2024年中考数学真题专题分类汇编专题25 解直角三角形（含勾股定理）及其应用（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

专题25解直角三角形（含勾股定理）及其应用

一、选择题

1.（2024四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦

图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将

这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（）

A.24B.36C.40D.44

【答案】D

【解析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，根据图1，结合已知

2

条件得到a2b2c224，aba2b22ab4，进而求出ab的值，再进一步求解即可.

【详解】如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，

图1中大正方形的面积是24，

a2b2c224，

小正方形的面积是4，

2

aba2b22ab4，

ab10，

1

图2中最大的正方形的面积c24ab2421044；

2

故选：D．

4

2.（2024甘肃临夏）如图，在ABC中，ABAC5，sinB，则BC的长是（）

5

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【解析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点

1AD4

A作ADBC于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出BDCDBC．根据sinB，

2AB5

可求出AD4，最后根据勾股定理可求出BD3，即得出BC2BD6．

【详解】如图，过点A作ADBC于点D．

∵ABAC5，

1

∴BDCDBC．

2

AD4

在Rt△ABD中，sinB，

AB5

44

∴ADAB54，

55

∴BDAB2AD252423，

∴BC2BD6．

故选B．

3.（2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，ABD120，

其中点A，B，C都在格点上，则tanBCD的值为（）

3

A.2B.23C.D.3

2

【答案】B

【解析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长BC交格点于点F，连接AF，E,G分别在

格点上，根据菱形的性质，进而得出AFC90，解直角三角形求得AF,FC的长，根据对顶角相

等，进而根据正切的定义，即可求解．

【详解】如图所示，延长BC交格点于点F，连接AF，E,G分别在格点上，

依题意，EGF120,EGGF，GFGC,FGC60

∴CEF30,ECF60

∴AFC90

又FC2，

3

∴AF2EF4EGcos304243

2

AF43

∴tanBCDtanACF23

FC2

故选：B．

4.（2024四川德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高

度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60，在小楼房楼顶A处测

得C处的仰角为30．（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（）

米

A.20B.15C.12D.1053

【答案】B

【解析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过A作AECD于E，则四边形ABDE为

CE

矩形，设CEx，而CAE30，可得AE3xBD，CDx10，结合

tan30

CDx10

tan603，再解方程即可．

BD3x

【详解】如图，过A作AECD于E，

依题意，ABBD，CDBD

∴四边形ABDE为矩形，

∴ABDE10，AEBD，

设CEx，而CAE30，

CE

∴AE3xBD，

tan30

∵CDx10，

CDx10

∴tan603，

BD3x

解得：x5，

经检验x5是原方程的解，且符合题意；

∴CDx1015m，

故选B

5.（2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为45，

小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53，则电子厂AB的高度为（）

434

（参考数据：sin53，cos53，tan53）

553

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【解析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形EFDG、

