2023年小学奥数知识点归纳和总结

小学奥数知识点归纳和总结

二年级奥数知识点分类:

-、运算符号类

二、规律填数类

三、规律画图类

四、年龄问题类

五、间隔问题类（含值树问题及智力计数）

六、周期问题类

七、有序思索类

八、时钟问题类

九、推理及思维训练类（包括算式类）

十、和差问题类

十一、和倍问题类

十二、差倍问题类

十三、一笔画类

十四、移动变换类

十五、智力趣味类（包括巧切西瓜）

十六、鸡兔同笼类

十七、盈亏问题类

十八、应用类（含数量关系、重叠问题、）

三年级奥数知识点分类：

一、计算类

计算是数学学习口勺基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准时算出答案，是历年

数学竞赛考察的一种基本点。三年级日勺计算包括：速算与巧算、数列规律、数列求和、等

差数列的和等。

二、应用题类

从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们

一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。（1）和倍、差倍问题：

用线段标识等措施揭示这两类问题中多种数量关系，和倍问题：小数=和：（倍数+1）,

三、差倍问题：

小数=差+（倍数-1）

（2）年龄问题：

专家处理年龄问题U勺重要措施：和倍、差倍措施;画图线段标示法。

（3）盈亏问题：

简介盈亏问题的重要形式（双盈、双亏、一盈一亏）

分派总人数=盈亏总额+两次分派数之差。

（4）植树问题：

总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：总长=株距X段数，封闭图形：棵数=段

数不封闭图形：

两头都栽：棵数=段数+1两头都不栽：棵数=段数-1一头栽一头不栽：棵数=段数

⑸鸡兔同笼问题:

简介鸡兔同笼问题H勺由来和重要形式，揭示鸡兔同笼问题中日勺数量关系，假设法

⑹行程问题：

相遇问题、追及问题等，相遇时间=总旅程♦速度和，追及时间=距离+速度差。

(7)周期问题

(8)还原问题

(9)归一问题

(10)体育比赛中的数学、趣题巧解几何类

三年级学校的学习中就会波及到某些简朴的图形求周K和面积了，那么在奥数中图形问题

波及到的是巧求周长、巧求矩形面积数论类

目前三年级也开始波及到了数论了，是比较简朴的能被2、3、5整除的性质、奇数和偶

数、余数与周期问题。

四年级奥数知识点分类：

1.圆周率常取数据

3.14X1=3.14

3.14X2=6.28

3.14X3=9.42

3.14X4=12.56

3.14X5=15.7

3.15X6=18.84

3.14X7=21.98

3.14X8=25.12

1立方米=27立方尺=1.308立方码=35.3147立方英尺

1吨=1000公斤=100。千克

1公斤=1000克=2斤（市制）=2.2046磅

5.加减法运算性质：

同级运算时，假如互换数的I位置，应注意符号搬家。加、去括号时要注意如下几

点：括号前面是加号，去掉括号不变号：加号背面添括号，括号里面不变号；括号前面是

减号，去掉括号要变号；减号背面添括号，括号里面要变号。

6.乘除法运算性质

乘法中性质：（1）乘法互换律（2）乘法结合律（3）乘法分派律（4）乘法性质

（5）积的变化规律：一扩一缩法。

除法中性质：当被除数为几种数字之和或者差时才可以用除法分派律积的变化规

律：同扩同缩法。同级运算时，假如有互换数的位置，应当注意符号搬家。力口、去括号时

注意如下几点：括号前面是乘号，去掉或加上括号不变号；括号前面是除号，去掉或加上

括号要变号；

7.等差数列

数列是指按一定规律次序排列成一列数。假如一种数列中从第二个数开始，相邻两

个数II勺差都相等，我们就把这样II勺一列数叫做等差数列，等差数列中"勺每一种数都叫做

项，第一种数叫第一项，一般也叫“首项”，第二个数叫第二项，第三个数叫第三项……

最终一项叫做“末项”。等差数列中相邻两项的差叫做“公差”，等差数列中项的个数叫

做“项数”。公式：和二（首项+末项）X项数+2项数二（末项-首项）+公差+1第n项:

