中考数学专项复习：最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型（含答案及解析）

:值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】

瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线—上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线

1）如图，P是直线上一动点，连接4P,取4P中点0,当点P在8c上运动时，0点轨迹是？

解析：当尸点轨迹是直线时，0点轨迹也是一条直线.

理由：分别过/、。向8c作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为所以0N

始终为的一半，即0点到8C的距离是定值，故。点轨迹是一条直线.

2）如图，在A4PQ中/P=/Q,NB40为定值，当点尸在直线2C上运动时，求0点轨迹？

解析：当/P与夹角固定且为定值的话，P、。轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的0点的位置，连线即可，比如0点的起始

位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为

其他已知轨迹的线段求最值。

例L（2022•湖南湘西・统考中考真题）如图，在RtAlBC中，乙4=90。，M为2c的中点，H为AB上一点、,

过点C作CG||4B,交用/的延长线于点G,若NC=8,AB=6,则四边形NCG8周长的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

例2.（2023•黑龙江绥化,统考中考真题）如图，口相。是边长为6的等边三角形，点E为高20上的动点.连

接CE,将CE绕点C顺时针旋转60。得到CV.连接AF,EF,DF,贝WCD尸周长的最小值是.

BC

例3.（2023・河南洛阳・统考一模）如图，在平行四边形4BCD中，AB=6,BC=10,/8=60。，点E在线

段3C上运动（含B、C两点）.连接以点/为中心，将线段NE逆时针旋转60。得到/月连接。凡则

线段。尸长度的最小值为

例4.（2022•山东泰安•统考二模）如图，矩形ABCD的边AB=£,BC=3,£为AB上一点，且AE=1,F

为AD边上的一个动点，连接EF,若以E尸为边向右侧作等腰直角三角形跳G,斯=EG,连接CG,贝"G

C.3D.20

例5.（2023•陕西•西安市八年级期末）预备知识：⑴在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量

t的变化，动点P（3t,2-/）在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？

一番深思熟虑后，聪明的小明说："是一条直线”，老师问："你能求出这条直线的函数表达式吗？"

小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为y=kx+b（k^0）,

将点P（3r,2—。代入得：2—t—k-3t+b,整理得（3左+l）t+＞一2=。

•••t为任意实数，等式恒成立，.不A+1=0,b-2=Q=b=2

这条直线的函数表达式为y=尤+2

请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点尸（31,2-。在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线

I,求直线/的函数表达式.

问题探究：（2）如图1,在平面直角坐标系中，已知4（2,0）,5（5,9）,且N54c=90。，AB=AC,则点C的

坐标为•

结论应用：（3）如图2,在平面直角坐标系中，已知点尸（1,0）,Q是直线y=-gx+2上的一个动点，连接

PQ,过点P作尸。」尸。，且尸。'=尸。，连接。Q',求线段。。'的最小值.

图1图2

例6.（2023•河南新乡•统考一模）如图，在菱形ABCD中，NB=45。,E、尸分别是边C。,8c上的动点，连

接AE、EF,G、X分别为AE、EF的中点，连接G”.若G”的最小值为3,则BC的长为.

例7.（2023・四川雅安•统考中考真题）如图，在口ABC中，ZC=90°,AC=BC=6.尸为边AB上一动点,

作PDJ.3C于点D,PELAC于点E,则DE的最小值为.

例8.（2023•安徽合肥•校考一模）如图，RtZXABC中，ZACB=90°,ABAC=60°,点D是边8C上一动点，

以点/为旋转中心，将顺时针旋转60。得到线段AE,连接CE,若AC=1,则CE的长的最小值为（）

12L

A.—B.—C.1D.5/2

课后专项训练

1.（2021・四川广元•中考真题）如图，在口45。中，NACB=90。，AC=3C=4,点。是3C边的中点，点尸

是AC边上一个动点，连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形尸。。，连接CQ.则CQ的最小值是

()

J3l3

A.—B.1C.J2D.-

22

2.（2023上•福建厦门•九年级校考期中）如图，长方形ABCD中，AB=3,BC=4,E为BC上一点、.且BE=1,

尸为A8边上的一个动点.连接将△2EF绕着点£顺时针旋转45。到△HEG的位置，其中点3、点尸

的对应点分别为点“、点G,连接FG和CG,则CG的最小值为（）.

