.双曲线c的实轴长为16

B.当tan0,=—时，&=—

116-4

C.4tanq+tan%的最小值为3

D.当4tan6］+tan已取最小值时,的面积为16

三、填空题

12.在四棱柱ABCD-4gCQ中,至，平面

ABC。,AB,AD，AB=AD=2〃=2,AE=XAB］,=〃40，其中几e［。』，"且。，斗

若所与底面ABCD所成角的正弦值为立，则物的最大值是.

5，

四、双空题

13.抛物线x-'y2=0的焦点坐标为，准线方程为.

16

14.小洪从某公司购进6袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g,为了了解这些白糖的质

量情况，称出各袋白糖的质量(单位：g)为495,500,500,495,510,500,则这6袋白糖的平

均质量为____________g,这6袋白糖质量的标准差为g.

五、解答题

15.锐角△ABC的内角A,昆C的对边分别为已知

sinB(l+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC.

⑴求2的值；

a

(2)若a=2,△ABC的面积为巫，求c的值.

4

16.如图,在直三棱柱43。-4月。1中，筋=47=0441=2,帅，47为线段8。的中

点.

⑴证明：6。，平面44。；

(2)求平面ABXD与平面AB.C,夹角的大小.

17.某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题

作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已

知甲答对第一道题的概率为°°,答对第二道题的概率为1-p；乙答对第一道题

的概率为2,答对第二道题的概率为L甲、乙每次作答正确与否相互独立.

32

⑴设°=:

①求甲答对一道题的概率；

②求甲、乙一共答对三道题的概率.

(2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值.

18.在平面直角坐标系xQy中，将点P(x,y)绕原点。按逆时针旋转a角，利用公式

」'=xcosa-ysina，可得至九点力刑力.现将双曲线孙=2绕原点O按逆时针旋转型

y'=xsina+ycosa4

得到双曲线C.

⑴求双曲线C的标准方程；

(2)以双曲线C的右顶点为圆心作半径为1的圆M直线/:3x+4y-3=0与圆M相交于

两点，求;

⑶在⑵的条件下,H是圆N:(x+4y+y2=4上的动点，求△“钻面积的取值范围.

19.已知椭圆C：二+亡=l(a〉6〉0)的焦距为4,点E(2,3)在。上，直线

/b2

I:y=kx+m(kw与。交于M,N两点、.

⑴求。的方程.

⑵若左■，求1MM的最大值.

(3)若点M与E重合，过“作斜率与/互为相反数的直线/，r与C的另一个交点为试

问直线入力的斜率是否为定值？若是,求出该定值;若不是，请说明理由.

参考答案

1.答案：D

解析：易得A=何-3<x<3},科3=何％<0}，

则A（”）=（-3,0].

故选：D.

2.答案：A

5+5i_（5+5i）（2-i）10—5i+10i—5i?15+5i

解析:由题意得=3+i,

2+i-（2+i）（2-i）5

则Z在复平面内对应的点（3,1）在第一象限.

故选：A.

3.答案：C

解析：因为sintz-costz

3

两边同时平方得sin?a-Ismacosa+cosi23a=—,

3

i2

所以1一sin2a=—，所以sin2a=—,

33

故选：C.

4.答案：C

解析：由题意可知该几何体是一个上底面半径为2,下底面半径为5,高为2的圆台,

贝！J该几何体的体积为g义（4兀+25兀+&兀x25兀）x2=26兀.

故选：C.

5.答案：A

解析：若直线以+y—4=0与直线9x+ay+12=0平行，贝>]储=9,解得。=3或一3，

当。=3时，直线3x+y-4=0与直线9x+3y-12=0重合，不符合题意，舍去；

当a=_3时，直线—3x+y—4=0与直线9x—3y—12=0平行，符合题意，

故％=_3”是“直线ax+y-4=0与直线9x+ay-12=0平行”的充要条件，

故选：A.

6.答案：B

解析：易得筋=(-1,1,0),40=(-1,0,1),30=(0,-1,1),北=(2,2,1),

贝“叫=,4=匹=8,

所以△ABC的面积5=^x(点了=#,

设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),

n•AB=一元+y=0三―/、

则nil1■，可取"=(1,1,1),

n-AC=—x+z=O

IAP-HI<

所以点P到平面ABC的距离d===，

忖73

则三棱锥尸—ABC的体积是工x1x3=W.