首项+（n-1）义公差

8.和倍问题

己知几种数口勺和及这几种数之间H勺倍数关系，求这几种数的应用题叫和倍问题。解

答和倍问题，一般是先确定较小的数为原则数（或称一倍数），再根据其他几种数与较小

数的倍数关系，确定总和相称于原则数的多少倍，然后用除法求出原则数，再求出其他各

数，最佳采用画线段图的措施。和倍公式：和+（倍数+1）=小数

9.差倍问题

已知两个数日勺差及它们之间的倍数关系，求这两个数的应用题叫差倍问题。解答差

倍问题，一般以较小数作为原则数（•倍数），再根据大小两数之间的倍数关系，确定差

是原则数的多少倍，然后用除法先求出较小数，再求出或大数。解答此类问题，先画线段

图，协助分析数量关系。差倍公式：差+（倍数一1）二小数

10.和差问题

和差问题是根据大小两个数的和与两个数H勺差求大小两个数各是多少的应用题。解

答和差问题的I基本公式是：（和一差）・2二较小数（和+差）+2=较大数九、

11.年龄问题

己知两个人或几种人I月年龄，求他们年龄之间的某种数量关系；或己知某些人年龄

之间U勺数量关系，求他们U勺年龄等，这种题称为年龄问题。年龄问题的特点是：一般用和

差或者和倍问题的措施解答。（1）两人的年龄之差是不变的，称为定差。（2）两个人U勺

年龄同步都增长同样的数量。（3）两个年龄之间的倍数关系，伴随年龄的增长，也在发牛.

