中考数学专项复习：三角形、四边形综合（含答案及解析）

中考小独致一三角形、四边形稼合

解题方法

1.线段、角的计算与证明问题

中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对

于整个做题过程中士气，军心的影响。线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题

眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.图形位置关系

中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在

中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最

重要的就是圆与三角形的各种问题。

3.动态几何

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代

数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯

形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

4.几何图形的归纳、猜想问题

中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，

所以大多放在填空压轴题来出。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。

5.阅读理解问题

如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。阅读理解往往是先给一个材

料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。对于这种题来说,如果考

生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。所以如何

读懂题以及如何利用题就成为了关键。

解题策略

1.学会运用数形结合思想

数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以

形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想.数形结合思

想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关，其特点是通过建立点与数即坐

标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代

数问题的解答。

2.学会运用分类讨论的思想

分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行

考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分

类讨论思想解题已成为新的热点。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这

就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它

体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行.正

确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。

题型归纳

题型1：相似三角形、解直角三角形在三角形、四边形中的应用

题型2:最值问题

题型3:折叠问题

题型4：旋转问题

题型5：对称问题

题型6：三点共线问题

题型7：列函数关系式问题

题型8：动点问题

题型9：情景探究题

题型1：相似三角形、解直角三角形在三角形、四边形中的应用

遮目不（2024.江苏扬州.一模）如图1,在Rt/\ABC中，90°,AC=6,ABAC=60°,点D在线段BC上,

将△ACD沿AD折叠使得点。落在AB上。点处.

⑴则CD的长为；

（2）过点D作DE//AC交4B于点E,点河是线段AD上的动点,连接并延长分别交DE,人。于点F、

G.

①如图2,若点朋•是线段AD的中点，求答的值；

Ur

②请问当的长满足什么条件时,在线段DE上恰好只有一点P,使得ZCFG=60°?请说明理由.

题目区（2024.江苏苏州.一模）已知矩形ABCD中，E是BC的中点于点F.

图1

（1）如图1,若BE=2,求AE-AF的值；

⑵如图2,连接AC交DF于点G,若叁=京求cos/FCE的值；

（3）如图3,延长DF交AB于点G,若G点恰好为AB的中点，过A作AK〃F。交FD于K,设△ADK的面

积为Si,/XCDF的面积为S2,则兽的值为

「题目区（2024.安徽六安.一模）如图，在OABCD中，E,F分别是AD,AB上的动点.

（1）已知乙4=90°,EG±EF交DABCD的一边于点G,tan/EGF=

①如图1,若点G在CD上,求证：3AF=2DE.

②如图2,若点G在5C上，且尸4=3,AE=8,求BF的长.

⑵如图3,乙4W90°,点G在BC上，且/EEG=/B4D,若罪=。笫=1■，求第的值.

题目目（2024.云南.模拟预测）菱形ABCD的对角线AC,相交于点O,0°<ZABO<60°,点G是射线

OD上一个动点，过点G作GE//。。交射线OC于点、E,以OE,OG为邻边作矩形EOGF.

图①

（1）如图①，当点F在线段。。上时，求证：DF=FC；

⑵若延长AD与边GF交于点H,将△GDH沿直线AD翻折180°得到

①如图②，当点河在EG上时,求证：四边形EOGF为正方形；

②如图③，当tan乙4B。为定值小时，设DG=k・。。，%为大于0的常数，当且仅当k>2时，点M在矩形

EOGF的外部，求利的值.

题目回（2024•江苏盐城•模拟预测）如图1,在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一点,连接AP和CP,在

射线AP上取点E,使得AAEC+AABC=180°,射线CE交射线于点Q,设ZABC=2a.

Q

Q

图1图2图3

（1）如图2,若a=45°,连接AC,交BD于点O,求证：△OPC〜△OCQ；

（2）【探究】如图3,若0=30°,3。=4。J,请画出图形,并求察的值；

【归纳】若=%•DP,穿的值为

.（用含k、a的表达式表示）

O.i

题型2:最值问题

题目回（2024.陕西西安.二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法.如图1,正方形48co中，E、F

分别在边AB.BC上，且NEDF=45°，连接EF,试探究AE,CF、EF之间的数量关系.解决这个问题可

将△川0£；绕点。逆时针旋转90°到△CDH的位置（易得出点H在的延长线上），进一步证明ADEF与

△Z汨F全等，即可解决问题.