A.B.3C.1+^^D.而

22

3.（2023上•江苏扬州•九年级校联考期中）如图，正方形ABCD的边长为4,点E是正方形对角线8。所在

直线上的一个动点，连接AE,以4E为斜边作等腰R/QAEF（点A,E,尸按逆时针排序），则C尸长的最

4.（2023上•河北保定•九年级校考期中）如图，在Rt^ABC中，/54C=90。，且AB=6,AC=8,点。是

斜边8c上的一个动点，过点。分别作OMI4B于点M,ZJN1AC于点N,连接MN,点。为MN的中点,

则线段A。的最小值为（）

5.（2023上•山西临汾•九年级统考期中）如图，在口相。中，AB=BC=10,AC=12,点O,E分别是A8,

8c边上的动点，连结。E,F,/分别是AD,OE的中点，则的最小值为（）

C

A.12B.10C.9.6D.4.8

6.（2023上•广东广州•九年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为4,=30。，点E是直线C"上

一个动点，连接8E,线段8E绕点8顺时针旋转45。得到8F,则线段。尸长度的最小值等于（）

C.276-273D.2A/6-A/3

7.（2022•江苏•徐州市三模）如图，CMBC中，ABAC=45°,AB=AC=8,P为AB边上的一动点，以尸4、

PC为边作YP4QC,则线段AQ的最小值为

A

8.（2023上•湖北武汉•九年级校联考期中）如图，已知NMON=30。，B为OM上一点、,于/,四

边形ABCD为正方形，尸为射线8M上一动点，连接CP,将“绕点C顺时针方向旋转90。得CE,连接BE,

9.（2023上,湖南长沙•九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点4（1,0）,点C是〉轴上

一动点，设其坐标为（0,加），线段C4绕点C逆时针旋转90。至线段CB,则点8的坐标为,连接3。,

则BO的最小值是.

10.（2023上•内蒙古呼和浩特•九年级统考期中）如图，已知［A5c中，ZACB=90。，ZS4C=30°,BC=2,

AB=4,AC=2⑸点。为直线A8上一动点，将线段CD绕点C顺时针旋转60。得到线段CE,连接E。、

8E,点尸在直线A尸上且OP=BC,则8E最小值为.

n.（2023上•福建三明,八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=4,BC=3,E为边A8上的点,

且AE=1.尸为A。边上的动点，以E尸为边在其右侧作等腰直角三角形GEF,EF=EG.设8中点为加，

则“G的最小值为

12.（2022•贵州毕节,中考真题）如图，在RtnABC中，484。=90。,43=3,3。=5,点尸为36边上任意一

点,连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则尸。长度的最小值为.

13.（2022•广东•东莞二模）如图，已知等腰三角形以8,N8/P=45。，AB=AP,将三角形放在平面直角坐

标系中，若点/（—30，0），点8在>轴正半轴上，则。尸的最小值是.

14.（2022•江苏宿迁•三模）如图在△49C中，乙4cB=9。。,乙4=30。，BC=2.。是43上一动点，以。C为

斜边向右侧作等腰放ADCE,使NCE£>=90。，连接BE,则线段BE的最小值为.

C

15.（2023•陕西师大附中三模）如图，正方形A5CD中，AB=4,点£为边BC上一动点，将点/绕点£顺

时针旋转90°得到点F,则DF的最小值为

16.（2022・浙江绍兴•二模）如图，在AIBC中，48=5,3c=3,NC=4,点尸从N点出发沿N2运动到3点，

以CP为斜边作如图的等腰直角三角形尸。C,NP0C=9O。，则比△尸QC的外心运动的路径长为,BQ

的最小值为

17.（2023•江苏盐城•三模）如图，/、8两点的坐标分别为（-3,0）、（-1,0）,点C为y轴上一动点，以

八。上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60。得到线段EF,连接人户、BF,则△48F'的周长的最小

值是.

19.（2022•河南南阳•二模）如图所示，A8=4,BC=8,A?1于点8,点。是线段上一个动点,

3

且于点。，tanZDAE=-,连接CE,则CE长的最小值是

20.（2023江西九江九年级期末）（1）回归教材：北师大七年级下册尸44,如图1所示，点P是直线加外一

点，，点。是垂足，点/、B、C在直线机上，比较线段尸O,PA,PB,尸C的长短，你发现了什么？

最短线段是,于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，.