变化。年龄问题的解题措施是：几年后二大小年龄之差♦倍数差一小年龄几年前二小年龄一

大小年龄差♦倍数差

12.平均数

求平均数必须懂得总数和份数，常用公式：平均数=总数+份数总数=平均数X份数

份数=总数+平均数相遇问题行程问题又分为相遇问题、

13.相遇与追及问题

旅程=速度X时间时间=旅程+速度速度=旅程+时间。

相遇问题它的I特点是两个运动物体或人，同步或不一样步从两地相向而行，或同步

同地相背而行，要解答相遇问题，掌握如卜数量关系：

速度和X相遇时间=旅程旅程4•速度和=相遇时间速度+相遇时间=速度和

追及问题运动的物体或人同向而不•样步出发，后出发的速度快，通过•段时间追

上先出发的，这样H勺问题叫做追及问题，解答追及问题的基本条件是“追及旅程”和“速

度差”。追及问题的基本数量关系是：

追及时间;追及旅程♦速度差追及旅程;速度差X追及时间速度差=追及旅程

+追及时间

14.行船问题

船在江河里航行，前进日勺速度与水流动的I速度有关系。船在流水中行程问题，叫做行

船问题（也叫流水问题），船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是：

顺水速度=船速+水速逆水速度=船速一水速

由于顺水速度是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此行船问题就是和

差问题，因此解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。

船速=（顺水速度+逆水速度）:2水速=（顺水速度一逆水速度）4-2

由于行船问题也是行程问题，因此在行船问题中也反应了行程问题的旅程、速度与时

间的关系。

顺水旅程=顺水速度X时间逆水旅程=逆水速度X时间

15.过桥问题

过桥问题口勺一般数量关系是：

旅程=桥长+车长车速=（桥长+车长）子通过时间通过时间=（桥长+车长）+车

速车长=车速X通过时间一桥长桥长=车速X通过时间一车长

16.植树问题

在首尾不相接日勺路线上植树，段数与棵数关系可分为三类：

（1）两端都种树段数=棵数一1（2）一端种一端不种段数=棵数（3）两端都不种段数

=棵数十1（4）在首尾相接H勺路线上种树（如圆、正方形、闭合曲线等）段数=棵数

17.还原问题

还原问题又叫逆推问题。已知一种数H勺成果，再通过逆运算反求原数，叫做还原问

题。处理此类题要从成果出发，逐渐向前一步一步推理，每一步运算都是本来运算的逆运

算（即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘）。

18.方阵问题

诸多的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据己知条件求总人数，此类

题叫方阵问题。在处理方阵问题时，要弄清方阵中某些量（如层数，最外层人数，最里层

人数，总人数）之间的关系。方阵问题的基本特点是：

（1）方阵不管在哪一层，每边的人数都相似，每向里面一层，每边上的人数减少2,

每一层就少8。

（2）每层人数=（每边人数一1）X4

（3）每边人数=每层人数+4+1

（4）实心方阵人数=每边人数X每边人数

19.幻方与数阵

幻方H勺特点：一种幻方每行、每列、每条对角线上的几种数日勺和都相等。这相相等的

和叫“幻和”。

两种措施：

奇阶：1、九子排列法2、罗伯法，3、巴舍法。

偶阶：1、对称互换法2、圆心方阵法。数阵有三种基本类型：（1）封闭型，（2）辐

射型（3）综合型解数阵问题•般思绪是从和相等入手，确定重处长使用的中心数，是解答

解数阵类型题的解题关键，•般答案不唯%

20.奇数与偶数

加法：偶数+偶数=偶数奇数+奇数=偶数偶数+奇数=奇数

减法：偶数一偶数=偶数奇数一奇数=偶数偶数一奇数=奇数

乘法：偶数义偶数=偶数奇数X奇数=奇数偶数X奇数=偶数盈亏问题解

21.盈亏问题

一般是比较法和对应法结合使用。公式是：（同盈同亏用减法，一亏一盈用加法）

即：两次分派成果差・两次分派数差=人数

22.牛吃草问题

牛吃草问题波及三种数量：A.原有的草。B.新长出时草。C.牛吃掉的草。

牛吃草问题解法一般分为三步：一、求每天新生的草量；二、求原有草量；三、求出

最终的问题。（类似于行程问题中II勺追及问题）

23.还原问题

解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是做同本来相反的运算，本来加H勺，

运算时用减；本来减的I,运算时用加：本来乘时，运算时用除；本来除口勺，运算时用乘。

24.假设问题

假设法是解答应用题时常常用到H勺一种措施。所谓“假设法”就是依据题目中的己知

条件或结论作出某种设想，然后按照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再合适

调整，从而找到对的答案。

25.余数问题

一•种带余数除法算式包括4个数：被除数♦除数=商””余数。它们的J关系也可表达

为：被除数=除数X商十余数，或（被除数一余数）+除数=商。

26.•笔画和多笔画

（1）但凡由偶点构成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最终能

以这个点为终点画完此图，

（2）但凡只有两个奇点［其他均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一种

奇点为起点，另一种奇点为终点。

（3）多笔画定理有2n（n>l）个奇点I向连通图形，可以用n笔画完（彼此无公共线），

并且至少要n次画完.