图3

（1）如图1,正方形ABCD中，NEDF=45°,AE=3,CF=2,则EF=；

（2）如图2,正方形ABCD中，若NEDF=30°,过点E作EMUBC交DF于M点、,请计算AE+CF与EM

的比值，写出解答过程；

（3）如图3,若ZEDF=60°,正方形ABCD的边长AB=8,试探究4DEF面积的最小值.

题目不（2024.重庆开州.二模）在等腰△4BC中，/BAC=45°,=是AC边上一动点，连接BD,

将BD绕点D顺时针旋转135°,得到DE，连接CE.

E

图1

⑴如图1,当点E落在BA边的延长线上时,连接AE,=42,求S^CD；

⑵如图2,取CE的中点F,连接。F,AF,求证：AFLDF；

（3）如图3,当BO，AC时，点G是直线CE上一动点，连接DG,将/XCDG沿着DG翻折得到40DG,连

接AC'、,若AB=4+22,请直接写出AC+[42—1）BC的最小值.

题型3:折叠问题

Ml回（2024.海南省直辖县级单位.模拟预测）如图1,矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点E在边BC上运

动（不与点B和点。重合），将AE绕点A顺时针旋转得到AF,旋转角等于/历LC,连接CF,过点F作

，AC于点

（1）求证：4ABE空/\AMF；

（2）当直线■恰好经过点E时，求CF的长；

（3）如图2,连接。F.

①当DF=CF时，求等的值；

②探究DF是否存在最小值，若存在,请求出这个最小值，若不存在，请说明理由.

题目回（2024・江苏无锡・一模）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=t.G为AD边上的一个动点，沿BG翻

折△ABG,点力落在点F处.

FF

图1备用图

（1）如图1,若AD=8,且点G与点。重合时，。F交8。于点区

①求BE的长；

②若点M在射线历1上，且AM=孕,求tanZBMF的值.

（2）连接CF,在AD边上存在两个不同位置的点G,使得S^CF=/S^ABC，则t的取值范围是.

〔题目叵（2024河南•一模）如图①，小颖将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在射线BD1.,点B的对应点记

为折痕与边AD、BC分别交于点E、F.

（1）如图②，当点F与点。重合时,请判断四边形BEDF的形状并证明；

（2）在矩形纸片ABCD中，若边2,BC=273,AC与BD交于点。：

①请判断4片与对角线AC的位置关系并仅就图③说明理由；

②当B7?=1时，请直接写出此时AE的长.

题型4:旋转问题

题目五（2024•重庆•一模）已知△ABG是等腰直角三角形，=AC,。为平面内一点.

图1图2图3

（1）如图1,当。点在AB的中点时，连接CD,将CD绕点。逆时针旋转90°,得到即，若AB=4,求△ADE

的周长；

⑵如图2,当D点在ZVIB。外部时，夙F分别是AB,BC的中点,连接EF、DE、DF,将DE绕E点逆时

针旋转90°得到EG,连接CG、DG、FG,若AFDG=/FGE,请探究FD、FG、CG之间的数量关系并给出

证明；

（3）如图3,当。在△4BC内部时，连接A。,将4D绕点。逆时针旋转90°,得到ED,若ED经过BC中点

F,连接AE、CE,G为CE的中点，连接GF并延长交AB于点H,当AG最大时，请直接写出会空的值.

bbAHG

,题目叵（2024•广东•一模）在△ABC中，CA=CB,乙4cB=&.点P是平面内不与点4C重合的任意一

点.连接AP,将线段4P绕点P逆时针旋转a得到线段DP,连接AD,BD,CP.

⑴观察证明如图1,当a=60°时

①猜想BD与CP的数量关系为，并说明理由.

②直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是

⑵类比猜想

如图2,当a=90°时,请直接写出需的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数

⑶解决问题

当a=90°时，若点E,F分别是CA,CB的中点，点P在直线EF上,请直接写出点C,P,。在同一直线上

时弟的值.

【数学活动】将三角形纸片ABC进行以下操作:第一步:折叠三角形纸片ABC使点。与点A重合,然后展

开铺平，得到折痕DE；第二步:然后将△DEC绕点。顺时针方向旋转得到ADFG,点E、。的对应点分

别是点F、G,直线GF与边力。交于点河（点河不与点4重合），与边AB交于点N.

（1）折痕。E的长为.