EFBM、CDBN是矩形，再设GMxm，表示EMx5m，然后在

AMAN

RtAEM，tanAEM，以及RtACN，tanACN，运用线段和差关系，即

EMCN

4

MNANAMxx50.3，再求出x15.9m，即可作答．

3

【详解】如图：延长DC交EM于一点G，

∵MEFEFBCDF90

∴四边形EFDG是矩形

∵MEFEFBB90

∴四边形EFBM是矩形

同理得四边形CDBN是矩形

依题意，得EFMB1.8m，CD1.5m，AEM45，ACN53

∴CG1.81.5m0.3m，FDEG5m

∴CGMN0.3m

∴设GMxm，则EMx5m

AM

在RtAEM，tanAEM，

EM

∴EM1AM

即AMx5m

AN

在RtACN，tanACN，

CN

4

∴CNtan53xAN

3

4

即ANxm

3

4

∴MNANAMxx50.3

3

∴x15.9m

∴AM15.9520.9m

∴ABAMEFAMMB20.91.822.7m

故选：A

6.（2024安徽省）如图，在Rt△ABC中，ACBC2，点D在AB的延长线上，且CDAB，

则BD的长是（）

A.102B.62C.222D.226

【答案】B

【解析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点D作DECB

的延长线于点E，则BED90，由ACB90，ACBC2，可得AB22，

AABC45，进而得到CD22，DBE45，即得△BDE为等腰直角三角形，得到

22

DEBE，设DEBEx，由勾股定理得2xx222，求出x即可求解，正确作出辅

助线是解题的关键．

【详解】解：过点D作DECB的延长线于点E，则BED90，

∵ACB90，ACBC2，

∴AB222222，AABC45，

∴CD22，DBE45，

∴△BDE为等腰直角三角形，

∴DEBE，

设DEBEx，则CE2x，

在Rt△CDE中，CE2DE2CD2，

22

∴2xx222，

解得，（舍去），

x131x231

∴DEBE31，

22

∴BD313162，

故选：B．

二、填空题

5BD8

1.（2024深圳）如图，在ABC中，ABBC，tanB，D为BC上一点，且满足，

12CD5

CE

过D作DEAD交AC延长线于点E，则________．

AC

20

【答案】

21

【解析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设ABBC13x，根据

5

tanB，AHCB，得出AH5x，BH12x，再分别用勾股定理求出

12

DH441

AD41x，AC26x，故cosADC，再运用解直角三角形得出

AD41

20412141CEMD

DMx，AMx，代入，化简即可作答．

4141ACAM

【详解】解：如图，过点A作AHCB垂足为H,

BD8

∵，ABBC，

DC5

设ABBC13x，

∴BD8x，DC5x，

5

∵tanB，AHCB，

12

AH5

∴，

BH12

∵ABBC13x，

∴AH2BH2AB2169x2，

解得AH5x，BH12x，

∴DH12x8x4x，HC5x4xx，

∴ADAH2DH241x，ACAH2CH226x，

DH441

∴cosADC，

AD41

过点C作CMAD垂足为M，

20412141

∴DMCDcosADCx，AMADDMx，

4141

∵DEAD,CMAD，

∴MC∥DE，

2041

x

CEDM20

∴41，

ACAM214121

x

41

20

故答案为：．

21

2.（2024内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古

树底部A处在同一水平面上，且AC10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的

俯角为45，古树底部A的俯角为65，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参

考数据：sin650.906，cos650.423，tan652.145）．

【答案】11.5

【解析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作DMAB，由题意知：DMAC10米，

BDM45，ADM65，推出BDM是等腰直角三角形，在Rt△ADM中，利用正切函数

求出AM的值，根据ABAMBM计算求解可得AB的值．

【详解】如图，过点D作DMAB，交AB的延长线于点M，

∴四边形ACDM是矩形，

∴DMAC10米，

∵BDM45，ADM65，M90，

∴BDM是等腰直角三角形，

∴BMDM10米，

在Rt△ADM中，AMDMtanADM10tan65102.14521.45（米），

∴ABAMBM21.451011.4511.5（米），

∴古树AB的高度约为11.5米．

故答案为：11.5．

3.（2024江西省）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则

tanCAB______．

1

【答案】##

20.5

【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图1，设等腰

直角△MNQ的直角边为a，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边

长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键．

【详解】解：如图1，设等腰直角△MNQ的直角边为a，则MQ2a，小正方形的边长为a，

∴MP2a，

22

∴EM2a2a22a，

∴MTEM22a，

∴QT22a2a2a，

如图2，过点C作CHAB的延长线于点H，则CHBD，BHCD，

由图（1）可得，ABBD22a，CD2a2a22a，

∴CH22a，BH22a，

∴AH22a22a42a，

CH22a1

∴tanCAB，

AH42a2

故答案为：1．

2

4.（2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P

处，测得教学楼底端点A的俯角为37，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得

教学楼顶端点B的俯角为45，则教学楼AB的高度约为________m．（精确到1m，参考数据：

sin370.60，cos370.80，tan370.75）

【答案】17

【解析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长AB交直线PQ于点H，先用三角函数解

Rt△PHA求出PH，进而求出QH，再证QHBH，最后根据ABAHBH即可求解．