3266

故选：B.

7.答案：D

解析：^：^FlB,^\BF2\=-\HF2\=-\F}F2\=-x2c=-c,

8884

得忸用二Jl陷f+|4月『-2愿M2COSN即的

故选：D.

8.答案：C

解析：因为/(力―4为奇函数，所以/(-X)-4=-[/(X)-4],M/(O)-4=O,

可得：+力=8,且/(0)=4,

又因为/(%+4)为偶函数，所以/(x+4)=/(4-x),则/(x+8)=f(-%),

所以/(%)+/(%+8)=8,/(工+8)+/(%+16)=8,所以/(%+16)=/(6，

则16是“力的一个周期.

因为/(l)+/(9)=8,〃2)+〃10)=8，〃3)+/(n)=8,〃4)+〃12)=8,

/(5)+/(13)=8,/(6)+/14=8,/(7)+/(15)=8,/(8)+/(16)=8,

故/⑴+/⑵++"160)=10[/⑴+八2)++/(16)]=10x8x8=640.

故选：C.

9.答案：ABD

解析：对于A,由(2a+3b)«2a—3b)=4/-9/=36—36=0

可得仅a+2a-3肛故A正确；

对于B,由=|<2||/>|-costz,Z?=6,可得cosa,6=1，

因则a1=0,故a//6,则B正确；

对于C，a在b方向上的投影向量为骁必=*b)b，则C错误；

对于D,若卜+2。|=两边取平方,a?+4d-b+4b2=9+24cosd,b+16=13,

解得cosa,6=-g,因0<a,b〈7i，故口与匕的夹角为会，则D正确.

故选：ABD.

10.答案：AB

解析：当xe10,二]时，/x+色J3+'],

(12J4(4124)

/(X)在]0,展]上单调递减,二强0+：(兀，又(y>0,「.0<°K9,

即g的值可能为3和9.

故选：AB.

11.答案：BCD

解析：由双曲线方程知a=42=3，c=J^两=5，

对于选项A,易得双曲线C的实轴长为2a=2x4=8，故A错误；

对于选项B,由题意知A(-4,0),4(4,0),

又由g_E=1,得〃2=2(疗_16),

16916V)

所以tan0,tan%=kk=----------=~/=—，

1HAHA2

2，配m+4m_4m-1616

当tana=—at,tan%=1，又因为&e(0,-)，所以为=巴，故B正确；

11624

对于选项C,D,由图形得仇e[o，"!]，则tand>0,

又tan仇,tan02同号，所以tan4>0,tan>0,

所以4tan^+tang-2,4tan,tan%=3,

当且仅当4tand=tan",即上=2-,即加=型,〃=4时，等号成立，

m+4m-43

此时△/M14的面积为gx8x4=16,故C,D正确.

故选：BCD.

12.答案：--V2

2

解析：以A为坐标原点,AB，AD，所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示，则A（0,0,0）,4（0,0,1）,4（2,0,1）,£＞（0,2,0）,

所以A4,=（0,0,1）,4A=（-2,0,-1）,4。=（0,2,-1）,

=叫A=（―22,0,-彳）,产=jU^D=（0,2//,-//）,

则EE=E4+朋+AE=(-242〃,-X-4+1).

由已知可得A41=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.

眄££胡卜耳+=卜"〃+1=正,

闭1AAi,4丸2+4〃2+(_/_〃+1)25

平方得：4(—2—〃+1)2=4川+4〃2,整理得：2"+1=22+2〃.

因为4G[0,1],4目0,1b所以2；1〃+1=2/1+2〃》4版，

当且仅当2=〃时，等号成立.

令/=而，则不等式2澳+1=2；1+2〃24属可转化为2『—4/+120，

解得04/1—变或后1+正(舍去)，

22

贝10＜加4|—也，

故加的最大值为T-g.

故答案为：--V2.

2

13.答案：(4,0)；尤=-4

解析：抛物线X-Ly2=o的标准方程为y2=16x,

16-

所以其焦点坐标为(4,0%准线方程为x=T.

故答案为：(4,0)；尤=-4.