（2）在△DEC绕点。旋转的过程中，试判断研与ME的数量关系，并证明你的结论.

（3）在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：

①如图2,当直线GF经过点B时，AM的长为.

②如图3,当直线GF〃47时，求AM■的长.

（4）在△DEC绕点D旋转的过程中,连接AF,则AF的最小值为

题型5:对称问题

题目回（2024.河北石家庄.一模）如图1和图2,四边形ABCD中，=6,BC=8,A。=2«7,CD<

AB,/B=/C=90°,点石在AB边上，且AE=2.动点P从点B出发,沿折线BC—CD—DA运动，到达

点A时停止，设动点P运动的路径长为x（x>0）.

图1图2备用图

（1）如图1,①CD=；

②当EP=CP时，求劣的值；

（2）如图2,当0Vc48时，连接当EP_LPD时,求证：△BEP和4CDP全等；

⑶当0V*<12时，作点B关于EP的对称点B',连接EB'，设EB，与AB所夹的锐角为a，直接写出sina

的值（用含c的式子表示）.

题型6：三点共线问题

［题目口53（2024•山西太原•一模）综合与实践

问题情境:综合实践课上，老师让同学们以正方形为背景，添加适当的几何元素后，探究线段之•间的M数量关

系.如图1,已知四边形ABCD是正方形,点E在线段BC±（CE>BE）,以CE为边作正方形EFGC,使

点G在线段CD上.延长CD至点使连接AH,AE,AF.

数学思考：（1）拼搏小组提出如下问题，请你解答：

①求证：AH—AE；

②猜想线段HG与AF之间的数量关系，直接写出结论；

深入探究：（2）奋进小组将正方形CEFG从图1中位置开始，绕点E逆时针旋转（设点。的对应点为提

出如下问题，请你解答：

①如图2,当点F恰好落到线段AE上时,连接HG.猜想此时线段HG与AF之间的数量关系，并说明理

由；

②若AB=6,BE=2,在正方形CEFG旋转过程中,直接写出A,F,G三点在同一直线上时线段的

长.

题型7:列函数关系式问题

［题目［16J（2024•四川南充•一模）如图，点B是矩形AEFG的边EF上的动点，以为边向右上方作正方形

ABCD.

⑴如图1,若点。在FG上，求/BGF的度数；

（2）如图2,若。是FG的中点，求证：CH=DH；

（3）正方形ABCD的顶点B运动到如图3位置，若AE=2,EF=3.设EB=x,CG2=沙,求夕与，的函数

解析式（不写自变量的取值范围）.

题型8:动点问题

〔题目〔17］（2024.浙江宁波.模拟预测）综合与实践.

【问题发现】

（1）如图1,在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点,过点B作BE的垂线,过点。作AC的垂线，两条

垂线交于点F,连接EF,求证：=

【类比探究】

（2）如图2,在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点5作BE的垂线，过点。作AC的垂线，两条

垂线交于点F,且/"8=60°,连接即,求笔的值.

AE

【拓展延伸】

（3）如图3,在⑵的条件下,将E改为直线AC上的动点，其余条件不变,取线段EF的中点“，连接AW,

CM.若爪2加，则当\CBM是直角三角形时,请求出CF的长.

题型9：情景探究题

〔题目⑼（2024・辽宁葫芦岛•一模）【问题初探】

（1）如图1,40是△ABC的中线，BE交AC于点E,交AD于点F,且=求证：AC=BF.

小明和小亮两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路.

①小明同学的思考过程:如图2,延长FD到点G,使。G=DF,连接CG,构造△DG。……；

②小亮同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形,只是构造方法不同.如图3,过点B作

BGHAC交AD延长线于点G,于是得到△BDG……；请你选择一名同学的解题思路,写出解答过程.

【迁移应用】

（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题,如图4,已知等边△ABC中，

D为BC边上一动点,连接AD,将AD绕着D顺时针旋转120°得到DE,连接班;，取BE中点F,连接DF,

猜想CD与DF的数量关系，并证明你的猜想；

A

图5

【能力提升】

（3）如图5,已知△ABC中，"8="C,Z8/C=90°,点D是斜边BC上的一点，且BD<CD，连接

4。，将线段4D绕。点顺时针旋转90。，得到线段DE，连接线段BE，点F为线段BE的中

点，连接DF,若/CDEANQFg，求线段CD的长度.