【详解】解：如图，延长AB交直线PQ于点H，则PHA90，

由题意知AH30m，

AH30

在Rt△PHA中，tanPHA，即tan370.75，

PHPH

解得PH40m，

QHPHPQ4026.613.4m，

PHA90，QHB45，

QBHQHB45，

QHBH13.4m，

ABAHBH3013.416.617m，

故答案为：17．

5.（2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部

点C的仰角为60，测得底部点B的俯角为45，点A与楼BC的水平距离AD50m，则这栋楼的

高度为______m（结果保留根号）．

【答案】50503##50350

【解析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据

题意得BAD45，CAD60，AD50m，然后利用三角函数求解即可．

【详解】依题意，BAD45，CAD60，AD50m．

在Rt△ABD中，BDADtan4550150m，

在Rt△ACD中，CDADtan60503503m，

∴BCBDCD50503m．

故答案为：50503．

6.（2024武汉市）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合

实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升

至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45，底端B的俯角为63，则测得黄鹤楼

的高度是__________m．（参考数据：tan632）

【答案】51

【解析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长BA交距水平

地面102m的水平线于点D，根据tan632，求出DCAD51m，即可求解．

【详解】延长BA交距水平地面102m的水平线于点D，如图，

由题可知，BD102m，

设ADx，

∵DCA45

∴DCADx

BD102

∴tan632

DCx

∴DCAD51m

∴ABBDAD1025151m

故答案为：51．

7.（2024四川达州）如图，在Rt△ABC中，C90．点D在线段BC上，BAD45．若

AC4，CD1，则ABC的面积是______．

40

【答案】

3

【解析】本题考查解直角三角形，勾股定理．过D作DEAB于E，设DBx，则CB=x+1，

ACDE

利用sinÐB==列出等式即可．

ABDB

【详解】解：过D作DEAB于E，

C90，AC4，CD1，

\AD=42+12=17

BAD45

VADE是等腰直角三角形

234

\DE=AD=

22

设DBx，则CB=x+1

\AB=42+(x+1)2

ACDE

sinÐB==

ABDB

34

\4=2

42+(x+1)2x

1717

解得x（舍去）或x

53

17

经检验x是原分式方程的解，

3

111740

\S△=鬃CBAC=�(1)�4．

ABC2233

40

故答案为：．

3

8.（2024四川眉山）如图，斜坡CD的坡度i1:2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当

太阳光与水平面的夹角为60时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为______米．

【答案】41525##25415

【解析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．

如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，设BHx米，EH2x米，勾股定

理求出x25，解直角三角形求出AHtanAEHEH3EH415，进而求解即可．

【详解】如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，

则BEHDCF，

BH1

在Rt△BEH中，tanBEHtanBCFi，

EH2

设BHx米，EH2x米，

BEEH2BH25x10，

x25，

BH25米，EH45米，

QAEH60，

AHtanAEHEH3EH415（米），

ABAHBH41525（米），

答：大树AB的高度为41525米．

故答案为：41525．

三、解答题

1.（2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，

造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴

趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，

ABBC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE1.6米）测得A

点仰角为37，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45，请根据测量数据，求乾元塔的高度

AB．（结果保留整数，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

【答案】乾元塔的高度AB约为45米

【解析】本题考查解直角三角形的应用，设CE平移后得到DG，延长EG交AB于点F，设FGx，

分别解RtAFE,RtAFG，表示出AF的长，列出方程进行求解即可．

【详解】解：设CE平移后得到DG，延长EG交AB于点F，则：CEDGBF1.6，EFAB，

EG14.5，

设GFx，则：EF14.5x，

在RtAFE中，AFEFtan370.75x14.5，

在Rt△AFG中，AFFGtan45x，

∴0.75x14.5x，

∴x43.5，

∴AF43.5，

∴ABAFBF43.51.645；

答：乾元塔的高度AB约为45米．

2.（2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实

现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机

组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔

筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，

CDEF1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点

A的仰角为45，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53．求风电塔筒AH的高度．（参考数据：

