小学工程问题归纳及经典练习题

小学工程问题归纳及经典练习题一、工程问题基本概念工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充。它是研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。在工程问题中，一般把工作总量看作单位"1"，工作效率用单位时间内完成工作总量的几分之一或几分之几来表示。

工作总量=工作效率×工作时间

工作效率=工作总量÷工作时间

工作时间=工作总量÷工作效率

二、工程问题的常见类型及解法

（一）基本工程问题这类问题直接给出工作总量、工作效率和工作时间中的两个量，求第三个量。解题时直接利用上述基本公式进行计算。

例1：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作，几天可以完成这项工程？

分析：把这项工程的工作总量看作单位"1"，甲队单独做10天完成，那么甲队的工作效率就是\(1÷10=\frac{1}{10}\)；乙队单独做15天完成，乙队的工作效率就是\(1÷15=\frac{1}{15}\)。两队合作的工作效率就是甲、乙两队工作效率之和，即\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\)。再根据工作时间=工作总量÷工作效率，可求出两队合作完成工程所需的时间。

解答：甲队工作效率：\(1÷10=\frac{1}{10}\)乙队工作效率：\(1÷15=\frac{1}{15}\)两队合作工作效率：\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{6}\)合作完成时间：\(1÷\frac{1}{6}=6\)（天）

答：两队合作6天可以完成这项工程。

（二）合作问题这类问题是已知多个工作主体合作完成一项工程的时间，求各自单独完成工程所需时间或合作完成其他相关工作量的时间等。解题关键是先求出合作的工作效率，再根据已知条件逐步求解。

例2：一项工程，甲、乙两队合作8天可以完成。现在甲队先做6天，乙队接着做10天也正好完成。求甲、乙两队单独做各需要多少天？

分析：把这项工程看作单位"1"，甲、乙两队合作8天完成，那么两队合作的工作效率是\(1÷8=\frac{1}{8}\)。甲队先做6天，乙队接着做10天，可以看作甲、乙两队合作6天，然后乙队再单独做\(106=4\)天。先求出两队合作6天完成的工作量，进而求出乙队4天完成的工作量，从而得出乙队的工作效率，再求出甲队的工作效率，最后求出甲、乙两队单独做各需要的时间。

解答：甲、乙两队合作工作效率：\(1÷8=\frac{1}{8}\)两队合作6天完成的工作量：\(\frac{1}{8}×6=\frac{3}{4}\)乙队4天完成的工作量：\(1\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)乙队工作效率：\(\frac{1}{4}÷4=\frac{1}{16}\)乙队单独完成时间：\(1÷\frac{1}{16}=16\)（天）甲队工作效率：\(\frac{1}{8}\frac{1}{16}=\frac{2}{16}\frac{1}{16}=\frac{1}{16}\)甲队单独完成时间：\(1÷\frac{1}{16}=16\)（天）

答：甲队单独做需要16天，乙队单独做也需要16天。

（三）交替工作问题这类问题是多个工作主体按照一定顺序依次交替工作，完成一项工程。解题关键是找出一个循环周期内的工作量，然后根据工作总量求出循环周期的次数，进而求出完成工程所需的时间。

例3：一项工程，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要18小时完成。甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时......两人如此交替工作。问完成任务时共用了多少小时？

分析：把2小时看作一个循环周期，一个周期内甲、乙各做1小时。先求出一个周期完成的工作量，再看工作总量里有几个这样的周期，最后根据剩余工作量确定完成任务所需的总时间。

解答：甲1小时完成的工作量：\(1÷12=\frac{1}{12}\)乙1小时完成的工作量：\(1÷18=\frac{1}{18}\)一个周期完成的工作量：\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}\)循环周期次数：\(1÷\frac{5}{36}=7\cdots\cdots\frac{1}{36}\)，即经过7个完整周期后还剩下\(\frac{1}{36}\)的工作量。此时轮到甲做，甲完成\(\frac{1}{36}\)工作量所需时间：\(\frac{1}{36}÷\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\)（小时）总共用时：\(7×2+\frac{1}{3}=14\frac{1}{3}\)（小时）

答：完成任务时共用了\(14\frac{1}{3}\)小时。

（四）水管问题水管问题本质上也是工程问题，只是工作总量通常用注水量或排水量来表示，工作效率用单位时间内的注水量或排水量来表示。解题思路与工程问题基本相同。

例4：一个水池有甲、乙两个进水管，单开甲管8小时可以将空池注满，单开乙管10小时可以将空池注满。同时打开甲、乙两管，几小时可以将空池注满？

分析：把水池的容积看作单位"1"，甲管的注水效率是\(1÷8=\frac{1}{8}\)，乙管的注水效率是\(1÷10=\frac{1}{10}\)。两管同时注水，其工作效率就是甲、乙两管注水效率之和，再根据工作时间=工作总量÷工作效率求出注满水池所需时间。

解答：甲管注水效率：\(1÷8=\frac{1}{8}\)乙管注水效率：\(1÷10=\frac{1}{10}\)两管同时注水效率：\(\frac{1}{8}+\frac{1}{10}=\frac{5}{40}+\frac{4}{40}=\frac{9}{40}\)注满水池时间：\(1÷\frac{9}{40}=\frac{40}{9}\)（小时）

