数学预习导航：向量的加法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精预习导航课程目标学习脉络1．掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．2．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和．3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会运用它们来进行向量运算．1．向量加法的三角形法则已知向量a,b(如图），在平面上任取一点A,作=a，=b，再作向量，则向量叫做a与b的和（或和向量），记作a＋b,即a＋b＝＋＝．上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．名师点拨（1）向量的和仍然是一个向量．(2）用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相接"（即前一个向量的终点与后一个向量的起点重合),其和是第一个向量的起点指向第二个向量的终点,简述为“加向量，首尾连；和向量，起点到终点”．(3)当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且｜a＋b|＝｜a|＋｜b|．（4）当a与b反向共线时，若｜a|〉|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b｜＝｜a|－｜b|；若|a|〈|b｜,则a＋b的方向与b相同，且｜a＋b｜＝|b|－|a｜．(5)当两个非零向量a与b不共线时，则a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且｜a＋b|〈|a｜＋｜b|，这是三角形两边之和大于第三边的向量表示．2．向量求和的平行四边形法则已知两个不共线向量a，b(如图)，作=a,=b，则A,B，D三点不共线,以,为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．名师点拨(1)利用平行四边形法则的条件是这两个向量必须是从同一点出发的不共线的向量．(2）向量求和的三角形法则与平行四边形法则的区别与联系：当两个向量不共线时，它们是一致的，但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用,而平行四边形法则就不适用了．（3）向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．3．向量求和的多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．名师点拨(1)向量求和的多边形法则是向量求和的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接"．（2）当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，那么各向量的和就是0．自主思考1如何用向量证明A，B,C三点共线?提示：（1）若∥，则A，B,C三点共线．（2)若＝＋，则A，B,C三点共线．自主思考2在△ABC中，若D是BC的中点，则用,可以怎样表示？提示：在△ABC中,若D为BC的中点，则＝eq\f（1,2）(＋）．证明如下:如图所示，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABD′C．因为D为BC的中点,所以D为平行四边形ABD′C对角线的交点．所以AD=AD′．又=+,所以==．自主思考3在△ABC中，若G为△ABC的重心，则＋与有何关系?提示：在△ABC中，若G为△ABC的重心，则＋＋＝0．证明如下：如图,延长GD至点H，使DH=DG，显然四边形GBHC是平行四边形,则有+=．又G为△ABC的重心，所以GA=2GD=GH．因为与的大小相等,方向相反，所以+=0．所以＋＋＝0．4．向量加法的运算律（1)交换律：a＋b＝b＋a；（2)结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c)．自主思考4向量加法与实数加法从运算法则、运算结果、运算律和运算意义上来比较，有何异同?提示：（1)运算法则：向量的加法法则是三角形法则或平行四边形法则,可以用有向线段的连接来表示；实数的加法法则是数的运算．（2)运算结果:向量的和还是向量；实数的和还是实数．(3）运算律:向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则来验证：如图，作=a，=b，=c，连接AC,BD，AD，则=a+b，=b+c．因为=+=a+(b+c