四川省德阳市高中2024−2025学年高三下学期质量监测考试（二）数学试题含答案

/四川省德阳市高中2024−2025学年高三下学期质量监测考试（二）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．若，则函数的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．113．已知函数，现将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数，则值为（

）A． B． C． D．4．已知，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．已知的展开式中的系数为17．则实数的值为（

）A． B． C．1 D．26．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，点为抛物线上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．在三棱锥中，平面平面为等腰三角形，且，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．已知对任意的，都有恒成立，则实数的值为（

）A． B．1 C．0 D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C．是的充要条件 D．若，则中至少有一个为010．已知函数的导函数为（

）A．若有三个零点，则 B．C．是的极小值点 D．当时，则11．如图，点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（

）A．若点满足，则动点的轨迹长度为B．当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为C．三棱锥体积的最大值为D．当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为三、单选题（本大题共1小题）12．若随机变量服从正态分布，且，则．四、填空题（本大题共2小题）13．数列中，满足，，则．14．若关于的方程在区间上有且仅有一个实数解，则实数．五、解答题（本大题共5小题）15．2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，足球作为其中的一项团队运动项目，风䨾世界，深受大众喜欢，为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性观众各100名进行调查，得到如下列联表．喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性6040100女性3070100合计90110200(1)判断是否有的把握认为喜爱足球运动与性别有关；(2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在从喜爱足球运动的观众中随机抽取3名，记男性的人数为，求事件的分布列和数学期望；0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：．16．在中，内角所对的边分别为，且(1)判断的形状；(2)若，且是边的中点，求的面积最大值．17．如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，．(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角夹角的余弦值．18．已知椭圆过点，右焦点为为上顶点，以点为圆心且过的圆恰好与直线相切．(1)求C的方程；(2)过的直线与椭圆交于两点（不与椭圆的左，右顶点重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值；(3)点在上，且为垂足，，求的最大值．19．已知数列前项和为，满足，且(1)求数列的通项公式；(2)令，讨论与的大小关系；(3)对任意正整数恒成立，求正整数的最小值．

参考答案1．【答案】D【详解】由，得，解得，所以，由，得，解得，所以，所以.故选：D2．【答案】C【详解】若，则，所以函数，当且仅当即时等号成立.故选：C.3．【答案】B【详解】将函数的图象横坐标变为原来的，可得：，所以，故选：B4．【答案】B【详解】依题意，，由，得，则，所以在方向上的投影向量为.故选：B5．【答案】A【详解】根据题意，的展开式通项为，所以的展开式中为：，则，解得.故选：A6．【答案】C【详解】因为，动点满足，设，则，两边同时平方整理得：，即点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆；因为点在直线上的投影为，又抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故,故当且仅当四点共线时，取得最小值，最小值为,故，故选：C7．【答案】A【详解】如图取的中点，的中点，连接，则，因为为等腰三角形，所以,因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为为直角三角形，且，所以为的外心，设三棱锥的外接球的球心为，则平面，所以‖，在等腰中，，，则，的外心在外，所以，在中，，则，所以设三棱锥的外接球的半径为，则，过作交延长线于点，则，在中，，则，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：A.8．【答案】B【解析】通过构造函数，把问题转化为，进而转化为对任意的恒成立，然后，对进行分类讨论，进而可得解【详解】解析：∵，∴，∴.设，问题转化为对任意的，恒成立，则有时为对任意的，仍然成立，则问题转化为对任意的恒成立，当时，显然成立；当时，，所以；当时，，.综上.故选：B9．【答案】BD【详解】若，则可以为，故A错；设，，，则，，所以，，故B正确；当，时，为虚数，不能比较大小，故C错；，则，解得或，故D正确.故选：BD.10．【答案】ABD【详解】因为函数，所以，令，解得，或，当，或，，当，，所以在，上单调递增，在上单调递减，，，对于A，由得，即，，因为在上单调递减，所以在上只有一个零点，因为，在上单调递增，可得在上只有一个零点，因为，在上单调递增，可得在上只有一个零点，综上，有三个零点，故A正确；对于B，，，所以，故B正确；对于C，是的极大值点，故C错误；

对于D，当时，则，解得，故D正确.故选：ABD.11．【答案】BD【详解】选项A：因为在正方体中，平面，又平面，所以动点的轨迹为矩形，动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，A说法错误；选项B：连接，以为圆心，为半径画弧，如图所示，当点在弧上时，因为直角三角形中，所以与所成的角为，则当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，又，，，所以点的轨迹长度为，B说法正确；选项C：当点在平面时，，易知此时面积最大值为，所以此时三棱锥体积的最大值为，C说法错误；选项D：取的中点分别为，连接，如图所示，因为，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又因为，，，所以平面和平面是同一个平面，则点的轨迹为线段，在中，，，则，所以是以为直角的直角三角形，所以，即线段长度最大值为，D说法正确；故选：BD12．【答案】/【详解】因为，且，所以.所以.故答案为：13．【答案】/【详解】因为，所以.所以，，，…，（）.各式相乘，可得：，显然满足上式，则，所以数列的前项和为，所以.故答案为：.14．【答案】【详解】由，所以，整理得，所以，而，则，故，结合对勾函数的性质，在上单调递增且值域为，在上单调递减且值域为，要使在区间上有且仅有一个实数解，只需时，此时.故答案为：.15．【答案】(1)有的把握认为喜爱足球运动与性别有关(2)分布列见解析，2【详解】（1）零假设：喜爱足球运动与性别无关．由题，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．即有的把握认为喜爱足球运动与性别有关．（2）由题童可得从喜爱足球运动的观众中随机抽取一人．其为男性的概率为，故，012316．【答案】(1)等腰三角形(2)6【详解】（1）由题意可得，则，故.，则，，，结合为三角形内角，，所以，故，故为等腰三角形.（2），则，设，又为的中点，，在中，以为轴，中垂线为轴，建立直角坐标系，设，，由，，即且，所以当时，取最大值为，故的最大值为6.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接交于点，连接，因为是菱形，所以，又因为为的中点，所以又面，且，所以平面又平面，所以平面平面（2）过作交于点，面面，面面，面，所以面，则即为直线与平面所成角因为面，所以面，又面，所以，所以为的交点，为等边三角形，所以H为的重心，所以，，在中，解得，以为原点，所在直线为轴建立如图坐标系，则，设平面和平面的法向量分别为和，则，即，令，可得：即，又平面，则设平面和平面的夹角为，则18．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）由题得：，又，所以，则的方程为：.（2）由题意得，直线的斜率不为0，设直线的方程为：，，，联立得：则则.（3）由题得：，即，设，则㈠如图：直线的斜率存在时，设直线的方程为：联立得：，又……①又……②……③㈠由①②③得：即即又直线不过，则，即则直线的方程为：，过定点㈡直线的斜率不存在时，设，则又，则（舍），，此时直线过定点点P在椭圆内部则的最大值为.19．【答案】(1)；(