中考数学专项复习：几何综合（六种模型）含答案及解析

几何像合力种模型

压轴题密押

通用的解题思路：

题型一:两垂一圆构造直角三角形模型

平面内有两点A,B,再找一点C,使得ABC为直角三角形

分类讨论：

若乙4=90°,则点。在过点A且垂直于AB的直线上（除点A外）;

若25=90°,则点。在过点B且垂直于AB的直线上（除点B外）；

若ZC=90°,则点。在以AB为直径的圆上（除点AB外）.

以上简称“两垂一圆”.

“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去两点.

题型二:两圆一中垂构造等腰三角形模型

分类讨论：

若=则点。在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上；

若BA=BC,则点。在以点B为圆心,线段AB的长为半径的圆上；

若G4=CB,则点。在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”

“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点4B,还要除去因共线无法构成三角形的点

以及线段AB中点E（共除去5个点）需要注意细节

题型三:胡不归模型

【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为％,在直线MN上运动的速度为弘,且,4、B为

•••

定点，点C在直线MN上,确定点。的位置使某+等的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）

1）等+野=9（BC+罄4C），记k=萼，即求8C+比4c的最小值.

V2%,匕'^2'V2

2）构造射线4D使得sin/D4N=M尊=k，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.

3）过8点作，AD交MN于点。，交AD于H点，此时+CH取到最小值，即BC+比4。最小.

【解题关键】在求形如"P4+kPB"的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段,将"P4+fcPB"型问

题转化为"P4+PC”型.（若%>1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

题型四：阿氏圆模型

【模型解读】如图1所示，。。的半径为r,点4B都在。。外，P为。。上一动点，已知r=MOB,连接

PA.PB,则当“PA+MPB”的值最小时，P点的位置如何确定？

图1图2

如图2,在线段OB上截取OC使OC=,则可说明△BPO与APCO相似,即k-PB=PC.

故本题求“P4+的最小值可以转化为UPA+PC”的最小值，

其中与A与。为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时,“PA+PC”值最小。如图3所示：

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“A>P4+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆

时,即通常我们所说的"阿氏圆”问题.

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。

题型五:瓜豆原理模型（点在直线上）

【模型解读】

瓜豆原理:若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响,估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线—上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云:种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线

1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

解析:当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.

理由：分别过4Q向BO作垂线，垂足分别为朋在运动过程中，因为AP=2AQ,所以QN始终

为AM的一半,即Q点到BC的距离是定值,故Q点轨迹是一条直线.

2）如图，在AAPQ中4P=AQ,ZPAQ为定值,当点P在直线BC上运动时,求Q点轨迹？

解析:当AP与AQ夹角固定且AP/Q为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候,可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置

和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用"垂线段最短"求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；

④观察动点运动到特殊位置时，如中点,端点等特殊位置考虑；

⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已

知轨迹的线段求最值。

题型六:瓜豆原理模型（点在圆上）

【模型解读】

模型1、运动轨迹为圆弧

模型1一1.如图，P是圆。上一个动点，4为定点，连接AP,Q为AP中点.Q点轨迹是？

如图,连接AO,取4。中点河,任意时刻,均有△4MQ〜AAOP,QM-.PO=AQ-.AP=1:2.

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1一2.如图，A4PQ是直角三角形，/P4Q=90°且4P=k・AQ,当P在圆。运动时，Q点轨迹是?

如图,连结AO,作AMYAO,AO：AM=fc：l；任意时刻均有△APO〜/\AQM，且相似比为短

则动点Q是以〃■为圆心，1%为半径的圆。

模型1—3.定义型:若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若P为动点，但=则B、C、P三点共圆，

则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

模型1-4.定边对定角（或直角）模型

1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

如图，若P为动点，AB为定值，/APB=90°,则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若P为动点，4B为定值，乙4PB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用："一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之

和,最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

压轴题预测

题型一:两垂一圆构造直角三角形模型

建目—（2023•安溪县二模）如图，AB是半圆。的直径，与半圆。相切于点。，连接AD并

延长,交BP的延长线于点C.

（1）求证：PB=PC；

（2）若。。的半径为5,AD=8,求BP的长.

题目0（2023-平房区二模）如图1,AABC内接于。O中，AB为直径,点。在弧BC1.,连接AD,CD.