（2）小试牛刀：如图2所示，Rt^ABC中，AB=c,AC=b,BC=a.则点尸为N5边上一动点，则CP

的最小值为.

（3）尝试应用：如图3所示nABC是边长为4的等边三角形，其中点尸为高上的一个动点，连接2P,

将AP绕点2顺时针旋转60。得到2瓦连接PE、DE、CE.

①请直接写出的最小值.②在①的条件下求DBPE的面积.

（4）拓展提高:如图4,RtZVBEP顶点厂在矩形48co的对角线ZC上运动，连接ZEBF=ZACD.AB=3,

:值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】

瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线—上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线

1）如图，P是直线上一动点，连接4P,取4P中点0,当点P在8c上运动时，0点轨迹是？

解析：当尸点轨迹是直线时，0点轨迹也是一条直线.

理由：分别过/、。向8c作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为所以0N

始终为的一半，即0点到8C的距离是定值，故。点轨迹是一条直线.

2）如图，在A4PQ中/P=/Q,NB40为定值，当点尸在直线2C上运动时，求0点轨迹？

解析：当/P与夹角固定且为定值的话，P、。轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的0点的位置，连线即可，比如0点的起始

位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为

其他已知轨迹的线段求最值。

例L（2022•湖南湘西・统考中考真题）如图，在RtAlBC中，乙4=90。，M为2c的中点，H为AB上一点、,

过点C作CG||4B,交的延长线于点G,若NC=8,AB=6,则四边形ZCG8周长的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

【答案】B

【分析】通过证明△BMHmACMG可得BH=CG,可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH,进而可确定当

MH1AB时，四边形ACGH的周长有最小值，证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解.

【详解】••,CGIIAB,••ZB=NMCG,「M是BC的中点，••,BM=CM,

ZB=ZNCG

<BM=CM

在△BMH和△CMG中，［/BMH=/CMG,...△BMH三△CMG（ASA）,；.HM=GM,BH=CG,

•；AB=6,AC=8,四边形ACGH的周长=AC+CG+AH+GH=AB+AC+GH=14+GH,

当GH最小时，即MH1AB时四边形ACGH的周长有最小值，

・2A=90。，MH1AB,.'.GHHAC,四边形ACGH为矩形，划=8,

四边形ACGH的周长最小值为14+8=22,故选：B.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键.

例2.（2023•黑龙江绥化,统考中考真题）如图，口他。是边长为6的等边三角形，点E为高2。上的动点.连

接CE,将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF.连接AF,EF,DF,贝川CDF周长的最小值是.

【答案】3+34/3百+3

【分析】根据题意，证明」CBE到C4F,进而得出尸点在射线AF上运动，作点C关于AF的对称点C，，连

接设CC'交A尸于点0,则-4℃=90。，则当2EC'三点共线时，bC+FD取得最小值，即

FC+FD=F'C'+F'D=CD',进而求得C'D,即可求解.

ZCB£=-ZABC=30°

【详解】解：*为高8。上的动点....2

•••将禀绕点C顺时针旋转60。得到CF.」ABC是边长为6的等边三角形，

...CE=CF,NECF=ZBCA=60°,BC=AC.口CBE^CAF

...NC4F=NCBE=30°,二产点在射线AF上运动，如图所示，

作点C关于AF的对称点。，连接设CC交AF于点°,则NA℃=90。

CO=-AC=3

在RtQAOC中，ZCAO=30°,则2,

则当Q,£C'三点共线时，RS+FD取得最小值，即/=

..CC=AC=6fZACO=ZCCDfCO=CD..JACO^CCD...ZCDC=ZAOC=90°

在口°'。0中，CD=ylcC,2-CD2=V62-32=373

-CD/周长的最小值为a）+FC+a>=CO+OC'=3+3g,故答案为：3+34.

【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，

勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键.

例3.（2023•河南洛阳•统考一模）如图，在平行四边形/BCD中，AB=6,BC=10,/B=60。，点E在线

段8c上运动（含B、C两点）.连接以点/为中心，将线段NE逆时针旋转60。得到/月连接。区则

【答案】2君

【分析】以AB为边向右作等边4ARG,作射线GF交AD于点H,过点D作DM1GH于M.利用全等三角形

的性质证明ZAGF=60。，得出点F在平行于AB的射线GH上运动，求出DM即可.