27.抽屉原理

抽屉原则一：把n+1（或更多）个苹果放到n个抽屉里，那么至少有一种抽屉里有两个或

两个以上的苹果。

抽屉原则二：把（mXn+1）个（或更多种）苹果放进n个抽屉里，必须一种抽屉里有

（m+1）个（或更多U勺）苹果。

阐明：应用抽屉原则解题，要从最坏H勺状况去思索

28.分解因式把一种合数写成几种质数相乘的形式，叫做分解质因数。一种自然数的约数的

个数，恰为各个质因数的指数加1后的乘积。一种数的完全平方数，各个质因数H勺个数，

恰好是平方前这个数各个质因数个数的2倍。一种完全平方数各个质因数的个数都是偶

数。

29.最大公约数与最小公倍数

求两个数口勺最大公约数一般有三种措施：（1）分解质因数法（2）短除法（3）辗转相除

法

30.分数的比较

分母相似日勺分数比较大小，分子大的分数比较大。分子相似的分数比较大小，分母大的分

数反而小。分子和分母都不相似的I分数比较大小，可以把它们转化成分母相似的分数比较

大小；也可以把它们转化成分子相似口勺分数比较大小。

性质：

1.一种真分数的分子和分母都加上同一种自然数，所得的新分数比原分数大。

2.一种真分数日勺分子、分母都减去同一种自然数（这个自然数不不小于真分数的分子），

所得的新分数比原分数小。

3.一种假分数日勺分子、分母都减去同一种自然数（这个自然数不不小于假分数分母），所

得的新分数比原分数大。

4.一种假分数的分子、分母都加上同一种自然数，所得的新分数比原分数小。

31.剪纸问题

公式：2对折后剪的次数+1=段数。

32.最大最小

1、解答最大最小日勺问题，可以进行枚举比较。在有限的状况下，通过计算，将所有状况日勺

成果列举出来，然后比较出最大值或最小值。

2、运用规律。（1）两个数日勺和一定，则它们的差越靠近，乘积越大；当它们相等（差为

0）时，乘积最大。

3、考虑极端状况。如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联络实际考虑问

题”等。

33.比较大小

估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对杲个数或算式进行合适的I“放大”或“缩

小”，确定它的取值范围，再根据其他条件得出成果，调整放缩幅度日勺措施有两条：一是

分组（分段），并尽量使每组所对应的原则相似：另一种措施是按近似数乘除法计算法

则，比规定的精确度多保留一位，进行计算。

34.钟表问题

解答钟表问题，我们首先想措施把有些能转化成相遇或追及问题日勺转化为相遇或追及问题

来解答。需记住如下常用数据：钟表上有12大格，60小格，每大格30度，每小格6

度。，分针每分钟走：6度；时针每分钟走：0.5度；速度差：5.5度2解答钟表上的时间

快慢问题，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多少个单位时间，就

可以求出这一时间段内的误差。

35.分数应用题的计算

解答较复杂的分数应用题，一定要找准单位“1”，假如单位“1”11勺量是变化U勺，就要从

题目中找出不变II勺量，把不变的量看作单位“1”，将己知条件进行转化，找出所求数量相

称于单位“1”的J几分之几，再列式解答。2还可以借助线段图来协助理解题意，列式解

答。3对较更杂H勺分数应用题，还可以列方程来解答。

36.利润问题

解答利润问题你必须理解如下的关系式。

（1）利润=卖价一成本

（2）利润的百分数=（卖价一成本）・成本X100%

（3）卖价=成本X（1+利润率）

（4）成本=卖价+（1+利润率）

（5）折扣=实际售价+原售价X100%（折扣VI）

（6）利息=本金X利率X时间

（7）税后利息=本金X利率X时间X（l—20%）

37.浓度问题

溶质的重量+溶剂E向重量=溶液日勺重量溶质H勺重量+溶液的重量X100%=浓度溶液

的重量X浓度=溶质的J重量

五年级奥数知识点分类：

1.和差倍问题

和差问题和倍问题差倍问题

已知条件：几种数的和与差几种数的和与倍数几种数的差与倍数

公式合用范围：已知两个数的和，差，倍数关系

公式：①（和-差）+2二较小数较小数+差=较大数和-较小数二较大数

②（和+差）+2=较大数较大数-差二较小数和-较大数=较小数

和+（倍数+1）=小数小数X倍数=大数和-小数=大数

差・（倍数T）=小数小数X倍数=大数小数+差=大数

关键问题：求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数

2.年龄问题的三个基本特性：

①两个人H勺年龄差是不变的J；

②两个人H勺年龄是同步增长或者同步减少的；

③两个人H勺年龄的J倍数是发生变化的；

3.归一问题的基本特点:

问题中有一种不变日勺量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样日勺速度”……等词

语来表达。

关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；

4.植树问题

基本类型：在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭日勺曲线上

植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上

植树

基本公式：棵数二段数+1

棵距X段数二总长棵数二段数T

棵距X段数二总长棵数二段数

棵距X段数二总长

关犍问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数I内关系

5.鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思绪：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙同样或者乙和甲同样）：

②假设后，发生了和题目条件不一样的差，找出这个差是多少；

③每个事物导致时差是固定H勺，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作合适口勺调整，消去出现欧I差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数二（兔脚数X总头数-总脚数）+（兔脚数-鸡脚