（1）求证：NCAB+/。=90°；

（2）如图2,连接OC交AD于点F,若/。AB+2/CAD=90°,求证：AC^CD；

⑶在⑵的条件下，如图3,点E在线段CF上，连接交AO于点H,若=AE

6,OF=2,求线段跳;的长.

题目叵〕（2022•蔡甸区校级模拟）如图，点H是正方形ABCD边BC上一点（点E不与B、。重合）,连接DE

交对角线AC于点F,^ADF的外接圆O交边于点G,连接GD、GE.

（1）求/EDG的度数；

题目回（2023•怀化）如图，是。。的直径，点P是。。外一点，PA与。。相切于点点。为。。上

的一点.连接PC、AC、OC,且PC=PA.

（1）求证：PC为。。的切线；

（2）延长PC与AB的延长线交于点。，求证:PD-OC=PA-OD；

（3）若/CAB=30°,00=8,求阴影部分的面积.

「题目可（2023•广陵区二模）如图,顶点为4（—4,4）的二次函数图象经过原点（0,0）,点P在该图象上，OP交

其对称轴I于点河，点M.N关于点A对称，连接PN,ON.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）若点P的坐标是（—6,3）,求AOPN的面积；

（3）当点P在对称轴Z左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：

①求证：Z.PNM=AONM-,

②若AOPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.

题目⑥（2024•宝安区二模）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片.滨城学校九年级（3）班的项目式学习团

队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度.

【素材一】如图1,“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上.拟测算的写字楼与摩天轮在同一平

面内.

【素材二】自制工具:使用直角三角板教具和铅锤,制作测角仪器（如图2）.

【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3,摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队分成

三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写

字楼最高处。点,观测数据如表（观测误差忽略不计）.

【任务一】初步探究,获取基础数据

(1)如图3,请连接AO.BO,则AAOB=

7

（2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度.（结果保留根号）

【任务二】推理分析,估算实际高度

（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度ON.（结果用四舍五入法取整数，241.41）

题目可（2022•江北区一榭如图1,四边形是。。的内接四边形，其中4B=4D,对角线力

相交于点及在人。上取一点F，使得AF=4B，过点F作GH,AC交。。于点G、H.

（1）证明：^AED~^ADC.

（2）如图2,若AE=1,且GH恰好经过圆心。，求CD的值.

（3）若AE=1,EF=2,设BE的长为c.

①如图3,用含有，的代数式表示^BCD的周长.

②如图4,恰好经过圆心。，求XBCD内切圆半径与外接圆半径的比值.

题型二:两圆一中垂构造等腰三角形模型

题目回（2022•开州区模拟）如图,在等腰RtAABC中，48=3。，。是反7的中点，七为AC边上任意一点,

连接DE,将线段DE绕点。逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF,交AB于点G.

（1）如图1,若AB=6,人七=四，求ED的长；

（2）如图2,点G恰好是EF的中点，连接BF,求证：CD="BF；

⑶如图3,若AB=42，连接CF,当CF+冬BF取得最小值时.请直接写出SACBF的值.

5

题目可（2023春・璧山区校级期中）如图，直线y=标+6经过点4（8,0）和B（0,4）两点，将AAOB沿直线I

对折使点A和点B重合，直线，与2轴交于点C与AB交于点。，点。的纵坐标为2,连接BC.

（1）求直线的解析式；

（2）若点E在2轴的负半轴上，且ABED的面积为10,求ABOE的周长；

（3）已知V轴上有一点P,若以点为顶点的三角形是等腰三角形,直接写出所有满足条件的点P的

坐标.

题型三:胡不归模型

题目®（2023-湘潭县校级三模）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a20）与，轴相交于点A（-l,0）,B（3,0）,与

“轴交于点C,连接BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为夕轴上一个动点，连接BP,求VWCP+WBP的最小值；

（3）连接AC,在①轴上是否存在一点P,使得APCO+4ACO=45°?若存在，求出点P的坐标；若不存在,

题目11J（2023-徐州二模）抛物线y=—+3与直线夕=c+1相交于4B两点，与沙轴相交于点C,

点A在2轴的负半轴上.

（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；

（2）如图1,直线AB上方的抛物线上有一动点P,过点P作PH，AB于点H,求垂线段的最大值；

（3）如图2,当点P运动到抛物线对称轴右侧时,连接AP，交抛物线的对称轴于点M,当⑷W+△善最

小时,直接写出此时AP的长度.