［题目回（2024.江苏扬州.一模）如图，4MoN=90。,点4B分别在OM、ON上运动（不与点。重合），BC

是/ABN的平分线，BC的反向延长线交AOAB的平分线于点D.

（1）随着点人、B的运动，ND的大小会变吗？如果不会，求的度数;如果会，请说明理由.

（2）如图1,若OB与AD相交于点E,连接,当。8=6,OE=25时，求ABOD的度数及BD的长度.

（3）如图2,当点B在ON上固定不动，且OB长度为6,点F为。河上一定点，6,若点G为过三点人、

B、。的圆的圆心，当点A从点O运动到F点，点G也随之运动,直接写出点G的运动路径长.

题目M（2024.辽宁沈阳•模拟预测）【问题初探】：（1）数学活动课上,刘老师给出如下问题:如图1,在四边形

ABCD中，人3=人。=。。,/人。。+/8_4。=180°,CE_LAD,垂足为E.求证：BC=2CE.

①如图2,小涵同学从ZACD+ABAC=180°,这个条件出发，给出如下解题思路:得出ABAC=2ZCAD,

作AF平分乙民4。交于点F,将AACD+ABAC180°转化为/CAF与/CAD之间的数量关系.

②如图3,小慧同学从结论的角度出发给出如下的解题思路:延长CE至点G,使CE=EG,连接AG,将线

段CE与之间的数量关系转化为线段CG与之间的数量关系.

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.

【类比分析】：

（2）刘老师发现之前两名同学都运用了转化思想，证明一条线段是另一条线段的2倍,将长的线段平分或将

短的线段倍长，从而转化为证明两条线段相等.为了帮助学生更好地感悟转化思想，刘老师提出了下面的

问题，请你解答.

如图4,在△ABC中，AC=BC,/ACB=90。，。是4B边上一点，连接CD,过点B作跳；，。。于点后，

在BE上截取EF=CE,连接AF交CD于点G.求证：BF=2EG.

【学以致用】：

（3）如图5,在△ABC中，AB=AC,sinB=。是BC中点，点E在线段BD上，连接AE,延长AC至点

5

F,使CF=BE,连接DF,若/CDF=/BAE.求嘴的值.

AB

题目a1（2024.河南周口.一模）【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问

题”.

问题情境:在菱形ABCD中,/ABC=60°为边AD上一点（与A,O不重合）,连接BE,并将射线班绕点

B在平面内顺时针旋转,记旋转角为&（0°<&<360°）.

操作感知：（1）小华取4=60°,如图1,射线BE与射线AC交于点F,请你帮小华同学补全下面两个问题的

答案:①线段BE与BF的数量关系是；②线段AB,AE,AF的数量关系是.

图1图2

猜想论证：（2）小夏取1=120。，如图1,射线.与射线交于点干,小夏在笔记本上记录了自己的思考

过程：

线段BE与BF的数量关系与（1）①相同……

但线段AB,AE,AF的数量关系好像不再成立……

我发现线段之间好像具有与⑴②类似的数量关系……

请你帮小夏同学完成线段之间数量关系的猜想并给出证明.

拓展探究：（3）小梦测量得到AB=2,BE=3,如图2,在旋转过程中，设点H的对应点为F,当点F落在菱

形ABCD的边或对角线所在直线上时，记点F到直线BC的距离为d,请你帮小梦同学直接写出所有大于

血的d的值.

中考小独致一三角形、四边形稼合

解题方法

1.线段、角的计算与证明问题

中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对

于整个做题过程中士气，军心的影响。线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题

眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.图形位置关系

中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在

中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最

重要的就是圆与三角形的各种问题。

3.动态几何

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代

数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯

形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

4.几何图形的归纳、猜想问题

中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，

所以大多放在填空压轴题来出。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。

5.阅读理解问题

如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。阅读理解往往是先给一个材

料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。对于这种题来说,如果考

生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。所以如何

读懂题以及如何利用题就成为了关键。

解题策略

1.学会运用数形结合思想

数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以

形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想.数形结合思

想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关，其特点是通过建立点与数即坐

标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代

数问题的解答。

2.学会运用分类讨论的思想

分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行

考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分

类讨论思想解题已成为新的热点。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这

就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它

体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行.正

确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。

题型归纳

题型1：相似三角形、解直角三角形在三角形、四边形中的应用

题型2:最值问题

题型3:折叠问题

题型4：旋转问题

题型5：对称问题

题型6：三点共线问题

题型7：列函数关系式问题

题型8：动点问题

题型9：情景探究题

题型1：相似三角形、解直角三角形在三角形、四边形中的应用

遮目不（2024.江苏扬州.一模）如图1,在Rt/\ABC中，90°,AC=6,ABAC=60°,点D在线段BC上,

将△ACD沿AD折叠使得点。落在AB上。点处.