【详解】解：如图，以AB为边向右作等边4ARG,作射线GF交AD于点H,过点D作DM_LGH于M.

M

•••四边形ABCD是平行四边形，ZB=60°,.•.ZBAD=120°,

•••△ABG是等边三角形，.•ZBAG=NEAF=60°,BA=GA,EA=FA,

.•ZBAE=/FAG,.-.ABAESAGAF(SAS),.•.4B=NAGF=60°,

二点F在平行于AB的射线GH上运动，

•••ZHAG=ZAGF=60°,.•.△AHG是等边三角形，

；.AB=AG=AH=6,.-.DH=AD-AH=4,

=4x—=273

•­•ZDHM=ZAHG=60°,.­.DM=DH»sin60°2,

根据垂线段最短可知，当点F与M重合时，DF的值最小，最小值为2出，故答案为：2道.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直

角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点F

的在射线GH上运动，属于中考填空题中的压轴题.

例4.（2022•山东泰安•统考二模）如图，矩形ABCD的边AB=—,8C=3,E为AB上一点，且AE=1,F

2

为边上的一个动点，连接EF,若以EF为边向右侧作等腰直角三角形跳6,斯=EG,连接CG,贝|CG

的最小值为（）

【答案】B

【分析】过点G作GH1AB于H,过点G作MNIIAB,由"AAS"可证4GEH三AEFA,可得GH=AE=1,可得点G

在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解.

9

•.•AE=1,.-.BE=2,•,•zGHE=ZA=ZGEF=90o,

.1•ZGEH+ZEGH=9O°,ZGEH+ZFEA=90°,.-.ZEGH=ZFEA,

又•••GE=EF,.-.AGEHSAEFA(AAS),.-.GH=AE=1,

・••点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，

・••当F与D重合时，CG有最小值，此时AF=EH=3,

2

Jf--l-3f+2=-

・•.CG的最小值=2)2,故选B.

【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键.

例5.(2023•陕西•西安市八年级期末)预备知识：⑴在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量

t的变化，动点P(3t,2-。在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？

一番深思熟虑后，聪明的小明说："是一条直线”，老师问："你能求出这条直线的函数表达式吗？"

小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为y=kx+b(k^0),

将点P(3%,2—。代入得：2—t=k，3t+b,整理得(3左+l)/+b—2=0

・••t为任意实数，等式恒成立，.•.3A+l=0,b-2=0•,"=T，b=2

这条直线的函数表达式为y=-;x+2

请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点P(3f,2-r)在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线

I,求直线/的函数表达式.

问题探究：(2)如图1,在平面直角坐标系中，已知A(2,0),3(5,9),且/瓦1C=9O。，AB^AC,则点C的

坐标为•

图1图2

结论应用：(3)如图2,在平面直角坐标系中，已知点尸(1,0),Q是直线y=-；x+2上的一个动点，连接

PQ,过点P作尸且PQ'=PQ,连接。。，求线段。。'的最小值.

【答案】⑴直线/的函数表达式为y=-gx+2;⑵点C(-7,3)；⑶。最小值为右.

【分析】(1)利用待定系数法将点P代入解析式，利用恒等性质得出弘+1=0,6-2=0,求出直线解析式

即可；(2)设C点坐标为(m,n)过C作CE垂直x轴于E,过B作BFlx轴于F,证明三(AAS)

得出CE=AF,EA=FB,根据点8(5,9)点A(2,0)求出点F(5,0)即可；

(3)过Q作QG_Lx轴于G,过Q作Q'Hlx轴于H,先证△QPG三△PQ'H(AAS),设Q(a,-1a+2)分三

种情况,当瞄1时，点Q'(-；a+3,1-a)0Q'=yl0H2+QH2=27+5,当l<a<4,点Q<-ga+3,

1-a),OQ'=y]OH2+QH2=J|(a-2)2+5,当aM时，点Q'(3-：a,1-a)0Q'=

JW+?犯2=$袋+①4=J*a'+5,求出每种情况的最小值，然后比较大小即可.