图1图2

12j（2023*丘北县一模）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=aa?+brc+4与多轴交于A（—4,0）>B（2,

0）两点，与y轴交于点C,连接AC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是线段AC上方抛物线上一动点，点E是工轴上的动点，连接PA、PC,当AFAC的面积最大时,

求PE+qBE的最小值.

题目叵（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=X2-2X—3与，轴交于点A,B（点A在点B的

左侧），交y轴于点C,点、D为抛物线的顶点，对称轴与t轴交于点E.

（1）连接BD,点”是线段BD上一动点（点朋•不与端点B,D重合），过点M■作MN±6。,交抛物线于点N

（点N在对称轴的右侧），过点"作NH，c轴，垂足为H,交BD于点F,点P是线段OC上一动点、，当MN

取得最大值时，求许+FF+~PC的最小值；

O

（2）在⑴中，当取得最大值，HF+FP+4PC取得最小值时，把点P向上平移警个单位得到点Q,

连接AQ,把AAOQ绕点。顺时针旋转一定的角度tf（O°<«<360°）,得到△4OQ，，其中边A'Q'交坐标轴

于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使得/Q'=/Q'OG?若存在，请直接写出所有满足条件的点。

的坐标;若不存在,请说明理由.

题目即（2023-江城区三模）如图，抛物线y=—舌—60+72交2轴于A,B两点（点人在点B左侧）,

交V轴于点。，直线沙=方，+7方经过点A、C,点M是线段上的一动点（不与点。重合）.

（1）求A,B两点的坐标；

（2）当点P,C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+乎AM的最小值及此时点河的坐标；

（3）连接当A4QM■与A4BC相似时，求出点"■的坐标.

•M

、题目叵（2024-宿迁模拟）如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=a^-2ax+3与2轴交于点A,B（点A

在点B的左侧），交g轴于点。，点A的坐标为（-1,0）,点。为抛物线的顶点，对称轴与c轴交于点E.

⑴填空：a=_—1_,点B的坐标是；

（2）连接BD,点7W是线段BD上一动点（点”不与端点D重合）,过点Af作MN±BD,交抛物线于点N

（点N在对称轴的右侧），过点N作NHL/轴，垂足为交BD于点、F,点、P是线段OC上一动点,当

AMNF的周长取得最大值时，求FP+yFC的最小值；

（3）在⑵中，当XMNF的周长取得最大值时，FP+aPC取得最小值时，如图2,把点P向下平移竿个

单位得到点Q,连接AQ,把^AOQ绕点。顺时针旋转一定的角度«（0°<«<360°）,得到△4OQ，，其中边

4Q'交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使得GQ，=OG?若存在，请直接写出所有满足

条件的点Q'的坐标;若不存在,请说明理由.

图1图2

题目叵（2023•南山区三模）如图，在A4CE中，CA=CE,/CAE=30°,经过点C,且圆的直径在

线段AE上.

（1）试说明CE是。。的切线；

（2）若AACE中AE边上的高为无,试用含八的代数式表示。。的直径AB；

（3）设点。是线段4。上任意一点（不含端点），连接OD,当^CD+OD的最小值为6时，求OO的直径

AB的长.

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D.

IOBc

题型四：阿氏圆模型

题目兀（2024-长沙模拟）阅读材料，回答下列小题.

阅读材料1：

调和是射影几何重要不变量交比的一种特殊形式，早在古希腊，数学家们便发现了一组具有特殊比例关系

的点列:调和点列.

我们定义:若一直线上依次存在四点A,B，满足AB-CD=BOAD，则称力，B,为调和点列.

从直线外一点P引射线PA,PB,PC,PD,则称PA,PB,PC,PD为调和线束.

（1）如图1,过圆Q外一点P作圆Q的切线并引圆Q的割线PCD,设PD与A交于点区

①求证：P,C,E,。是调和点列.

②求证：AC-BD^BC-AD.

阅读材料2：阿波罗尼斯圆:对于平面上的两定点口和平面上一动点P,若P到A和B的距离之比为定

值，则点P的轨迹是一个圆,我们称该圆是点P关于AB的“阿氏圆”.

⑵根据阅读材料1,2,回答①②小题.（本题图未给出）

①证明阿波罗尼斯圆，并确定该圆圆心的位置.

②若点P关于AB的“阿氏圆”交于。，D,求证：为调和点列.