⑴则CD的长为；

（2）过点D作DE//AC交4B于点E,点河是线段AD上的动点,连接并延长分别交DE,人。于点F、

G.

①如图2,若点朋•是线段AD的中点，求答的值；

Ur

②请问当的长满足什么条件时,在线段DE上恰好只有一点P,使得ZCFG=60°?请说明理由.

【答案】⑴2遍

⑵①需=匕②当DM=坐③或竺臣＜DM44V3时，满足条件的点P只有一个，见解析

Ub375

【分析】⑴由折叠的性质得ADAC=30°,在Rt/\ADC中，根据锐角三角函数正切定义即可求得。。长；

（2）①由题意易求得BC=61,BD=4遍，由全等三角形判定ASA得4DFM名A4GA/,根•据全等M三角形

性质得OF=AG,根据相似三角形判定得ABEF〜/\BAG，由相似三角形性质得答=需=等,将

AGrA.B

DF=4G代入即可求得答案;②由圆周角定理可得△CQG是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：

当OQ与_DE相切时，结合题意画出图形,过点。作Qf/工AC,并延长HQ与DE交于点P,连接QC,

QG,设。Q半径为r,由相似三角形的判定和性质即可求得。“长；当。Q经过点E时，结合题意画出图

形，过点。作CK_LAB,设。Q半径为r,在RtAEQK中,根据勾股定理求得r,再由相似三角形的判定和

性质即可求得DM长;当。Q经过点D时，结合题意画出图形，此时点河与点G重合，且恰好在点A处，由

此可得ZW长.

【解析】（1）解：•••△47。沿AD折叠使得点。落在AB上。点处，/B4C=60°,

A4DAC=30°.

在RtAADC中，

ADC^AC-tan30°=273,

故答案为：2盗；

（2）解:①•••4。=6,ABAC=60°,DC=2y/3,

：.BC=6V3,BD=4V3.

DEIIAC,

NEDA=ADAC,4DFM=AAGM.

AM=DM,

/\DFM^^AGM（ASA）,

AG=DF.

DEIIAC,

△BEF〜ABAG,

,EF__BE_BD

**AG-~~AB-BC，

,EF__EF_BD_4V3_2.

,,市一~~^G

②•：乙CPG=60°,过C,P,G作外接圆，圆心为Q,

△CQG是顶角为120°的等腰三角形,

当。Q与DE相切时，如图1,过Q点作QHLAC,并延长与DE交于点P,连接QC,QG,

设0Q的半径QP=r则QH=-yr,r+-r=2V3,

解得了=今四.

o

.-.CG=^-V3XV3=4,AG=2.

o

♦:DEIIAC,

：・/\DFM〜4AGM,

.DM=DF=4

**AM~~AG~~39

.DM_4

，，34D--7，

JDM=-y-V3.

②当。Q经过点E时，如图2,过。点作CK_LAB,垂足为K.

设。Q的半径QC—QE=『，则QK—3V3—r.

在放△£©/<中，12+（3，^一/）2=『2,

解得r=号通，

.-.CG=^V3xV3=^

yo

•：DEIIAC,

：.4DFM~4AGM,

同理可得：。河=4四

5

③当。Q经过点。时，如图3,

此时点”与点G重合，

且恰好在点A处，

由（2）得DM=4代.

综上所述，当DM="通或单述＜DM44V3时，满足条件的点P只有一个.

75

【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题

的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题.

题目团（2024・江苏苏州•一模）已知矩形ABCD中，E是BC的中点，OF，AE于点F.