数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数二（总脚数一鸡脚数X总头数）-?（兔脚数一鸡脚

数）

关键问题：找出总量时差与单位量日勺差。

6.盈亏问题

基本概念：一定量的I对象，按照某种原则分组，产生一种成果：按照另一种原则分组，又

产生一种成果，由于分组的原则不一样，导致成果的差异，由它们的关系求对象分组的组

数或对象的总量。

基本思绪：先将两种分派方案进行比较，分析由于原则的差异导致成果的变化，根据这个

关系求出参与分派的总份数，然后根据题意求出对象的总量。

基本题型:

①一次有余数，另一次局限性;

基本公式：总份数=（余数+局限性数）+两次每份数的J差

②当两次均有余数；

基本公式：总份数二（较大余数一较小余数）:两次每份数日勺差

③当两次都局限性；

基本公式：总份数二（较大局限性数一较小局限性数）+两次每份数的差

基本特点：对象总量和总日勺组数是不变的。

关键问题：确定对象总量和总日勺组数。

7.牛吃草问题

基本思绪：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不•样的吃法，求出具中的总草量

的差;再找出导致这种差异日勺原因，即可确定草日勺生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：

生长量二（较长时间X长时间牛头数-较短时间又短时间牛头数）+（长时间-短

时间）；

总草量二较长时间X长时间牛头数-较长时间X生长量；

8.周期循环与数表规律

周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特性有规律循环出现。

周期：我们把持续两次出现所通过的时间叫周期。

关键问题：确定循环周期，

闰年：一年有366天;

①年份能被4整除;②假如年份能被100整除，则年份必须能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除;②假如年份能被100整除，但不能被400整除；

基本公式：①平均数=总数量+总份数

总数量=平均数X总份数

总份数=总数量4■平均数

②平均数=基准数+每一种数与基准数差时和+总份数

基本算法：

①求出总数量以及总份数，运用基本公式①进行计算。

②基准数法：根据给出日勺数之间日勺关系，确定•种基准数；•般选与所有数比较

靠近的,数或者中间数为基准数；以基准数为原则，求所有给出数与基准数的差；再求出所有

差日勺和；再求出这些差的平均数；最终求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均

数，详细关系见基本公式②。

10.抽屉原理

抽屉原则一：假如把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一种抽屉中至少放有2个物

体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有如

下四种状况：

①4=4+0+0②43+1+0③4=2+2+0@4=2+1+1

观测上面四种放物体的方式，我们会发现一种共同特点：总有那么一种抽屉里有

2个或多于2个物体，也就是说必有一种抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：假如把n个物体放在m个抽屉里，其中n》m,那么必有一种抽屉至少有：

①k二[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。

②女二门/田个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：[X]表达不超过X的最大整数。

例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉H勺量，而后根据抽屉原则进行运

算

11.定义新运算

基本概念：定义•种新的运算符号，这个新的运算符号包具々多种基本（混合）运算。

基本思绪：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除日勺运算，然后

按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：对的理解定义时运算符号的意义。

注意事项：①新日勺运算不•定符合运算规律，尤其注意运算次序。

②个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12.等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的J,这样的一列数，就叫做等差数

列。

基本概念：首项：等差数列的第一种数，一般用al表达；

项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表达；

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表达；

通项：表达数列中每一种数的公式，一般用an表达；

数列的和：这一数列所有数字的和，一般用Sn表达。

基本思绪：等差数列中波及五个量：al,an,d,n,sn,,通项公式中波及四个量，假

如己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中波及四个量，假如己知其中三个，就可以求

这第四个。

基本公式：通项公式：an=al+(n-l)d;

通项=首项+(项数一1)X公差；

数列和公式：sn,=(al+an)Xn-r2;

数列和二(首项+末项)X项数+2;

项数公式：n=(an+al)-rd+1;

项数二(末项-首项)+公差+1；

公差公式：d=(an-al))4-(n-l);

公差二(末项-首项)+(项数T);

关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

13.二进制及其应用

十进制：用。〜9十个数字表达，逢10进1;不一样数位上的数字表达不一样的含义，十位

上的2表达20,百位上的2表达200。因此234=200+30+4=2X102+3X10+4。

=AnX10n-l+An-lX10n-2+An-2X10n-3+An-3X10n-4+/\n-4X10n-5+An-6X10n-

7+...+A3X102+A2X101+A1X100

注意：NO=1;N1=N(其中N是任意自然数)