【解析】⑴解：设这条直线的函数表达式为>="+6(左力0),将点尸(3/,2T)代入得：2—t=k3+b,整

理得例+1*+6-2=0,曾为任意实数，等式恒成立，.•.3左+1=0,匕-2=0,

=6=2,.•.这条直线的函数表达式为〉=-；％+2,

••・随着变量t的变化，动点P(3f,2-。在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线/,

直线/的函数表达式为y=-gx+2.

⑵解:设C点坐标为(m,n)过C作CE垂直x轴于E,过8作8F1X轴于F,.・zECAn<CAE=90。，

-AB=AC,ZB/AC=9O°,.-.ACAE+^FAB=90°f:.(ECA=(FAB,

/ECA=NFAB

在△SE和△八BF中，\ACEA=ZAFB,.-.ACAE^AABF(AAS),；.CE=AF,EA=FB,

CA=AB

•・,点8(5,9)点八(2,0),,,点F(5,0).*.n=5-2=3;2-m=97.-.m=-7,.-.^C(-7,3)；

⑶解：过Q作QGlx轴于G,过Q作Q，”lx轴于H,

vzQPQ=90°,乙QGP=乙Q'HP=90°,,••乙QPG+4Q'PH=90°,乙Q'PH+乙HQ'P=90°,乙QPG=^HQ'P,

ZQPG=ZPQfH

在△QPG和△PQ'H中，|/QGP=/尸"。'，.•.△QPG三△PQ'H(AAS),・・.PG=Q'H,QG二PH,

PQ=QrP

・•,Q是直线y=九+2上的一个动点，设Q(o,-1〃+2),

22

当9时，.-.QG=PH=--a+2,PG=QH=l-a,.•.点Q'(-L+3,1-a),

22

■-0Q'=y]0H2+QH2=|a+3|+(1-a)=J|(a-2)2+5,

.f>0,a<2时，OQZ随a的增大而减小，当a=l时最小OQ，=J$+5=§,

4\42

3l<a<4,.-.QG=PH=--a+2,PG=QH=a-1,.♦.点Q'(-工a+3,1-a),

22

■.■OQ'=yJOH2+Q^l2=1a+3|+(1-a)2=J|(a-2)2+5,•.|>0,a=2时，OQ'最小=下，

22

■.-0Q'=yl0H2+Q<H2=J*-|a|+(1-a)2=J|(a-2)2+5，；，a>2时，OQ'随a的增大而增大，

a=4时，OQ1最，bJ10,rJlO>3>5=，二。Q'最小值为•

【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，恒等式性质，二角形全等判定与性质，勾股定理，函数的最

值，分类思想的运用，掌握待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，

函数的最值，分类思想的运用是解题关键.

例6.(2023•河南新乡•统考一模)如图，在菱形ABCD中，/fi=45。，E、尸分别是边C。,8c上的动点，连

接AE、EF,G、7/分别为AE、EF的中点,连接G”.若GH的最小值为3,则8C的长为__________

____________D

DFC

【答案】6立

GH=-AF

【分析】连接4F,利用中位线的性质2,要使G”最小，只要AF最小，当AF/3C时，A尸最

小为6,由4=45°确定为等腰直角三角形，得出AE=3/=6,由勾股定理得：AB2=BF2+AF2^

出BC即可.

GH=-AF

【详解】解：连接AF,「G,H分别为AE,EF的中点，...G"〃AF,且2,

要使G"最小，只要4尸最小，当A尸时，AF最小，

•••G”的最小值为3,.♦・.=6,♦.•/3=45。，

.BF=AF=6,AB=^AF2+BF2=672,

四边形ABC。是菱形，...30=45=60.故答案为：6夜.

【点睛】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握

中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键.

例7.（2023•四川雅安•统考中考真题）如图，在」ABC中，ZC=90°,AC=BC=6.尸为边AB上一动点，

作PDJ.BC于点。，PE_LAC于点E,则DE的最小值为.

【答案】3正

【分析】连接CP,利用勾股定理列式求出4B,判断出四边形CDPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得

DE=CP,再根据垂线段最短可得CP时，线段DE的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方

程求解即可.