434

sin53，cos53，tan53．）

553

【答案】105.6m

【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D作DGAH

于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，可得GHCD1.6m，DGCH，再证明四边形

EFGH是矩形，则FGHE，HGF90，进一步证明D、G、F三点共线，得到DF182m；

33

设AGxm，解RtADG得到DGxm；解Rt△AFG得到FGxm；则xx182，解

44

得x104，即AG104m，则AHAGGH105.6m．

【详解】解：如图所示，过点D作DGAH于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，

∴GHCD1.6m，DGCH，

∵CDEF1.6m，

∴GHEF，

由题意可得GH⊥CE，EF⊥CE，

∴GHEF，

∴四边形EFGH是矩形，

∴FGHE，HGF90，

∴∠DGH∠FGH180，

∴D、G、F三点共线，

∴DFDGFGCHHECE182m；

设AGxm，

AG

在RtADG中，tanADG，

DG

x

∴tan45

DG

∴DGxm；

AG

在Rt△AFG中，tanAFG，

FG

x

∴tan53

FG

3

∴FGxm；

4

3

∴xx182，

4

解得x104，

∴AG104m，

∴AHAGGH105.6m，

∴风电塔筒AH的高度约为105.6m．

3.（2024河北省）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点

P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ4m，仰角为；淇淇向前走了3m后到达

点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距

离ABCD1.6m，点P到BQ的距离PQ2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所

有点均在同一平面）

（1）求的大小及tan的值；

（2）求CP的长及sinAPC的值．

1334

【答案】（1）45，（2）2m，

434

【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是

解本题的关键；

（1）根据题意先求解CEPE1m，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；

（2）利用勾股定理先求解CP2m，如图，过C作CHAP于H，结合

CH1

tantanPAE，设CHxm，则AH4xm，再建立方程求解x，即可得到答案．

AH4

【小问1详解】

解：由题意可得：PQAE，PQ2.6m，ABCDEQ1.6m，

AEBQ4m，ACBD3m，

∴CE431m，PE2.61.61m，CEP90，

∴CEPE，

PE1

∴PCE45，tantanPAE；

AE4

【小问2详解】

解：∵CEPE1m，CEP90，

∴CP12122m，

如图，过C作CHAP于H，

CH1

∵tantanPAE，设CHxm，则AH4xm，

AH4

2

∴x24xAC29，

317

解得：x，

17

317

∴CHm，

17

317

∴CH334．

sinAPC17

CP234

4.（2024河南省）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平

视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当

经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时APB

为最大视角．

（1）请仅就图2的情形证明APBADB．

（2）经测量，最大视角APB为30，在点P处看塑像顶部点A的仰角APE为60，点P到塑

像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：31.73）．

【答案】（1）见解析（2）塑像AB的高约为6.9m

【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的

关键是：

（1）连接BM，根据圆周角定理得出AMBAPB，根据三角形外角的性质得出

AMBADB，然后等量代换即可得证；

（2）在RtAHP中，利用正切的定义求出AH，在Rt△BHP中，利用正切的定义求出BH，即可

求解．

【小问1详解】

证明：如图，连接BM．

则AMBAPB．

∵AMBADB，

∴APBADB．

【小问2详解】

解：在RtAHP中，APH60，PH6．

AH

∵tanAPH，

PH

∴AHPHtan606363．

∵APB30，

∴BPHAPHAPB603030．

BH

在Rt△BHP中，tanBPH，

PH

3

∴BHPHtan30623．

3

∴ABAHBH63234341.736.9m．

答：塑像AB的高约为6.9m．

5.（2024江苏苏州）图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆ABBC，活动

杆AD可绕点A旋转，CD为液压可．伸．缩．支撑杆，已知AB10cm，BC20cm，AD50cm．

（1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；

3

（2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且tan（为锐角），

4

求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）．

【答案】（1）CD1010cm（2）CD205cm

【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：

（1）过点C作CEAD，垂足为E，判断四边形ABCE为矩形，可求出CE，DE，然后在RtCED

中，根据勾股定理求出CD即可；

（2）过点D作DFBC，交BC的延长线于点F，交AD于点G．判断四边形ABFG为矩形，

3

得出AGD90．在RtAGD中，利用正切定义求出DGAG．利用勾股定理求出

4

5

ADAG，由AD50，可求出BFAG40，FGAB10，CF20，DF40．在

4

RtCFD中，根据勾股定理求出CD即可．

【小问1详解】

解：如图，过点C作CEAD，垂足为E，

由题意可知，BA90，

又CEAD，

四边形ABCE为矩形．

AB10，BC20，

AE20，CE10．

AD50，

ED30．

在RtCED中，CDCE2ED21023021010．

即可伸缩支撑杆CD的长度为1010cm；

【小问2详解】

解：过点D作DFBC，交BC的延长线于点F，交AD于点G．

由题意可知，四边形ABFG为矩形，

AGD90．

DG3

在RtAGD中，tan，

AG4

3

DGAG．

4

5

ADAG2DG2AG，

4

AD50，

AG40，DG30．

BFAG40，FGAB10，

CF20，DF40．

在RtCFD中，CDCF2DF2202402205．

即可伸缩支撑杆CD的长度为205cm．

6.（2024山东威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一

是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）

课题测量某护堤石坝与地平面的倾斜角

成员组长：×××组员：×××，×××，×××

