陕西省西安市雁塔区第二中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段检测数学试题（原卷版+解析版）

绝密★启用前雁塔区第二中学2024-2025学年第二学期第一次阶段性检测高二数学试题考试时间：120分钟；命题人：韩小伟；审题人：李云侠一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85 B.56C.49 D.282.某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按0”，令，其中，且，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A.B.C.D.3.袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则A. B. C. D.4.若正整数a，b满足等式，且，则（）A.1 B.2 C.2022 D.20235.在的展开式中常数项为A B. C. D.6.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（）A. B. C. D.7.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A. B. C. D.8.袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色球时停止取球，记X为取出球的总数，则的概率为（）A. B. C. D.9.函数的零点个数是（）A. B. C. D.10.为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，，则间的距离为（）A B.2 C. D.4二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.11.若，，则下列说法正确的是（）A. B.事件与相互独立C. D.12.带有编号、、、、的五个球，则（）A.全部投入个不同的盒子里，共有种放法B.放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法C.将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法D.全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法13.函数，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是A.的最小正周期为2B.把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象C.在区间，上单调递减D.是图象的一个对称中心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.14.设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则__________．15.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________．16.在中，，面积，则等于___________．17.已知，，，则，，的大小关系为________．四、解答题：本题共5小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且.（1）求的系数；（2）求的值.19.4个男生，3个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）（1）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？20.2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付准备从国内n（n∈N*）个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为．（1）求n的值；（2）若一次抽取4个城市，则：①假设取出小城市的个数为X，求X的分布列；②取出4个城市是同一类城市求全为超大城市的概率．21.已知是定义在上的奇函数.(1)求的值；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)若，求实数的取值范围.22.在中，设内角，，所对的边分别为，，，已知，.（1）求角的值;（2）若三角形面积为，求的周长.

绝密★启用前雁塔区第二中学2024-2025学年第二学期第一次阶段性检测高二数学试题考试时间：120分钟；命题人：韩小伟；审题人：李云侠一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A.85 B.56C.49 D.28【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据题意：，故选C.考点：排列组合.2.某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按0”，令，其中，且，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意分别列出同意1号同学当选和2号同学当选的同学，则同时同意1号与2号当选的人数为它们对应相乘再相加即可.【详解】由题意可知全班名同学同意1号同学当选的情况为，名同学同意2号同学当选的情况为，同时同意1号与2号同学当选的情况为，所以同时同意第1号与2号同学当选的人数为.故选：C.3.袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】=,选C.4.若正整数a，b满足等式，且，则（）A.1 B.2 C.2022 D.2023【答案】D【解析】【分析】由，再根据二项式定理展开后可求的值.【详解】∵，∴.故选：D.5.在的展开式中常数项为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，故可通过求展开式中的的系数来求常数项.【详解】因为，故，又的展开式中的系数为，故选A.【点睛】三项展开式的指定项的系数，可以利用二项式定理的推导方法求出指定项的系数，也可以把三项代数式变形为两项代数式，再利用二项式定理求出指定项的系数.6.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件概率的定义，分别计算即得解.【详解】由题意事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件由条件概率的定义：故选：B【点睛】本题考查了条件概率计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.7.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.详解】记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，则，由全概率公式得．故选：B．8.袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先明确所代表的意义以及所包含的可能情况，再根据全概率公式即可计算所求概率.【详解】根据题意第一、二、三、四次取出的球的颜色符合的情况有以下六种：白白黑白、白黑白白、黑白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑，这六种情况的发生是相互互斥的，所以由全概率公式得：故选：A.9.函数的零点个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】转化为指数函数与二次函数交点个数问题即可.【详解】令，则，在同一坐标系作出两函数图象，从图像知当时，两函数有1个交点，则在上有1个零点，又，所以也是的两个零点，且在时，指数函数增长快于，则后面两函数不会有交点，则总共有3个零点，故选：D10.为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，，则间的距离为（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】在和中应用正弦定理求得与，然后在中应用余弦定理求得．【详解】在中，，即，，和中，，是等边三角形，，在中，，所以，．故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，解题关键是根据条件确定正弦定理或者余弦定理计算，及计算的顺序．本题如果在中应用余弦定理求可能更方便一些．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.11.若，，则下列说法正确的是（）A. B.事件与相互独立C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由条件概率公式可判断选项A，D；由相互独立事件的概率乘法公式可判定B；由和事件的概率公式可判断C.【详解】由条件概率公式，，所以，故A正确；而，故B错误；，故C正确；因为，，故D正确.故选：ACD12.带有编号、、、、的五个球，则（）A.全部投入个不同的盒子里，共有种放法B.放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法C.将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法D.全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法【答案】AC【解析】【分析】利用分步计数原理判断A，先分组，再分配，即可判断B，先选出个球，再选出个盒子，即可判断C，分和两种情况讨论，利用分组分配法判断D.【详解】对于A：由分步计数原理，五个球全部投入个不同的盒子里共有种放法，故A正确；对于B：由排列数公式，五个不同的球放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，故B错误；对于C：将其中的个球投入一个盒子里（另一个球不投入）共有种放法，故C正确；对于D：全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法，故D错误．故选：AC13.函数，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是A.的最小正周期为2B.把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象C.在区间，上单调递减D.是图象的一个对称中心【答案】CD【解析】【分析】根据函数的部分图象求出、、和的值，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．【详解】解：由函数的部分图象知，，，解得，所以，选项错误；由，得，所以，，，所以，函数．图象上所有点向右平移个单位长度，得的图象，所以，选项错误；，时，，，所以函数单调递减，选项正确；因为，所以是图象一个对称中心，选项正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.14.设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则__________．【答案】##【解析】【分析】根据随机变量的概率非负不大于，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于，列出方程和不等式，解方程组即可．【详解】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于，