二进制：用0〜1两个数字表达，逢2进1;不一样数位上的数字表达不一样的含义。

(2)=AnX2n-1+An-1X2n-2+An-2X2n-3+An-3X2n-4+An-4X2n-5+An-6X2n-7

+A3X22+A2X21+A1X20

注意：An不是。就是1。

十进制化成二进制：

①根据二进制满2进1H勺特点，用2持续清除这个数，直到商为0,然后把每次

所得的余数按自下而上依次写出即可。

②先找出不不小于该数日勺2时n次方，再求它们的差，再找不不小于这个差的2

的n次方，依此措施一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。

14.加法乘法原理和几何计数

加法原理：假如完毕一件任务有n类措施，在第一类措施中有ml种不一样措施，在第二类

措施中杓m2种不一样措施……，在第n类措施中杓mn种不一样措施，那么完毕这件任务

共有：ml+m2,o..o..+mn种不一样日勺措施。

关键问题：确定工作的分类措施。

基本特性：每一种措施都可完毕任务。

乘法原理：假如完毕一件任务需要提成n个环节进行，做第1步有ml种措施，不管第1步

用哪一种措施，第2步总有m2种措施……不管前面步用哪种措施，第n步总有mn种

措施，那么完毕这件任务共有：mlXm2.o..o..Xmn种不一样的措施。

关键问题：确定工作的完毕环节。

基本特性：每一步只能完毕任务的一部分。

直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

直线特点：没有端点，没有长度。

线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

线段特点：有两个端点，有长度。

射线：把直线打勺一端无限延长。

射线特点：只有一种端点;没有长度。

①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数—1);

②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);

③数长方形规律：个数=长的线段数X宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1乂1+2乂2+3义3+・・・+行数乂列数

15.质数与合数

质数：一种数除了1和它自身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素

数。

合数：一种数除了1和它自身之外，尚有别R勺约数，这个数叫做合数。

质因数：假如某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数口勺质因数，

分解质因数：把一种数用质数相乘口勺形式表达出来，叫做分解质因数。一般用短

除法分解质因数。任何•种合数分解质因数的J成果是唯•的。

分解质因数的原则表达形式：N=,其中al、a2、a3……an都是合数N的J质因

数，且al《……《p》

求约数个数的公式：P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X……X(rn+1)

互质数：假如两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

16.约数与倍数

约数和倍数：若整数a可以被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

公约数：几种数公有的约数，叫做这几种数的公约数；其中最大的一种，叫做这

几种数的最大公约数。

最大公约数的性质：

1、几种数都除以它们的最大公约数，所得口勺几种商是互质数。

2、几种数口勺最大公约数都是这几种数的)约数。

3、几种数的公约数，都是这几种数的最大公约数日勺约数。

4、几种数都乘以一种自然数m,所得H勺积的最大公约数等于这几种数的最大公

约数乘以限

例如：12的约数有如2、3、4、6、12;

18日勺约数有：1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公约数有：1、2、3、6;

那么12和18最大的公约数是：6,记作(12,18)=6;

求最大公约数基本措施：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相似的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有日勺约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每•次都用除数和余数相除，可以整除的那个余数，就是所求

的最大公约数。

公倍数：几种数公有的倍数，叫做这几种数的公倍数；其中最小的一种，叫做这

几种数的最小公倍数。

12II勺倍数有：12、24、36、48……;

181付倍数有：18、36、54、72……;

那么12和18的公倍数有:36、72、108……;

那么12和18最小的公倍数是36,记作［12,18］那6;

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数日勺乘枳等于这两个数日勺乘积。

求最小公倍数基本措施：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的J措施

17.数H勺整除

一、基本概念和符号：

1、整除：假如一种整数a,除以一种自然数b,得到一种整数商c,并且没有余

数，那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。

2、常用符号：整除符号“I”,不能整除符号"“；由于符号"I’,因此的符

号“J”；

二、整除判断措施：

1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所构成时数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位日勺数字所构成日勺数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上数字所构成11勺数与末三位此前的数字所构成数之差能被7整除。