（3）如图2,ABCD是平行四边形,G是三角形ABD的重心，点P,Q在直线上，满足GP与PC垂直,

GQ与QC垂直.求证：AG平分/P4Q.

图1图2

题目叵（2024•莱芜区校级模拟）在AABC中，/CAB=90°,若点。为AC上一点，连接BD,

将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE,连接CE,交AB于点、F.

图1图2图3

⑴如图1,若/ABE=75°,BD=4,求AC的长；

（2）如图2,点G为BC的中点，连接FG交BD于点H.若30°,猜想线段。。与线段HG的数量

关系，并写出证明过程；

(3)如图3,若AB=4,。为AC的中点，将AABD绕点B旋转得△45。"连接A'C.A'D,当A'D+

乎4。最小时，求SMBO

〔题目叵(2023•万州区模拟)如图，在等腰直角三角形ABC中，/C=90°,过点。作CD〃AB交过点B的

直线于点。，乙48。=30°,直线BD交AC于H.

(1)如图1,若AB=2,求BD的长；

(2)如图2,过点A作交BD于点G,交BC的延长线于E,取线段AB的中点F,连接GF,求证：

GF+V3GH^BH.

(3)在⑵的条件下，过点。作DP，交于点P,若点河是线段GF上任一点，连接BM，将/XBGM

沿■折叠，折叠后的三角形记为4BGM,当^-AG'+DG'取得最小时,直接写出tan/PDG，的值.

题目叵(2022•从化区一模)已知，是。。的直径，人3=42，

(1)求弦B。的长；

(2)若点。是AB下方。。上的动点(不与点4B重合)，以CD为边，作正方形CDEF,如图1所示，若“

是DF的中点，N是BC的中点，求证:线段AW的长为定值；

(3)如图2,点P是动点，且AP=2,连接C尸，PB,一动点Q从点。出发，以每秒2个单位的速度沿线段

CP匀速运动到点P,再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B,到达点B后停止运动，求点Q

的运动时间t的最小值.

图1图2

题目叵(2022•市中区校级模拟)如图，在AABC与ADEF中，NACB=NEDF=90°,BC=AC,ED=

ED,点。在AB上.

⑴如图1,若点F在AC的延长线上，连接AE,探究线段AF.AE.AD之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2,若点。与点4重合，且。石=4,将ADEF绕点。旋转，连接点G为的中

点，连接CG,在旋转的过程中，求yCG+BG的最小值；

⑶如图3,若点。为的中点，连接BF、CE交于点“，CE交AB于点N,且BC:OE:ME=7:9:10,请直

接写出黑的值.

题型五:瓜豆原理模型（点在直线上）

:题目药（2022•沈阳）【特例感知】

（1）如图1,XAOB和ACOD是等腰直角三角形，AAOB=/.COD=90°,点。在OA上，点。在BO的延长

线上，连接线段AD与BC的数量关系是_AD=BC_；

【类比迁移】

（2）如图2,将图1中的'COD绕着点。顺时针旋转«（0°<«<90°）,那么第（1）问的结论是否仍然成立？

如果成立，证明你的结论;如果不成立，说明理由.

【方法运用】

（3）如图3,若AB=8,点C是线段AB外一动点，4。=30,连接BC.

①若将CB绕点。逆时针旋转90°得到CD，连接AD,则AD的最大值是；

②若以BC为斜边作C,。三点按顺时针排列），/CDB=90°,连接AD,当=ZD4B

=30°时,直接写出AD的值.

题目亘（2021•武进区模拟）如图①，二次函数V^-x2+bx+c的图象与，轴交于点4（—1,0）、5（3,0）,与y

轴交于点C,连接BC,点P是抛物线上一动点.

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①②

（1）求二次函数的表达式.

（2）当点P不与点A、B重合时，作直线AP,交直线于点Q,若^ABQ的面积是^BPQ面积的4倍，求

点P的横坐标.

（3）如图②，当点P在第一象限时，连接AP,交线段BC于点河，以入河为斜边向A4B河外作等腰直角三

角形连接BN,AABN的面积是否变化？如果不变,请求出AABN的面积;如果变化,请说明理由.

题型六:瓜豆原理模型（点在圆上）

1目远〕（2023♦崖州区一模）若力。=4,以点。为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP.

（1）如图1,取点B,使AABC为等腰直角三角形，90°,将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP'.