所以，

解得或，

又因为随机变量的概率非负不大于，

所以，，

解得，

综上，

故答案为：##．15.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________．【答案】【解析】【分析】设“中途停车修理”为事件，“经过的是货车”为事件，“经过的是客车”为事件，则，然后代入贝叶斯公式计算.【详解】设“中途停车修理”为事件，“经过的是货车”为事件，“经过的是客车”为事件，则，，，，，由贝叶斯公式有.故答案：16.在中，，面积，则等于___________．【答案】【解析】【分析】先利用三角形的面积公式求出，然后利用余弦定理和正弦定理即可．【详解】由题意及三角形面积公式可得，

可得，

由余弦定理可得，

所以，

所以．

故答案为：．17.已知，，，则，，的大小关系为________．【答案】【解析】【分析】本题根据对数函数性质可以判定，，根据指数函数的单调性得出，进而做出大小判断．【详解】，，，

又，所以．

故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且.（1）求的系数；（2）求的值.【答案】（1）180（2）【解析】【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出，结合二项式定理求出.（2）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值.【小问1详解】第3项与第9项的二项式系数相等，则，解得，所以.所以的展开式中项为：，所以.【小问2详解】由（1）知，的展开式中，当时，，由二项展开式可得：所以都是正数，都是负数，所以当时，，所以.19.4个男生，3个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）（1）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？【答案】（1）720；（2）1440；（3）720.【解析】【分析】（1）先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素进行全排列，即可得到答案；（2）男生排好后，5个空中再插入3个女生，即可得到答案；（3）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最后剩余的2个元素全排列，由分步计数原理，即可求解结果．【小问1详解】解：先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素进行全排列有种．【小问2详解】解：男生排好后，5个空再插女生有种．【小问3详解】解：甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最后剩余的2个元素全排列，分步有种．20.2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付准备从国内n（n∈N*）个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为．（1）求n的值；（2）若一次抽取4个城市，则：①假设取出小城市的个数为X，求X的分布列；②取出4个城市是同一类城市求全为超大城市的概率．【答案】（1）；（2）①分布列见解析；②.【解析】【分析】（1）根据题意，共个城市，取出个的方法总数是，其中全是小城市的情况有，由古典概型可求全是小城市的概率，即可求得的值；（2）①，根据超几何分布可得到的分布列；②若个城市全是超大城市，共有种情况；若个城市全是小城市，共有种情况；由此可求全为超大城市的概率.【详解】（1）共个城市，取出个的方法总数是，其中全是小城市的情况有，故全是小城市的概率是，∴，∴，故．（2）①X=0，1，2，3，4.；

；

P（X=2）=；；

．故X的分布列为X01234P②若个城市全是超大城市，共有种情况；若个城市全是小城市，共有种情况；故全为超大城市的概率为．【点睛】关键点睛：本题考查求古典