【详解】解：如图，连接”,

...ZC=90°,AC=BC=6,AB=^AC2+BC2=用+6?=6及

...PZUBC于点D,履，4°于点£,ZAC3=90。，...四边形CDPE是矩形，.ME=CP,

由垂线段最短可得CP,钻时，线段CP的值最小，此时线段。E的值最小,

5.=-AC-BC=~AB-CP6'6=-'6"CP

△AADfiCr22

此时,代入数据：22

...CP=30,...DE的最小值为3正，故答案为：3亚.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP'M时，线段OE的值

最小是解题的关键.

例8.（2023•安徽合肥•校考一模）如图，RtA4BC中，ZACB=90°,N8AC=60。，点。是边BC上一动点，

以点/为旋转中心，将A。顺时针旋转60。得到线段AE,连接CE,若AC=1,则CE的长的最小值为（）

C.1D.0

【分析】在AB上取一点K,使得AK=AC,连接CK,DK,然后证明出VEAC丝VDAK（SAS）,然后根据

垂线段最短得到当DK18C时，OK的值最小，最后利用30。角直角三角形的性质求解即可.

【详解】如图所示，在AB上取一点K,使得4K=AC,连接CK,DK,

A

E

■■ZACB=90°,ABAC=60°,,,ZEAD=ABAC=60°,ZB=30°,■_ZEAC=ZDAK,

^-：AE=AD,AC^AK,?VE4C^Vr>A^(SAS).CE=DK,..^DKIBC^,DK的值最小，

■..AC=AK^1,々=30。，ZACB=9Q°,...AB=2AC=2,

DK=-BK=-1

...BK=AB-AK=1,...22....CE的长的最小值为2.故选A

【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判断，垂线段最短，30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键

是熟练掌握以上知识点.

课后专项训练

1.（2021・四川广元•中考真题）如图，在口ABC中，ZACS=90°,AC=3C=4,点。是边的中点，点尸

是AC边上一个动点，连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形P。。，连接CQ.则CQ的最小值是

3

B.1C.V?D，2

【答案】B

【分析】以CD为边作等边三角形CDE,连接EQ,由题意易得4PDC=Z_QDE,PD=QD,进而可得4PCD三△QED,

则有NPCD=NQED=90。，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ1QE时，最后问题

可求解.

【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE,连接EQ,如图所示:

..]PDQ是等边二角形,./CED=Z.PDQ-Z.CDE—60°,PD=QD,CD=ED

,・2CDQ是公共角，.•ZPDC=4QDE,.-.△PCD=AQED(SAS),

...ZACB=90。，AC=BC=4,点D是3c边的中点，

CD=DE=CE=-BC=2

.■.ZPCD=ZQED=90°,2，，点Q是在QE所在直线上运动，

・••当CQ1QE时，CQ取的最小值，:/婀=90。-/皿=3。。，产=:故选B.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30。直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形

的性质、含30。直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键.

2.（2023上•福建厦门•九年级校考期中）如图，长方形ABCD中，AB=3,3C=4,E为8c上一点.且BE=1,

下为48边上的一个动点.连接EF,将△BEP绕着点£顺时针旋转45。到△HEG的位置，其中点3、点尸

的对应点分别为点H、点G,连接FG和CG,则CG的最小值为（）.

C.1+签D.而

【答案】C

【分析】如图，将线段8E绕点E顺时针旋转45。得到线段连接OE交CG于j.首先证明NEHG=90。，

推出点G的在射线H3上运动，推出当CG,HG时，CG的值最小，证明四边形是矩形，进一步推出

CJ=3CE=§④i।3近

JE=JD,则22,即可得到CG的最小值为2.

【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45。得到线段E",连接DE交CG于j.

四边形ABCD是矩形，...AB=CD=3,ZB=ZBCD=90°,

.；NBEH=NFEG=45°,NBEF=NHEG,

...EB=EH,EF=EG,1EBF知HEG（SAS）,.NB=NEHG=90。,

・••点G的在射线H3上运动，.•.当CG'HG时，CG的值最小，

•・BC=4,BE=1,CD=3.CE=CD=3-ZCED=ZBEH=45°

NHEJ=90。=NEHG=ZJGH=90°,；.四边形EHGJ是矩形，

■.DE//GH,GJ=HE=BE=1,；.CJLDE,；.JE=JD,

0s3五”cr夜i3应

CJ=——CE-----CG=CJ+GJ=1+-----1+-----

22,...2一・.CG的最小值为2.故选：c.