①点户的轨迹是（填“线段”或者“圆”）;

②CP的最小值是

（2）如图2,以4P为边作等边A4PQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大

值.

⑶如图3,将点A绕点P逆时针旋转90°,得到点M，连接PM,则CM的最小值为.

图2图3

题目25］（2024«昆山市一模）如图1,在平面直角坐标系中，直线y=—52+5与2轴，y轴分别交于4、。两

点,抛物线V="+H+c经过4。两点，与立轴的另一交点为R

（1）求抛物线解析式；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，AABM的面积等于ZL4BC面积的”,

5

求此时点河的坐标；

（3）如图2,以B为圆心，2为半径的OB与①轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是OB上一动点，连

接PA,以PA为腰作等腰RtAPAD,使/PAD=90°（P、A、。三点为逆时针顺序）,连接FD.求FD长度

的取值范围.

题目叵（2023-海淀区校级三模）在平面直角坐标系多。夕中，给定图形W和点P,若图形W上存在两个点

M,N满足PM=痣PN且ZMPN=90°，则称点P是图形W的关联点.

已知点4—2遍，0）,。（0,2）.

⑴在点片（―四，-1）,^（-V3,3）,£（—2遍，—2）中,_舄工£_是线段AB的关联点；

（2）。T是以点T。,0）为圆心，r为半径的圆.

①当力=0时,若线段上任一点均为©O的关联点,求T的取值范围；

②记线段AB与线段AO组成折线G,若存在i>4,使折线G的关联点都是0T的关联点,直接写出r的

最小值.

WB[27]（2023-沙坪坝区校级模拟）在^ABC中，AC=BC,人。=6,ZACB=a，点。是BC边上任意一

点，点E是直线AD上一动点，连接BE,将BE绕点B顺时针旋转，旋转角为a,得到线段连接EF.

⑴如图l,a=90°,乙艮4。=15°,点歹在射线人。上,求3尸的长；

（2）如图2,BF〃人。，CG_LAE于点G,22ABF—3/EBF=4/BAE,猜想线段GE,BE,AC之间存在

的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3,a=60°,点F在射线AD上，点P是BE上一点且满足AF=3BP,连接AP,直接写出当AP最

小时，点P到AB的距离.

•M

几何像合力种模型

压轴题密押

通用的解题思路：

题型一:两垂一圆构造直角三角形模型

平面内有两点A,B,再找一点C,使得ABC为直角三角形

分类讨论：

若乙4=90°,则点。在过点A且垂直于AB的直线上（除点A外）;

若25=90°,则点。在过点B且垂直于AB的直线上（除点B外）；

若ZC=90°,则点。在以AB为直径的圆上（除点AB外）.

以上简称“两垂一圆”.

“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去两点.

题型二:两圆一中垂构造等腰三角形模型

分类讨论：

若AB^AC,则点C在以点A为圆心,线段AB的长为半径的圆上；

若BA=BC,则点。在以点B为圆心,线段AB的长为半径的圆上；

若C4=CB,则点。在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”

“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点4B,还要除去因共线无法构成三角形的点

MN以及线段AB中点E（共除去5个点）需要注意细节

题型三:胡不归模型

【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为％,在直线MN上运动的速度为弘,且V2,4、B为

1

定点，点C在直线MN上,确定点。的位置使某+等的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）

1）等+野=9（BC+罄4C），记k=萼，即求8C+比4c的最小值.

V2%,匕'^2'V2

2）构造射线4D使得sin/D4N=M尊=k，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.

3）过8点作，AD交MN于点。，交AD于H点，此时+CH取到最小值，即BC+比4。最小.

【解题关键】在求形如"P4+kPB"的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段,将"P4+fcPB"型问

题转化为"P4+PC”型.（若%>1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

题型四：阿氏圆模型

【模型解读】如图1所示，。。的半径为r,点4B都在。。外，P为。。上一动点，已知r=MOB,连接

PA.PB,则当“PA+MPB”的值最小时，P点的位置如何确定？

图1图2

如图2,在线段OB上截取OC使OC=,则可说明△BPO与APCO相似,即k-PB=PC.

故本题求“P4+的最小值可以转化为UPA+PC”的最小值，

其中与A与。为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时,“PA+PC”值最小。如图3所示：

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“A>P4+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆

时,即通常我们所说的"阿氏圆”问题.

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。

题型五:瓜豆原理模型（点在直线上）

【模型解读】

瓜豆原理:若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响,估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线—上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云:种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线

1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

解析:当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.