图1图3

（1）如图1,若BE=求AE-AF的值；

⑵如图2,连接47交DF于点G,若需■=1■，求cos/FCE的值；

（3）如图3,延长DF交AB于点G,若G点恰好为AB的中点，过A作AK〃F。交FD于K,设△ADK的面

积为S,ACDF的面积为S?，则善的值为

【答案】（1）6;

⑵争

⑶*

【分析】（1）证明△ABE〜/\DFA,得到=第，即可求解；

4AKDAr

⑵延长DF交CB的延长线于H,连接。E、AH,证明△ADG〜△CHG,得到需=叁=~|■，推出EH

=BC=AD,进而得到四边形ADEH是菱形，得到DF=HF,NAEH=AAED,DE=AD=EH=BC,得

出。£=。£）£,即可得/CDE=30°,得到/AEH=/AED=60°,据此得到30°=/CDE,再由

2FCE=ZCFE=J/AEH=30°即可求解；

（3）过F作PQ_L4B于P,交CD于Q,作KH_L人。于X,证明&ABE〜ADAG,得到48=4D,推导出

四边形ABCD是正方形，得到AB=BG=GD=AD=PQ,设AB=BC=CD=AD=PQ=4a,则BE=

AG—2a,可得tanZADG=tanZBAE=AE—DG—2V5a,由三角形面积得到AF=证■明

/o

△APF〜AABE,得到AP=,PF=,进而得到CQ=PB=孕a,FQ=毕a,由tan/ADG=啸

5555DH

4

=9，设KH=rc,则DH=2c,证明AAHK〜AFQC,得到AH=卜，由AH+OH=AD可得方程得工+

2力=4Q,解方程得x=~ra,即KH—，再由三角形面积公式即可求解.

55

【解析】（1）解：:石是石。的中点，

・・.BC=2BE=20

・・•四边形48co是矩形，

・・.AD=BC=25,LB=90°,AD//BC,

：./AEB=/DAF,

•：DF_LAEf

：.NATO=900=",

・・・/\ABE"DFA,

.AE=BE

••亚一羽’

・・.AEAF=ADBE=272xV2=4;

⑵解:延长OF交CB的延长线于H,连接OE、如图2,

・・•四边形ABCD是矩形，

・・.AD//BC,AD=BC,/BCD=90°,

・・・4ADG〜ACHG,

.AD=-G=2

，9~CH~~CG~~39

.BC=2

•・而一.，

・・・石是BC的中点,

・・.BE=CE=BH,

：.EH=BC=AD,

：.四边形4DEH是平行四边形,

•：DF±AE9

・・・四边形ADE"是菱形，

・・.DF=HF,/AEH=/AED,DE=AD=EH=BC,

，CE=[BC=[DE,

sin/CDE=g,

LJEJN

・•・/CDE=30°,

・•.ZCED=90°-30°=60°,

・・・/AEH=AAED=60°,

•.•DF.LAE9

：./FDE=30°=/CDE,

:.FE=[DE=CE

・・.AFCE=ACFE=1/AEH=30°,

・・・cosZFCE=^;

(3)解:过F作PQ_LAB于P,交CD于Q,作KH_L4D于H,如图3,

则P。=AD,AP=OQ,PQ〃BC〃AD,

・・・G是AB的中点，石是BC的中点，

・・・AB=2AG,BC=2BE,

・・•四边形ABCD是矩形，

・・.AD=BC,AB=CD,4B=ND4G=90°,

•：DF_LAEf

・•.AADF+ZDAF=/RAE+ZDAF=90°,

・•・/BAE=/ADF,

：.AABE〜4DAG,

.AB=BE

•,布一运’

・•.ABAG=ADBE,

即yAB2=yAZ?2,

:.AB—AD,

・・・四边形ABCD是正方形，

:.AB—BC—CD—AD=PQ,

设AB=BC=CD=AD=PQ=4a,则BE=AG=2Q,

/.tan/ADG=tanZBAE?=,AE=DG=(2a)2+(4a)2=2V5a,

•••S^DG=^DG-AF=^AD-AG,

.AG-AD2aX4a475

・・・PQ//BC,

・・・AAPF〜/\ABE,

.AP=PF=AF

"AB-BE-AEJ

4战c

即丝二理==

4a2a2V5a

解得AP=§a,PF=3a,

55

CQ=PB=AB—AP=4Q—■=孕a,FQ=PQ—PF=4a-3a=半a,

5555

•：KH±ADf

・•・tan/ADG=真去=[,

UrL/

设则。H=2N,

•：PQ//AD,AK//FC,

：./DAF=/QFE,ZKAF=ZCFE,

・・・乙DAK=AQFC,

又•・・/AHK=ZFQC=90°,

・•・/XAHK〜4FQC,

.HK=AH

••西一沟’

6

即x—4H

暑Q售丁

55

解得

・・•AH+DH=AD,

4

--X+2rc=4a,

o

解得X—

5

KH—§Q,

5

・・・/\ADK的面积为S尸^-ADKH,/XCDF的面积为S2=%CDFQ,

八

.S'_KH_石6a「3

"S2~FQ~l^a~8,

故答案为：w

o

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，

正方形的判定和性质，三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

题目区（2024.安徽六安.一模）如图，在AABCD中，E,F分别是AD,4B上的动点.