②逐次去掉最终一位数字并减去末位数字及I2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上数字所构成的数与末三位此前的数字所构成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和I内差能被11整除。

③逐次去掉最终一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上数字所构成日勺数与末三位此前日勺数字所构成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除H勺性质：

1.假如a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2.假如a能被3整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.假如a能被3整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.假如a能被3、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18.余数及其应用

基本概念：对任意自然数a、b、q、r,假如使得a+b=q.......r,且0《p》

余数的性质：

①余数不不小于除数。

②若a、b除以。口勺余数相似，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c日勺余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数附和除以c

的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以cW、J

余数。

19.余数、同余与周期

一、同余打勺定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相似，则称a、b对于模m同余。

②己知三个整数a、b、m,假如m|a-b,就称a、b对于模m同余，记作a三b

(modm),读作a同余于b模m。

二、同余H勺性质：

①自身性：a=a(modm);

②对称性：若a三b(modm),则b=a(modm);

③传递性：若a三b(modm),b=c(modm),则a三c(modm);

④和差性：若a=b(modm),c=d(modm)»则a+c=b+d(modm),arc三

b-d(modm);

⑤相乘性：若a三b(modm)»c=d(modm),贝UaXc三bXd(modm);

⑥乘方性：若a三b(modm),则an三bn(modm);

⑦同倍性：若a三b(modm),整数c,则aXc三bXc(modmXc);

三、有关乘方的预备知识：

①若A=aXb,fflM/\=MaXb=(Ma)b

②若B=c+d则M3=Mc+d=MeXUd

四、被3、9、11除后的余数特性：

①一种自然数M,n表达M的各个数位上数字的和，则M三n(mod9)或(mod

3);

②一种自然数M,X表达M的各个奇数位上数字的和，Y表达Ml对各个偶数数位上

数字的和，则M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod11);

五、费尔马小定理：假如P是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，

则apT三1(modp)。

20.分数与百分数日勺应用

基本概念与性质：

分数：把单位“1”平均提成几份，表达这样的一份或几份口勺数。

分数的I性质：分数的分子和分母同步乘以或除以相似口勺数（0除外），分数的J大

小不变。

分数单位：把单位“1”平均提成几份，表达这样一份日勺数。

百分数：表达一种数是另一种数百分之几欧I数。

常用措施：

①逆向思维措施：从题目提供条件的反方向（或成果）进行思索。

②对应思维措施：找出题目中详细的量与它所占日勺率的直接对应关系。

③转化思维措施：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换

成比例和转换成倍数关系;把不一样的原则（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成

同一条件下的分率。常见的处理措施是确定不•样的I原则为一倍量。

④假设思维措施：为理解题时以便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假

设某种状况成立，计算出对应的成果，然后再进行调整，求出最终成果。

⑤量不变思维措施：在变化的各个量当中，总有一种量是不变的，不管其他量怎

样变化，而这个量是一直固定不变的。有如下三种状况：A、分量发生变化，总量不变。

B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量

不变化。

⑥替代思维措施：用一种量替代另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明

朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化日勺规律进行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的I状况。

21.分数大小的J比较

基本措施：

①通分分子法：使所有分数的分子相似，根据同分子分数大小和分母的关系比

较。

②通分分母法：使所有分数的分母相似，根据同分母分数大小和分子的关系比

较。

⑤基准数法：确定•种原则，使所的的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母日勺差一定期，分子或分母越大的分数值

越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同步变化时分数的大小，除了运用以上措

施外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（详细运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较措施：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

⑦倍数比较法：用一种数除以另一种数，成果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：用一种分数减去另一种分数，得出的数和0比较。

⑨倒数比较法：运用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

⑩基准数比较法：确定一种基准数，每一种数与基准数比较。

22.分数拆分

一、将一种分数单位分解成两个分数之和的公式：

①=+；

②=+（d为自然数）；

23.完全平方数

完全平方数特性：

1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余。或余1;反之不成立。

3.除以4余。或余1;反之不成立。

4.约数个数为奇数;反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

7.两个相临整数日勺平方之间不也许再有平方数。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24.比和比例