理由：分别过4Q向BO作垂线，垂足分别为朋在运动过程中，因为AP=2AQ,所以QN始终

为AM的一半,即Q点到BC的距离是定值,故Q点轨迹是一条直线.

2）如图，在AAPQ中4P=AQ,ZPAQ为定值,当点P在直线BC上运动时,求Q点轨迹？

解析:当AP与AQ夹角固定且AP/Q为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候,可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置

和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用"垂线段最短"求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；

④观察动点运动到特殊位置时，如中点,端点等特殊位置考虑；

⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已

知轨迹的线段求最值。

题型六:瓜豆原理模型（点在圆上）

【模型解读】

模型1、运动轨迹为圆弧

模型1一1.如图，P是圆。上一个动点，4为定点，连接AP,Q为AP中点.Q点轨迹是？

如图,连接AO,取4。中点河,任意时刻,均有△4MQ〜AAOP,QM-.PO=AQ-.AP=1:2.

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1一2.如图，A4PQ是直角三角形，/P4Q=90°且4P=k・AQ,当P在圆。运动时，Q点轨迹是?

如图,连结AO,作AMYAO,AO：AM=fc：l；任意时刻均有△APO〜/\AQM，且相似比为短

则动点Q是以〃■为圆心，1%为半径的圆。

模型1—3.定义型:若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若P为动点，但=则B、C、P三点共圆，

则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

模型1-4.定边对定角（或直角）模型

1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

如图，若P为动点，AB为定值，/APB=90°,则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若P为动点，4B为定值，乙4PB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用："一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之

和,最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

压轴题预测

题型一:两垂一圆构造直角三角形模型

建目—（2023•安溪县二模）如图，AB是半圆。的直径，与半圆。相切于点。，连接AD并

延长,交BP的延长线于点C.

（1）求证：PB=PC；

（2）若。。的半径为5,AD=8,求BP的长.

【分析】（1）连接。D,OP,DB,根据相切等推出△ODPxAOBP,PB=P。，进而证明PB=PC,

（2）先证明XABD〜ABCD,进而求出BC的长，根据第一问，求出BP.

【解答】（1）证明：连接OD,OP,DB,

PD与半圆。相切于点。，

PD±OP,BP±AB

在RtAODP与R1AOBP中，|

RiAODP=RtAOBP（H。,

：.PB=PD,

AADB=90°,

：.ZCDP=90°,

在RtACDB中，

BP=PD,

点P为BC的中点，

：.PB=PC-,

（2）BF±AB,

NABD+NCBD=90°,

/DAB+/ABD=90°,

ADAB=ACBD

NABD八BCD,

AD_AB

~BD~^C!

.•.3。=普，

BP=^=运

24'

故BP的长为”.

4

【点评】本题考查圆相切，相似三角形的判定等知识，解题的关键是三角形相似推出线段成比例.

题目区（2023•平房区二模）如图1,AABC内接于。。中，AB为直径，点。在弧上，连接AO,CD.

（1）求证：ACAB+ZD=90°；

（2）如图2,连接。。交4D于点F,若NDAB+2ZCAD=90°,求证：AC=CD；

（3）在⑵的条件下，如图3,点E在线段CF上,连接AE,BE交AD于点H,若AEHA=2/EAH,AE=

6,。9=方,求线段BE的长.

（分析］（1）利直径所对的圆周角是直角求得ZACB==90°，再利用同弧所对的圆周角相等即可证明；

（2）根据圆周角定理及直角三角形的性质可证明进而得出AC=CD-,

（3）连接DE,BD,证出ZHED=ZHDE，由圆周角定理得出zLADB=90°,设NHED=AHDE=£,贝I

ADHB=26,ADBE=90°-20,过点B作BG_LBE交石。的延长线于点G,求出BO=272，过点B作

BL_LDG于点"证出sin/LBG=sin/LEB,得出鉴=警■，则（22）2=/（6+20,解方程求出LD=

J3GE/Cr

£G=1,由勾股定理可得出答案.

【解答】（1）证明：='ABC内接于。。中，AB为直径,

・•.ZACB==90°,

・•.ZCAB+ZB=90°,

•：AC=ACf

：./B==/D,

：./CAB+"=90°.

