第21章 一元二次方程 综合复习题 人教版数学九年级上册 （含答案解析）

第21章一元二次方程一、单选题1．（2023上·山东聊城·九年级校联考期末）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·山东聊城·九年级统考期末）如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（

）A． B．3 C． D．不存在3．（2023上·山东济南·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于（

）A． B．0 C．1 D．1或者4．（2023上·山东聊城·九年级统考期末）小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：①；②；③；④；⑤；⑥．小明的解答从第______步开始出错．A．① B．③ C．④ D．⑤5．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）用配方法解方程，配方后的方程是（）A． B． C． D．6．（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是(

)A．-1 B．0 C．1 D．27．（2023上·山东临沂·九年级统考期末）下列说法正确的是（

）A．方程的解是 B．方程的两个实数根之积为C．方程的两个根是、 D．一元二次方程有两个实数根8．（2023上·山东青岛·九年级统考期末）国家统计局发布报告显示，2019年我国单位能耗约为0.571吨标准煤/万元，而2021年我国单位能耗约为0.555吨标准煤/万元．设平均每年单位能耗降低率为x，则可列方程为（）A． B．C． D．9．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为2万件和2.88万件．若设该快递公司由8月份到10月份投递总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是（

）A． B．C． D．10．（2023上·山东菏泽·九年级校考期末）活动选在一块长米、宽米的矩形空地上，如图，空地被划分出个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为平方米，小路的宽应为多少米？设小路宽为米，则可列方程为（）A． B．C． D．二、填空题11．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是．12．（2023上·山东德州·九年级统考期末）用公式法解方程，其中．13．（2023上·山东菏泽·九年级统考期末）方程的解是．14．（2023上·山东菏泽·九年级统考期末）一元二次方程的两个根为，，则的值为．15．（2023上·山东德州·九年级统考期末）某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，则比赛组织者应邀请个队参赛．16．（2023上·山东青岛·九年级统考期末）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由去年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，且去年房价在9月份、10月份、11月份、12月份的下降率保持一致，则去年12月份的房价单价为每平方米元．17．（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）2020年某市政府投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2022年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为．三、问答题18．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）已知m是方程的解，求式子的值．19．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）根据要求解下列方程．(1)用配方法解方程：．(2)用公式法解方程．．20．（2023上·山东菏泽·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程没有实数根，求k的取值范围．21．（2023上·山东青岛·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．(1)若该方程的一个根为，求实数的值；(2)若该方程有实数根，求实数的取值范围．22．（2023上·山东德州·九年级统考期末）解方程(1)；(2)．23．（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值：(1)；(2)24．（2023上·山东聊城·九年级统考期末）如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为，，现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地，若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽．

25．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加2人，每人的单价就降低20元（每人单价不能低于580元）．(1)若某个旅行团的人数为x人，则每人的单价应为______元；(2)请你帮助算一下，当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？26．（2023上·山东济南·九年级统考期末）济南市响应“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟修建一矩形绿地，绿地一边靠墙，可利用的墙长不超过18米，另外三边由36米长的栅栏围成，已知矩形的面积是160平方米，求矩形的边长，的长度．四、证明题27．（2023上·山东潍坊·九年级统考期末）已知k为实数，关于x的方程为．(1)请证明不论k取何值，这个方程总有两个根；(2)若方程的两个根分别记为，，且满足，求k值．参考答案：1．C【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可．【详解】解：①满足概念，是一元二次方程；②满足概念，是一元二次方程；③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程；④满足概念，是一元二次方程；⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程；⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程；一元二次方程有①②④，故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．2．C【分析】利用一元二次方程定义可得，且，再解出m的值即可．【详解】由题意得：，解得：，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．3．A【分析】根据一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，将代入方程可得，根据二次项系数不为0，可得，进而即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，∴，，∴，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，解题的关键是注意二次项系数不能等于0．4．D【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤逐步判断即可．【详解】解：故第⑤步开始出错．故选D．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．5．C【分析】把方程左边化为完全平方公式的形式即可得出结论．【详解】解：原方程可化为，即．故选：C．【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记完全平方公式．6．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，根据，即可求解．【详解】解：设另一个根为，依题意，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．7．B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根的判别式，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.方程，即，解是或，故该选项不正确，不符合题意；B.方程的两个实数根之积为，故该选项正确，符合题意；C.方程，即，则方程的两个根为，故该选项不正确，不符合题意；D.一元二次方程中，，∴原方程没有实数根，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．8．A【分析】利用增长率的问题可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．C【分析】根据题意列出等量关系：10月份投递总件数=8月份投递总件数月平均增长率月平均增长率，即可解出此题．【详解】解：根据10月份投递总件数=8月份投递总件数月平均增长率月平均增长率，可得方程：故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．10．A【分析】根据图形可知6个矩形的面积和等于长为米，宽为米的矩形的面积，据此列出一元二次方程即可求解．【详解】解：设小路宽为米，根据题意得，，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．11．【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于的方程，解方程即可．【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，，，即，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练记忆一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解题的关键．12．8【分析】根据方程得出a，b，c的值，即可求出．【详解】解：根据题意可得：，∴，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了求一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程得出二次项系数，一次项系数和常数项．13．，【分析】利用因式分解法解此一元二次方程即可．【详解】解：分解因式得：，或，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．14．【分析】根据一元二次方程的根的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，∴，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．15．5【分析】设比赛组织者应邀请个队参赛，则每个队参加场比赛，共有场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案．【详解】解：∵赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，∴共场比赛．设比赛组织者应邀请队参赛，则由题意可列方程为．解得，（舍去），所以比赛组织者应邀请5队参赛．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解此题的要点在于可以把实际问题转换成数学问题．16．【分析】设房价的下降率为x，根据“商品房成交价由今年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，”列出方程，即可求解．【详解】解：设房价的下降率为x，根据题意得：，解得：，（舍去）∴房价的下降率为，∴12月份的房价单价为每平方米元．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．17．【分析】设每年市政府投资的增长率为x，根据到2022年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解．【详解】设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，得：．故答案为：．【点睛】主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．18．【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可．【详解】解：∵m是方程的解，∴，即：，∴．【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键．19．(1)，(2)，【详解】（1）解：移项得，．配方得，，，，原方程的解为，．（2）解：，，，，方程有两个不相等的实数根，，即，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用不同的方法解一元二次方程是解题的关键．20．【分析】利用根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵方程没有实数根，∴，∴【点睛】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，解答的关键是明确根的判别式：时，方程没有实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根．21．(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程的根的定义将代入中进行求解即可；（2）根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】（1）解：将代入，得：，解得：，∴实数的值为；（2）解：∵方程有实数根，∴，解得：，∴实数的取值范围为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．22．(1)；(2)．【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可．【详解】（1）解：，

，或，∴，，（2），∵，，，∴，则方程有两个不相等实数根，∴，∴，，【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．23．(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解．（2）根据完全平方公式变形，即可求解．【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根∴，∴，（2）解：∵，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．24．新的矩形绿地的长为，宽为．【分析】设绿地的长、宽增加的长度为，然后根据扩充后的矩形绿地面积为，列出方程求解即可．【详解】解：设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），，.答：新的矩形绿地的长为，宽为.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．25．(1)(2)当一个旅行团的人数是52人时，可以获得最大的营业额，最大的营业额为元．【分析】（1）直接根据题意列代数式即可；（2）设一个旅行团的人数是x人，营业额是y元，根据条件：30人起组团，分情况取最