14.答案：500;5

解析：根据题意可得这6袋白糖的平均质量为

495+500+500+495+510+500\

-----------------------------=500(g),

O

这6袋白糖质量的标准差为

1(495-500)2+(500-500)2+(500-500)2+(495-500)2+(510-500)2+(500-500)2

V6

/25+0+0+25+100+0-\

Y---------6---------=5(g)-

故答案为：500;5.

15.答案：（1）2=工

a2

（2）C=2

解析：（1）因为sinB（l+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,

所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin（A+C）,

又sin（A+C）=sin（7i-B）=sinB,

所以2sinBcosC=sinAcosC,

因为△ABC为锐角三角形，所以cosC>。，则2sinB=sinA，

故由正弦定理得%=a，从而2=工.

a2

（2）由（1）可知,人=工。=1,

2

则AABC的面积S=—ateinC=sinC=，

24

又cosC>0，则cosC=Jl-sin2c=—,

4

在ZVlBC中,由余弦定理得c?=a2+b2-labcosC=4+l-2x2xlx—=4,

4

贝1Jc=2.

16.答案：（1）证明见解析；

（2止

3

解析：（1）由直三棱柱性质以及工AC可知，以A为坐标原点,AB,AC，A4所在直线分

别为x轴方轴,z轴建立空间直角坐标系,如下图所示：

Z八

AiC\

51

8

/

f

又AB二AC二也明二2可得招二④

则4（0,0,0）,4（2,0,0）,G（0,2,0）,£）（1,1,o）

所以G°=（l,—1,—拒），的=（2,O,0）,AT>=（1,LO）

「汨\CXDABX=1x2+0-72x72=00n

可得，即，GD，AD；

CQAD=1-1+0=0

所以CQ,AB］，G。J_AD,又AgAD=4,48”4£>匚平面4耳。,

可得Ci。，平面AB】。

（2）易知ABI=倒,0,后）,AC】=（0,2,应），

设平面ABC的一个法向量为”=（x,y,z）,

fAB,-n=2x+yflz=0A_._ZF,

则1L，令z=_0，解得x=l，y=i，

AC1•〃=2y+y/2z=0

即“=（1』,一行）；

由⑴可知CQ=（1,-1,-忘）为平面A耳。的一个法向量，

”―/„'\ri'CD1—1+21/\

所以3（〃,。必=行}=后石=5，又（“6。月。,小

所以平面A3］。与平面ABC1夹角的大小为三.

17.答案：⑴①2②竺

896

⑵,7

24

解析：⑴①设“甲答对一道题”为事件A,则p(A)==9,

'"44448

则甲答对一道题的概率为3；

8

②设“甲答对两道题”为事件4，“乙答对一道题”为事件Bv

“乙答对两道题”为事件为,“甲、乙一共答对三道题”为事件C,

则p（a）=3x」=a,

D4416

P（B2）=gxg=；,

5i3129

p（c）=p（A）m）+P（4）P（B1）=|x|+Axl=||,

故甲、乙一共答对三道题的概率为空；

96

（2）由题知P（A）=p1+（1-=2/_2p+］，P（4）=Ml_Q）=p_p2,

设“甲、乙一共答对三道题”为事件D,

则P（D）=尸（A）尸（与）+尸（4）尸（4）

当°=工时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为—.

r224

22

18.答案：（1）土—匕=1

44

⑵号

5

一4一

⑶？4

解析：（1）设曲线孙=2上任意一点（x,y）绕原点。按逆时针旋转手后的坐标为（只力,

,3兀.3兀

x=xcos----ysin—,

44

则

,.3兀3兀

y=xsin---Fycos—,

44

得（*）2-（y）2=2冲=4,则（£）（y）=i，

44

22

所以双曲线C的标准方程为L—2L=1.

44

安=1'则叫=2

⑵由⑴，可得圆心M（2,0）到直线/的距离&=

|(-4)+4X0-3|

⑶圆心N（-4,0）到直线/的距离&=3X3

V9+16-

点”到直线/距离的最大值为3+2=5,最小值为3-2=1,

所以面积的最大值为，x5x§=4,最小值为，xlx§=±

一—25255

故面积的取值范围为1,4

22

19.答案：⑴土+匕=1

1612

(2)2^15

⑶存在,

2

49

二+第j1

abr=4

解析：(1)依题意可得2c=4,解得‘l

2