⑴已知=90°,EG，EF交HABCD的一边于点G,tan/EGF=.

①如图1,若点G在CD上,求证：3AF=2DE.

②如图2,若点G在BC上，且FA=3,AE=8,求的长.

（2）如图3,乙4W90。,点G在BC上，且乙FEG=/BAD,若笫=看,第=日，求铠的值.

【答案】（1）①见解析;②9

（分析】⑴①由EG_LEF,tan/EGF=日得出ZAEF+AGED=90°,EF=卷EG，由矩形的判定与性质

OO

得出AADC=/A=90°,NAFE+NAEF=90°,推出AAFE=ADEG,证明/\AEF〜^DGE,得出票

2石G

=第==?,即可得证;②作GHX.AD于X,由EG，EF,tan/EGF=?得出AAEF+AGEH

h/GrB/Gr33

=90°,EF=QG,由矩形的判定与性质得出乙4。。=乙4=90°,乙4EE+/ABF=90°,推出/AFE=

tj

2EG

NHEG,证明△AEF〜/\HGE，得出架=等=-^―=《■，求出班;=号,后歹=y/AE2+AF2=V73,

HEEGEG32

则EG=得EF=，再由勾股定理求出GH=y/EG2-EH2=12,即可得解；

⑵在AD的延长线上找一点连接GM,使GM=AB,则四边形ABGM■是等腰梯形，证明4AEF〜

△MGE得出篇=部=器结合锯空罪T，计算即可得出答案.

【解析】⑴①证明：；EG±EF,tan/EGF=磊,

O

・・・/FEG=9U°,tan"GF=隹=：

9

NAEF+AGED=90°,EF=-^EG,

o

・・•/A=90°,

・•.ZAFE+ZAEF=90°,四边形ABCD是矩形，

・・・4AFE=/DEG,Z.ADC=NZ=90°,

・・・AAEF〜/1DGE,

.AF=EF=犯6=2

*'~DE~^G~EG~~39

・•・3AF=2DE;

②如图，作GH_L4D于H,

2

•・・EG工EF,tan/EGF=9，

o

：.NFEG=90°,tan/EGF=需=与,

h/Cjr3

9

ZAEF+ZGEH=90°,EF=£EG,

o

乙4=90°,

ANAFE+NAEF=90°,四边形ABCD是矩形,

AAAFE=AHEG，/B=/A=90°,

•：GH±AD,

：.AGHA=/B=NA=90°,

四边形ABGH是矩形,AAEF〜/\HGE,

EF2

AB=CGH,A?

HE~EG3

AE=8fFA=3,

:,HE=J,EF=VAE\AF2=V73,

：.EG=^EF=^^~,

：.GH=y/EC^-EH2=12,

・・.AB=GH=12,

：.BF=AB-AF=12-3=9;

⑵解:如图，在AD的延长线上找一点A/,连接GM,使GM=AB,

则四边形4BGM是等腰梯形，

・・.ZA=ZM,

・・・/FEG=/BAD,AFEG+ZAEF+4GEM=ZBAD+Z.AEF+Z.AFE=180°,

・・・4AFE=/GEM,

：.dAEF〜/\MGE,

.FE=AE

，9~GE~~GM9

8

・・GM—ABAB—AAE_旦

・GM-AB,%。一5，4。一7，

AD

.FE=AE=AE=^=15

--

''~GE~GMAB-±AD28,

5

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知

识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键，属于中考压轴题.

题目回（2024.云南.模拟预测）菱形ABCD的对角线AC,相交于点O,0°<NABO<60°,点G是射线

OD上一个动点，过点G作GE〃O。交射线OC于点、E,以OE,OG为邻边作矩形EOGF.

⑴如图①，当点F在线段。。上时,求证：OF=FC