【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形得到动点运动的轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

3.（2023上•江苏扬州•九年级校联考期中）如图，正方形ABCD的边长为4,点E是正方形对角线8。所在

直线上的一个动点，连接AE,以4E为斜边作等腰R/QAEF（点A,E,尸按逆时针排序），则C尸长的最

小值为（）

C.4D.2

【答案】D

【分析】根据正方形的性质和题干给定的△但是以AE为斜边作等腰直角三角形，证明口GLAsQELE,得

GLAL

到五-五进一步证明尸得到G尸〃AB,由正方形的性质得点H为BC的中点，有点F在BC

的垂直平分线G”上运动，当点F与点H重合时，中的值最小.

【详解】解：连接AC交2。于点G,连接GP并延长交BC于点H,如图，

四边形ABCD是正方形，...Z/RC=90。，ZABD=45°,AB=CB=4,

•••△的是以AE为斜边作等腰直角三角形，.♦.AF=EB,ZAFE=90°,ZFAE=ZFEA=45°,

GLALGLFL

..BD±AC,..ZAGL=ZEFL^90°,■■ZALG^ZELF,..UGLA^QFLE,...~FL~^L,则就一标，

...ZGLF=ZALE,...]GLF□□ALE,ZLGFZLAE=45°,

...4GF=ZABD,则G/〃AB,...NG"C=ZABC=90。，

•・•点G为正方形MCD对角线的交点，.••点H为8c的中点，，点F在BC的垂直平分线GH上运动，

CF=CH=—BC=2

..WG",...当点F与点H重合时，CF的值最小，此时2

即B长的最小值为2.故答案选：D.

【点睛】此题考查正方形的性质、相似二角形的判定与性质、平行线的判定与性质和垂线段最短，利用相

似的边长比证明对应三角形边长的相似比，并找到点的运动轨迹是解题的关键.

4.（2023上•河北保定•九年级校考期中）如图，在Rt^ABC中，ZBAC=9Q°,且A5=6,AC=8,点。是

斜边8C上的一个动点，过点。分别作DM」A3于点M,DNLAC于HN,连接MN,点。为的中点，

则线段A0的最小值为（）

A.4.8B.5C.2.4D.3.6

【答案】c

【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DM4N是矩形，可得=根据垂线段最短可得当

AD工3c时，的值最小，再利用三角形面积求出AD,可得A0,即可解决问题.

【详解】解：如图，连接A。,

vZa4C=90°,且AB=6,AC=8,BC=VBA2+AC2=V62+82=10,

DMLAB,DN.LAC,ZDMA=ZDNA=ZBAC=90°,

,AO=-AD

二.四边形DM4N是矩形，.•.MN=A。，2，，当AO/BC时，AD的值最小,

11,八ABAC6x8,0

S[]ABC=-ABAC=-BCADAD=-----------=——=4.8

此时,22BC10，二AO的最小值为24,故选：c.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对

角线相等.

5.（2023上•山西临汾•九年级统考期中）如图，在口相。中，AB=BC=10,AC=12,点O,E分别是AB,

8c边上的动点，连结。E,F,/分别是A。，DE的中点，则的最小值为（）

A.12B.10C.9.6D.4.8

【答案】D

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质.连接的，作于点H.由

FM=-AE

三角形中位线的性质得2,由垂线段最短可知当AE最小，即点E与点H重合时府的值最小，然

后利用勾股定理求出AH的长即可.

【详解】解：连接AE,作W3C于点H.

FM=-AE

•••点，?分别是"，3c边上的动点，是VAOE的中位线，二2

.•.当AE最小，即点E与点H重合时府的值最小.设BH=X,则S=10T,

..102-X2=122-(10-X)2^^=2.8,...AH=7102-2.82=9.6,FM的最小值为4.8.故选D.

6.(2023上•广东广州•九年级校考期中)如图，正方形ABCD的边长为4,=30。，点E是直线CM上

一个动点，连接8E,线段3E绕点3顺时针旋转45。得到8F,则线段。厂长度的最小值等于()

C.2A/6-2A/3D.276-73

【答案】B

【分析】连接2°,在2。上截取BG,使BG=BC,连接