（2）证明：・・・/DAB+2ZCAD=90°,

・•・/DAB=90°-2ZCAD,

在\ACB中，:AACB=90°,

・・・/DAB=90°-ACAD-ZB,

・・.90°-2ACAD==90°-ACAD-ZB,

・・・NCAD=NB,

・・・ZB=ZD,

・・・NCAD=N。，

・・.AC=CD.

（3）解:连接OE,BO,

・・・OC垂直平分AD,

AE—DE—6,

・・・/EDA=4EAH,

・・•NEHA=2/EAH,

・•.ZEHA=2ZEDAf

・・・ZEHA=/EDH+AHED,

・•.ZHED=AHDEf

・・・AB为直径，

・•.ZAOB=90°,

设4HED=/HDE=B,

・•.ADHB=20,ADBE=90°—20,

过点石作/G_LBE交矶）的延长线于点G,

・・・ZGDB=90°—a,/.DBG=20,

・・・/G=26,

:・BD=BG,

,：AF=DF,AO=BO,

：.BD=BG=2OF=2V2,

过点B作成_LDG于点、L,

:,DL=GL,

设DL—GL—x,

・・・ALBG+ZG=ALEB+ZG=90°,

・•.ALBG=ALEB,

sinZLBG=sinZLEB,

.LG=BG

•,否一否，

（2V2）2=2（6+2z）,

解得◎=—4（舍去），x2=1,

：.LD=LG=1,

：.EL=7,LB=V7,

：.BE=y/ElJ+LB2=772+（V7）2=2VH.

【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的定

义，勾股定理，正确添加辅助线是解决该问题的关键.

题目区（2022•蔡甸区校级模拟）如图，点E是正方形ABCD边BC上一点（点E不与3、C重合），连接DE

交对角线AC于点F,AADF的外接圆。交边AB于点G,连接GD、GE.

（1）求乙EDG的度数；

【分析】（1）由正方形的性质得出乙24。=45°,由圆周角定理可得出答案；

（2）延长氏4至点P,使4P=CE,连接DF,证明^DCE会^DAP（SAS），由全等三角形的性质得出DE=

DP,ZCDE=AADP,ZP=ADEC,证明AEDG='PDG（SAS），由全等三角形的性质得出ZDEG=

/P,则可得出答案.

【解答】解：（1”.•四边形ABCD是正方形，

乙氏4。=45°,

•：GF=GF,

：."DG=/F4G=45°;

（2）延长94至点P,使AP=CE,连接DP,

..BE^5

'CE2'

,CE=2

,,沃—〒

•：四边形ABCD是正方形，

AD=DC,ABAD=4DCE=90°,

2PAD=4DCE,

文,；AP=CE,

：.kDCE=kDAP(SAS),

ADE=DP,NCDE=AADP,ZP=4DEC,

：.AADC=NPDE=90°,

ZEDG=ZPDG=45°,

又；DG=DG,

：.^EDG=kPDGlSAS),

ADEG=Z.P,

ZDEC=/DEG,

tan/DEG=tanZDCE=.

【点评】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握

全等三角形的判定与性质是解题的关键.

题目目（2023•怀化）如图，AB是的直径，点P是。。外一点，P4与。。相切于点4点。为。。上

的一点.连接P。、4C、。。,且PC=PA.

（1）求证：PC为。。的切线；

（2）延长P。与AB的延长线交于点。，求证：PD-OC^PA-OD；

（3）若/CAB=30°,=8,求阴影部分的面积.

［分析］⑴先由切线的性质得APAO=90°,然后依据“SSS”判定^POC和^POA全等，从而得APCO=

ZPAO=90°，据此即可得出结论；

（2）由ZDCO=ZDAP=90°,/ODC=/PD4可判定AO。。和APD4相似，进而根据相似三角形的性质

可得出结论；

（3）连接BC,过点。作CE，OB于点E,先证AOCB为等边三角形，再设OE=a,则04=

2a,CE=V3a,在RtkCDE和在RiADOC中，由勾股定理得CD2=CE2+DE2=OD2-OC2，由此可求出a

的值，进而得。。的半径为4,然后根据S班爵=Ssoc—S扇衫Bo。即可得出答案.

【解答】⑴证明：••♦AB为OO的直径，P4为0。的切线，

：.PA±OA,

即：240=90°,

•.•点。在。。上，

OC^OA,

在APOC和^POA中,

(OC=OA

IPC=PA,

[PO=PO

：.N