第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末题型大总结（解析版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换章末题型大总结题型01求向量的数量积解题锦囊解题锦囊求数列最大(小)项的方法（1）定义法：根据向量的模与夹角计算求解；（2）基向量法：将求数量积的向量用已知模或夹角的向量线性表示，再根据数量积的运算律求解；（3）坐标法：根据图像特点，建立直角坐标系，结合数量积的坐标运算求解.【典例1】（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长是4，是的中点，满足，则（

）A．10 B．20 C．22 D．25【答案】B【分析】由平面向量的坐标表示、结合向量的数量积运算即可求解.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则，，则，，所以．故选：B．【变式1】（24-25高三上·河南·阶段练习）如图，在中，已知为中点，则（

）A． B． C． D．7【答案】C【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算得解.【详解】在中，由为中点，得，所以.故选：C【变式2】（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）如图所示，两个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，则.【答案】12【分析】利用平面向量的线性运算用表示，再进行数量积运算即可.【详解】依题意，因为三角形是等边三角形，.故答案为：12.【变式3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）正方形的边长为为边的中点，为边上一点，且，则.【答案】/2.5【分析】利用勾股定理得到，然后根据数量积的几何意义得到在上的投影的数量等于，从而得到，然后利用三角函数得到，最后利用勾股定理计算即可.【详解】正方形的边长为2，点为边的中点，，，在上的投影的数量为.所以，所以，所以，所以，所以，所以，.故答案为：.【变式4】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算即得.【详解】在中，点在线段上，且，则，，而，因此，即，所以.故选：A题型02求向量的投影向量解题锦囊解题锦囊已知非零平面向量，向量是与同向的单位向量，则向量在上的投影向量：【典例2】（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用投影向量公式计算即可.【详解】因为，，所以在上的投影向量为故选：C.【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出向量的单位向量，然后利用投影向量公式求解即可.【详解】设向量是与同向的单位向量，则，则向量在方向上的投影向量为.故选：D【变式2】（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】利用投影向量的定义可得，代入坐标计算可求得.【详解】向量在方向上的投影向量为，所以，解得.故选：A.【变式3】（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（

）A．2 B．0 C． D．【答案】C【分析】由向量在向量上的投影向量是得出，再由可得答案.【详解】因为向量在向量上的投影向量是，所以，化简得，因为，所以，解得.故选：C,【变式4】（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据投影向量的定义求解.【详解】由已知，在方向上的投影向量为.故选：A．【变式5】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过作于，利用向量数量积的定义及投影向量的意义求解即得.【详解】在直角梯形中，且，过作于，则，故，从而.因此，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C题型03向量的夹角问题解题锦囊解题锦囊（1）向量的夹角：利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.（2）两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线；【典例3】（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，，满足，，则（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】根据单位向量定义将等式平方可得，再由夹角公式计算可得结果【详解】由题意，，由得，即，所以，设与的夹角为，所以，又，所以.故选：C【变式1】（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）设向量，，则与夹角的余弦值为（）A．0 B． C． D．1【答案】B【分析】先求出，再使用向量夹角坐标公式进行求解.【详解】，则.故选：B【变式2】（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】结合向量的坐标运算令且不反向共线可得.【详解】若夹角为钝角，则且不反向共线，则，解得且，因为是的真子集，所以“”是“向量与向量的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：C【变式3】（2025·湖南邵阳·一模）已知向量，，与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据向量数量积公式求出，再利用三角函数诱导公式求出结果.【详解】根据向量数量积公式.先求，.再求..所以.根据三角函数诱导公式，所以.故选：C.【变式4】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则．【答案】/【分析】设，利用平面向量基底表示以及线性运算可得、，结合数量积的运算律、定义和诱导公式计算即可.【详解】设，则，，设正方向边长为6，则，所以，所以.故答案为：题型04向量模的计算解题锦囊解题锦囊向量的模的求解方法：①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；②坐标法：求出平面向量的坐标求解.【典例4】（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案.【详解】由，所以，即，即，整理得，解得或（舍去），所以.故选：B.【变式1】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知，，，则等于（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求解即可.【详解】因为，所以，即，所以，则.故选：A.【变式2】（24-25高三上·江苏·期末）已知向量，，若，则（

）A．3 B． C．4 D．0【答案】A【分析】平方可得，化简得到，从而得到方程，求解即可.【详解】因为，，，所以可得，即，所以，即可得，解得故选：A【变式3】（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）两个单位向量、满足，则.【答案】【分析】等式两边平方，可求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为两个单位向量、满足，由两边平方可得，即，解得，故.故答案为：.【变式4】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，则．【答案】【分析】根据向量减法的三角形法则计算，结合数量积和三角形知识求模长得解.【详解】解析

如图，延长CB至点D，使，连接AD．在中，，，．即，展开得到，将代入，解得．所以．故答案为：.【变式5】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知的夹角为，是的中点，则．【答案】【分析】首先利用基底表示向量，再利用数量积公式求.【详解】，所以，则.故答案为：题型05平行与垂直问题【典例5】（2025高一·全国·专题练习）已知向量，，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量的坐标表示进行计算并判断．【详解】由题意，，因为，所以，所以C正确，A错误.∵，所以D错误∵，所以B错误.故选：C.【变式1】（24-25高一下·山东威海·月考）已知非零向量满足，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由得，按照数量积进行运算即可.【详解】∵，∴，∴，∴.故选：B.【变式2】（2024·广西·模拟预测）已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（