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号背面的数叫比

的后项。

比值：比U勺前项除后来项的商，叫做比值。

比的性质：比的前项和后项同步乘以或除以相似的数（零除外），比值不变，

比例：表达两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性质：两个外项积等于两个内项积（交叉相乘），ad二be。

正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与

B成正比。

反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（ABH勺积不变时），则A与

B成反比。

比例尺：图上距离与实际距离口勺比叫做比例尺。

按比例分派：把几种数按一定比例提成几份，叫按比例分派。

25.综合行程

基本概念：行程问题是研究物体运动欧J,它研究的是物体速度、时间、旅程三者

之间的关系。

基本公式：旅程;速度义时间;旅程彳时间二速度;旅程小速度二时间

关键问题：确定运动过程中H勺位置和方向。

相遇问题：速度和X相遇时间;相遇旅程（请写出其他公式）

追及问题：追及时间;旅程差+速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程:（船速+水速）X顺水时间

逆水行程;（船速-水速）X逆水时间

顺水速度:船速+水速

逆水速度二船速-水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）+2

水速二（顺水速度-逆水速度）4-2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的旅程，参照以上公式。

重要措施：画线段图法

基本题型：已知旅程（相遇旅程、追及旅程）、时间（相遇时间、追及时间）、

速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。

26.工程问题

基本公式：

①工作总量=工作效率X工作时间

②工作效率=工作总量+工作时间

③工作时间=工作总量+工作效率

基本思绪：

①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；

②假设一种以便时数为工作总量（一般是它们完毕工作总量所用时间的最小公倍

数），运用上述三个基本关系，可以简朴地表达出工作效率及工作时间。

关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间日勺两两对应关系。

经验简评：合久必分，分久必合。

27.逻辑推理

基本措施简介：

①条件分析一假设法：假设也许状况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，

假如有与题设条件矛盾欧I状况，阐明该假设状况是不成立的，那么与他II勺相反状况是成立

的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。

②条件分析一列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完毕时，就需要进

行列表来辅助分析。列表法就是把题设的I条件所有表达在一种长方形表格中，表格的行、

列分别表达不一样口勺对象与状况，观测表格内的题设状况，运用逻辑规律进行判断。

③条件分析一一图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表达两个

对象之间欧I关系，有连线则表达“是，有”等肯定H勺状态，没有连线则表达否认的状态。

例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表达认识，没有表达不认识。

④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行对应时

计算，根据计算H勺成果为推理提供一种新的判断筛选条件。

⑤简朴归纳与推埋：根据题目提供的特性和数据，分析具中存在H勺规律和措施，

并从特殊状况推广到一般状况，并递推出有关的关系式，从而得到问题日勺处理。

28.几何面枳

基本思绪：

在某些面积的I计算上，不能直接运用公式H勺状况下，•般需要对图形进行割补，

平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算;此外

需要掌握和记忆某些常规的面积规律。

常用措施：

1.连辅助线措施

2.运用等底等高的两个三角形面积相等。

3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特

殊位置上）。

4.运用特殊规律

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等

腰直角三角形口勺面积）

②梯形对角线连线后，两腰部分面枳相等。

③圆口勺面积占外接正方形面积口勺78.5%o

29.立体图形

名称图形特性表面积体积

长方体8个顶点；6个面；相对日勺面相等；12条楂；相对H勺棱相等；S=2

（ab+ah+bh）V=abh=Sh

正方体8个顶,也;6个面；所的面相等；12条棱:所有棱相等；S=6a2V=a3

圆柱体上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；S=S侧+2S底

Sft（=ChV=Sh

圆锥体下底是圆；只有一种顶点；1：母线，顶点究竟圆周上任意一点的距离；

S=S侧+S底

Sffi]=rlV=Sh

球体圆心到圆周上任意一点的距离是球U勺半径。S=4r2V=r3

30.时钟问题一快慢表问题

基本思绪：

1、