答：同时打开甲、乙两管，\(\frac{40}{9}\)小时可以将空池注满。

（五）工作效率变化问题这类问题是工作过程中工作效率发生变化，通常是提高或降低一定的比例。解题时要根据变化后的工作效率重新计算工作时间或工作总量等。

例5：一项工程，原计划10天完成，实际8天完成。工作效率提高了百分之几？

分析：先分别求出原计划和实际的工作效率，再用（实际工作效率原计划工作效率）÷原计划工作效率×100%来计算工作效率提高的百分比。

解答：原计划工作效率：\(1÷10=\frac{1}{10}\)实际工作效率：\(1÷8=\frac{1}{8}\)工作效率提高的百分比：\((\frac{1}{8}\frac{1}{10})÷\frac{1}{10}×100\%=(\frac{5}{40}\frac{4}{40})÷\frac{1}{10}×100\%=\frac{1}{40}÷\frac{1}{10}×100\%=25\%\)

答：工作效率提高了25%。

三、工程问题经典练习题

（一）基础巩固1.一件工作，甲单独做要6小时完成，乙单独做要4小时完成，丙单独做要3小时完成。三人合做要几小时完成？2.一批零件，甲独做8天完成，乙独做10天完成，现在由两人合做这批零件，中途甲因事请假一天，完成这批零件共用多少天？3.一件工作，甲5小时先完成了\(\frac{1}{4}\)，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？

（二）能力提升1.一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的\(\frac{7}{30}\)，乙队单独完成全部工程需要几天？2.有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？3.一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2.5小时能把水池放空；如果打开8个水龙头，1.5小时能把水池放空。现在打开13个水龙头，要多少时间才能把水池放空？

（三）拓展延伸1.一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需9天完成。若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？2.一件工作，甲、乙、丙三人合作需要1小时，甲、乙合作需要1小时20分，甲、丙合作需要1小时30分。问甲单独做需要多少时间？3.一项工程，甲、乙合作20天完成，乙、丙合作15天完成，丙、丁合作12天完成。甲、丁合作需要多少天完成？

（四）练习题答案基础巩固1.甲的工作效率为\(1÷6=\frac{1}{6}\)，乙的工作效率为\(1÷4=\frac{1}{4}\)，丙的工作效率为\(1÷3=\frac{1}{3}\)。三人合作的工作效率为\(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{2+3+4}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\)。合作完成时间为\(1÷\frac{3}{4}=\frac{4}{3}\)（小时）。

2.设完成这批零件共用\(x\)天。甲工作了\((x1)\)天，甲的工作效率为\(1÷8=\frac{1}{8}\)，乙的工作效率为\(1÷10=\frac{1}{10}\)。可得方程\(\frac{1}{8}(x1)+\frac{1}{10}x=1\)\(\frac{10(x1)+8x}{80}=1\)\(10x10+8x=80\)\(18x=90\)\(x=5\)（天）

3.甲5小时完成\(\frac{1}{4}\)，则甲的工作效率为\(\frac{1}{4}÷5=\frac{1}{20}\)。剩下的任务为\(1\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)，乙6小时完成剩下任务的一半，即\(\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}\)，乙的工作效率为\(\frac{3}{8}÷6=\frac{1}{16}\)。余下的工作量为\(\frac{3}{8}\)，甲、乙合作的工作效率为\(\frac{1}{20}+\frac{1}{16}=\frac{4+5}{80}=\frac{9}{80}\)。还需时间为\(\frac{3}{8}÷\frac{9}{80}=\frac{3}{8}×\frac{80}{9}=\frac{10}{3}\)（小时）。

能力提升1.甲、乙两队合作的工作效率为\(1÷15=\frac{1}{15}\)。设乙队的工作效率为\(x\)，则甲队的工作效率为\(\frac{1}{15}x\)。根据甲队做5天，乙队做3天，完成工程的\(\frac{7}{30}\)，可列方程：\(5(\frac{1}{15}x)+3x=\frac{7}{30}\)\(\frac{1}{3}5x+3x=\frac{7}{30}\)\(2x=\frac{7}{30}\frac{1}{3}\)\(2x=\frac{710}{30}\)\(2x=\frac{3}{30}\)\(x=\frac{1}{20}\)乙队单独完成全部工程需要\(1÷\frac{1}{20}=20\)（天）。

2.三人合作的工作效率为\(1÷1=\frac{1}{1}\)（这里1小时完成，效率为1）。甲的工作效率为\(1÷1\frac{1}{3}=\frac{3}{4}\)，乙的工作效率为\(1÷1\frac{1}{5}=\frac{5}{6}\)，丙的工作效率为\(1÷1\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\)。三人合作完成两个仓库的搬运任务，总共用时\(2÷(\frac{3}{4}+\frac{5}{6}+\frac{2}{3})=2÷(\frac{9+10+8}{12})=2÷\frac{9}{4}=\frac{8}{9}\)（小时）。丙帮助甲的时间为\((1\frac{3}{4}×\frac{8}{9})÷\frac{2}{3}=(1\frac{2}{3})÷\frac{2}{3}=\frac{1}{3}÷\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\)（小时）。丙帮助乙的时间为\(\frac{8}{9}\frac{1}{2}=\frac{169}{18}=\frac{7}{18}\)（小时）。

3.1小时=60分钟，2.5小时=150分钟，1.5小时=90分钟。设每个水龙头每分钟放水量为1份。5个水龙头2.5小时的放水量为\(5×150=750\)份，8个水龙头1.5小时的放水量为\(8×90=720\)份。每分钟流入的水量为\((750720)÷