测量

竹竿，米尺

工具

说明：AC是一根笔直的竹竿．点D

测量

是竹竿上一点．线段DE的长度是

示意

点D到地面的距离．是要测量

图

的倾斜角．

测量

数据

…………

（1）设AB=a，BCb，ACc，CEd，DEe，CDf，BEg，ADh，请根据

表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量

数据”一栏．

（2）根据（1）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程．

（3）假设sin0.86，cos0.52，tan1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出

的度数，你选择的按键顺序为________．

【答案】（1）AB=a，ACc，DEe，CDf；

ec

（2）sin，推导见解析；

af

（3）①．

【解析】【分析】（1）根据题意选择需要的数据即可；

DECDef

（2）过点A作AMCB于点M，可得CDE∽CAM，得到，即得，得

AMCAAMc

ec

到AM，再根据正弦的定义即可求解；

f

（3）根据（2）的结果即可求解；

本题考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．

【小问1详解】

解：需要的数据为：AB=a，ACc，DEe，CDf；

【小问2详解】

解：过点A作AMCB于点M，则AMB90，

∵DECB，

∴DE∥AM，

∴CDE∽CAM

DECD

∴，

AMCA

ef

即

AMc

ec

∴AM，

f

ec

∴AMfec；

sin

ABaaf

【小问3详解】

ec

解：∵sin，

af

∴按键顺序为，

故答案为：①．

7.（2024天津市）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图

①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，

DE36m,ECAB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（CDB）为45，测得桥塔底

部A的俯角（CDA）为6，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（CEB）为31．

（1）求线段CD的长（结果取整数）；

（2）求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan310.6,tan60.1．

【答案】（1）54m（2）59m

【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．

（1）设CDx，在RtBCD中，BCCDtanCDBxtan45x．在RtBCE中，

BCCEtanCEBx36tan31．则xx36tan31．解方程即可；

（2）求出AC，根据ABACBC即可得到答案．

【小问1详解】

解：设CDx，由DE36，得CECDDEx36．

ECAB，垂足为C，

BCEACD90．

BC

在RtBCD中，tanCDB，CDB45，

CD

BCCDtanCDBxtan45x．

BC

在RtBCE中，tanCEB，CEB31，

CE

BCCEtanCEBx36tan31．

xx36tan31．

36tan31360.6

得x54．

1tan3110.6

答：线段CD的长约为54m．

【小问2详解】

AC

在Rt△ACD中，tanCDA，CDA6，

CD

ACCDtanCDA54tan6540.15.4．

ABACBC5.45459．

答：桥塔AB的高度约为59m．

8.（2024重庆市B）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的

正北方向，且在C的北偏西60方向，C在A的北偏东30方向，且在B的北偏西15方向，AB2

千米．（参考数据：21.41，31.73，62.45）

（1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）；

（2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：DCB，乙选择的路线为：DAB．请

计算说明谁选择的路线较近？

【答案】（1）2.5千米

（2）甲选择的路线较近

【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用：

（1）过点B作BEAC于E，先求出ACB45，再解Rt△ABE得到BE3千米，进一步

BE

解RtBCE即可得到BC62.5千米；

sin∠BCE

（2）过点C作CFAD于D，先解Rt△ABE得到AE1千米，则ACAECE13千

133333

米，再Rt△AFC得到CF千米，AF千米，最后解RtDCF得到DF

226

3333

千米，CD千米，即可得到CDBC64.03千米，ADAB5.15千米，

33

据此可得答案．

【小问1详解】

解：如图所示，过点B作BEAC于E，

由题意得，∠CAB903060，∠ABC901575，

∴ACB180CABABC45，

在Rt△ABE中，∠AEB90，AB2千米，

∴BEABcos∠BAE2cos603千米，

BE3

在RtBCE中，BC62.5千米，

sin∠BCEsin45

∴BC的长度约为2.5千米；

【小问2详解】

解：如图所示，过点C作CFAD于D，

在Rt△ABE中，AEABcos∠BAE2cos601千米，

∴ACAECE13千米，

13

在Rt△AFC中，CFACsinCAF13sin30千米，

2

33

AFACcosCAF13cos30千米，

2

在RtDCF中，∠DCF30，∠DFC90，

1333

∴DFCFtan∠DCFtan30千米，

26

13

CF33千米，

CD2

cos∠DCFcos303

33

∴CDBC64.03千米，

3

3333

ADABDFAFAB25.15千米，

62

∵4.035.15，

∴甲选择的路线较近．

9.（2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡

秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：

平地秋千未起，踏板一尺离地．

送行二步与人齐，五尺人高曾记．

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．

良工高士素好奇，算出索长有几？

词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进

10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很

直）

（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；

（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β

的地方OA，两次位置的高度差PQh．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请

用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．

【答案】（1）秋千绳索的长度为14.5尺

h

（2）能，OA

coscos

【解析】

【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点．

（1）如