2023-2024学年上海市普陀区甘泉外国语中学高一（下）期中数学试卷 （含解析）

2023-2024学年上海市普陀区甘泉外国语中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。1．已知，是第四象限角，则的值是．2．函数的最小正周期．3．函数的定义域为．4．已知，，则．5．若，则．6．已知函数，若（1），则．7．函数的图象在点，（1）处的切线方程为．8．已知函数，，图像如图，则函数的解析式为．9．函数，的值域为．10．关于的方程在上有两个解，则实数的取值范围为．11．若函数在，上恰有2个零点，则实数的取值范围．12．设（其中，若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分16分，13-14每题4分，15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位留，将代表正确选项的小方格涂黑。13．下列函数中，周期为1的奇函数是A． B． C． D．14．在中，如果满足，则一定是A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形15．已知，若存在，使得，则A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值16．定义方程的实数根为函数的“新驻点”，若函数，，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17．如图所示，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于、两点，已知、的横坐标分别为．（1）求的值；（2）求的值．18．已知函数．（1）若在时取得极值，求的值；（2）求的单调区间．19．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）当时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）；（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．20．（18分）已知函数．（1）求函数的单调减区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围．21．（18分）若函数满足且，则称函数为“函数”．（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间；（3）在（2）条件下，当，关于的方程为常数）有解，记该方程所有解的和为，求．

参考答案一．选择题（共4小题）题号13141516答案DCDC一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。1．已知，是第四象限角，则的值是．解：因为，是第四象限角，则．故答案为：．2．函数的最小正周期．解：函数的最小正周期是，故答案为：．3．函数的定义域为．【解答】解：函数的有意义，必有，所以函数的定义域．故答案为：．4．已知，，则．解：，，，，，，．故答案为：．5．若，则．解：由，得．故答案为：．6．已知函数，若（1），则．解：根据题意，（1）．故答案为：．7．函数的图象在点，（1）处的切线方程为．解：由已知得：，（1），（1）．切线方程为：，即．故答案为：．8．已知函数，，图像如图，则函数的解析式为．解：由函数的图像知，，，所以，又，，解得，，又因为，所以，所以函数．故答案为：．9．函数，的值域为，．解：，令，，，，则，可得，．故答案为：，．10．关于的方程在上有两个解，则实数的取值范围为，．解：化简为，令，因为，，，故在，上单调递增，在，上单调递减，，，，，所以在上有两个解，即与的图象有两个交点，即，则，所以实数的取值范围为：，．故答案为：，．11．若函数在，上恰有2个零点，则实数的取值范围．解：令，则，令，则函数，的图象在区间，上有两个交点，，当时，，当时，，所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，所以（2），而，如图，作出函数，的图象，由图可知时两函数图象有两个交点，原函数有两个零点．故答案为：．12．设（其中，若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是．解：（其中既没有最大值，也没有最小值，且，可得，或且，可得，结合正弦函数的性质，易知其它区间不符合．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分16分，13-14每题4分，15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位留，将代表正确选项的小方格涂黑。13．下列函数中，周期为1的奇函数是A． B． C． D．解：由于是周期为的奇函数，故排除；由于是非奇非偶函数，故排除；由于是周期为的奇函数，故排除；由于是周期为的奇函数，故满足题意，故选：．14．在中，如果满足，则一定是A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形解：因为，则由正弦定理得，可得，可得，因为，，可得，则，则为等腰三角形．故选：．15．已知，若存在，使得，则A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值解：因为，所以，，，因为，则，即没有最大值，也没有最小值．故选：．16．定义方程的实数根为函数的“新驻点”，若函数，，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．解：因为，则，令，解得，即，因为，则，令，设，当时，，当时，，故，因为，，则，令，即，所以，故，综上所述，．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17．如图所示，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于、两点，已知、的横坐标分别为．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为点，的横坐标分别为，由三角函数的定义，可得，因为角，为锐角，可得，则；（2）由（1）可得，所以．18．已知函数．（1）若在时取得极值，求的值；（2）求的单调区间．解：，是一个极值点，，．此时．的定义域是，当时，；当时，．当时，是的极小值点，．（2），当时，的单调递增区间为．当时，，令有，函数的单调递增区间为；令有，函数的单调递减区间为．19．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）当时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）；（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．解：（1）在中，，，由正弦定理得，，则停车场面积（平方米），（2）在中，，，由正弦定理得，，则停车场的面积为，，因为，所以，当，即时，停车场的面积最大．20．（18分）已知函数．（1）求函数的单调减区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围．解：（1），由，所以函数的单调递减区间为；（2）因为不等式在上恒成立，所以，因为，所以，所以，所以，即；（3），由，得，因为函数在上恰有3个零点，所以，解得，所以的取值范围为．21．（18分）若函数满足且，则称函数为“函数”．（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间；（3）在（2）条件下，当，关于的方程为常数）有解，记该方程所有解的和为，求．解：（1）不为函数，理由如下：因为，所以函数的周期为，又因为，所以函数的图象关于对称，因为的周期为，当时，，所以的图象不关于对称，不是“的函数”；（2）由可得，又因为的周期为，当