）.A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用向量数量积为0解方程即可得出结果.【详解】由，则，即，即.解得.故选：D.【变式3】（24-25高三下·湖北·开学考试）已知向量，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件，利用数量积的运算律可得，再利用向量垂直的坐标运算，可得，进而可得，，即可求解.【详解】因为，得到，化简得，所以，又，所以，得到，所以，则，，所以的面积为，故选：A.【变式4】（多选）（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知点、、，其中，则（

）A．若、、三点共线，则 B．若，则C．若，则 D．当时，【答案】ABD【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用平面向量的模长公式可判断C选项；利用平面向量夹角余弦的坐标公式可判断D选项.【详解】因为、、，其中，则，，对于A选项，若、、三点共线，则，则，解得，A对；对于B选项，若，则，解得，B对；对于C选项，若，即，可得，解得或，C错；对于D选项，当时，，则，因为，故，D对.故选：ABD.题型06最值与范围问题【典例6】（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作在上的投影向量，观察图形结合数量积的几何意义求的范围.【详解】由对称性可得，连接，与的交点为，则为的中点，为的中点，故，，，，过点作直线的垂线，垂足记为，则向量在向量上的投影向量为，所以，如图过点作，，垂足分别为，所以，，观察图象可得，其中与同向，与反向，所以当点位于点的位置时，取最大值，最大值为，当点位于点的位置时，取最小值，最小值为，所以的取值范围是.故选：B.【变式1】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．-2【答案】B【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案.【详解】设的中点为的中点为E，则有，则，而而，，故当P与E重合时，有最小值，所以的最小值为，故选：B.【变式2】（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（

）A．8 B． C．10 D．【答案】C【分析】根据向量数量积运算律得，再利用向量不等式即可得到答案.【详解】因为则，则，所以，所以，，故选：C.【变式3】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（

）.A． B． C． D．2【答案】D【分析】建立坐标系，写出点的坐标，设，，得到，求出最大值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，设，，则，故当时，取得最大值，最大值为.故选：D.【变式4】（2025高三·全国·专题练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在正八边形中，若，则的值为；若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的取值范围是．

【答案】【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，由得到方程组，求出即可求得；设，则，令，则，移动直线，数形结合即可得答案.【详解】正八边形的性质可知，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立如图1所示的平面直角坐标系．

正八边形内角和为，则，所以，，，因为，即所以解得所以．设，则，则，令，则，移动直线，当直线运动到过线段时，取最小值，将代入，得；当直线运动到过线段时，取最大值，点坐标代入，得．所以的取值范围为．故答案为：，.【变式5】（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为4，，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是【答案】【分析】由题画出图形,设的中点为,则,可解得,由图形的性质可得点在边的中点和顶点之间,则,进而求解即可.【详解】如图，设的中点为，则两式平方相减得，所以（可由极化恒等式直接得出），即，所以，由对称性可知每条边上存在两个点，所以点在边的中点和顶点之间，故，解得．故答案为：.题型07两角和与差的三角函数解题锦囊解题锦囊公式的应用技巧：①角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq\f(30°,2)，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；②名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．【典例7】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用和角的正弦公式将展开，再用商数关系弦化切即可求解.【详解】因为，将式子的左右两侧同时除以，可得，即.故选：D【变式1】（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对已知条件两边同时平方，再将所得式子相加，结合余弦差角公式进行化简计算.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故.故选：D.【变式2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则A． B．C． D．【答案】D【分析】首先利用三角函数正切函数的和差公式计算判定BD，再运用正切函数性质，放缩判定AC.【详解】，则，则，整理得到.因此.故B错误，D正确.，则，.则.且.解得.同理得，则，因此得，则.故AC错误.故选：D.【变式3】（2025·广东·一模）已知，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可.【详解】由于，那么，，则，故选：C．【变式4】（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角基本关系式求出，利用，结合和差角公式可解.【详解】由，则，又，，而.故选：D.【变式5】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】结合同角关系化简条件可得，再根据两角和正切公式求结论.【详解】由，等式两边同乘可得．移项得到，故．所以．故选：.题型08二倍角公式解题锦囊解题锦囊（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．【典例8】（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知角为的一个内角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件分析的范围，再利用求出，再利用二倍角公式即可求解.【详解】因为为三角形内角，所以，所以，又因为，且，所以，所以，所以，由二倍角公式有：.故选：A【变式1】（2025高三下·全国·专题练习）若，则的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，结合同角三角函数关系式和二倍角公式，即可求解【详解】因为，则，①又因为，则，故①式整理可得，，解得或（舍去），故，所以．故选：．【变式2】（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知是第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的正切公式可得：，结合的范围，即可得解的值．【详解】解：，，可得：，整理可得：，解得：，或，是第二象限角，，，，故．故选：A．【变式3】（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果.【详解】因为，则.故选：A.【变式4】（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将平方求出，结合平方关系求出，即可求得，利用两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】已知，则，所以，联立，结合，解得，则，故.故选：D.题型09积化和差与和差化积公式解题锦囊解题锦囊一、积化和差公式应用时的注意事项：（1）功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式；②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质；（2）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.二、和差化积公式应用时的注意事项：（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次；（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如eq\f(1,2)－cosα＝coseq\f(π,3)－cosα.【典例9】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可.【详解】，由积化和差得，即，故，解得.故选：C【变式1】（24-25高一下·全国·课堂例题）等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用积化和差可求三角函数式的值.【详解】原式．故选：B.【变式2】．（24-25高一·江苏·课后作业）若，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用两角和与差的余弦公式得，再利用和差化积公式得，最后代入计算即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以，故选：A.【变式3】（23-24高一下·上海·课后作业）求值：.【答案】【分析】把前两项利用和差化积变形，进一步求解得答案．【详解】