重庆大学工程力学作业解答

重庆大学工程力学作业解答一、引言工程力学是一门研究物体机械运动及材料力学性能的学科，对于工科专业的学生来说至关重要。它涵盖了静力学、材料力学等多个方面的知识，通过完成工程力学作业，学生能够加深对理论知识的理解，提高解决实际工程问题的能力。本文将对重庆大学工程力学作业中的部分典型题目进行解答，旨在为同学们提供学习参考，帮助大家更好地掌握工程力学的相关知识。

二、静力学部分

（一）受力分析1.题目：如图所示，一重力为\(P\)的均质圆柱，半径为\(r\)，放在倾角为\(\theta\)的斜面上，圆柱与斜面间的摩擦系数为\(f\)。在圆柱上作用一水平力\(F\)，试分析圆柱的受力情况，并画出受力图。解答：首先确定研究对象为圆柱。圆柱受到的力有：重力\(P\)，作用在圆柱的重心，方向竖直向下。水平力\(F\)，作用在圆柱的圆心，方向水平。斜面的支持力\(N\)，垂直于斜面向上，作用在圆柱与斜面的接触点。摩擦力\(F_f\)，沿斜面方向，其大小和方向需根据力的平衡条件进一步确定。当圆柱处于平衡或有运动趋势时，摩擦力的方向与相对运动趋势方向相反。受力图如下：先画出圆柱的轮廓。在圆柱的重心处画重力\(P\)箭头向下。在圆柱的圆心处画水平力\(F\)箭头。在圆柱与斜面的接触点处，画垂直于斜面向上的支持力\(N\)箭头和沿斜面方向的摩擦力\(F_f\)箭头。

2.题目：如图所示的平面静定桁架，已知各杆长度均为\(l\)，在节点\(B\)作用一铅垂力\(F\)，试求各杆的内力。解答：首先分析节点\(B\)的受力情况。节点\(B\)受到铅垂力\(F\)作用，设杆\(AB\)和杆\(BC\)的内力分别为\(F_{AB}\)和\(F_{BC}\)。假设杆\(AB\)为拉力（箭头背离节点），杆\(BC\)为压力（箭头指向节点）。根据节点\(B\)的平衡条件\(\sumF_y=0\)，可得：\(F_{AB}\sin45^{\circ}F=0\)，解得\(F_{AB}=\sqrt{2}F\)（拉力）。根据节点\(B\)的平衡条件\(\sumF_x=0\)，可得：\(F_{AB}\cos45^{\circ}F_{BC}=0\)，将\(F_{AB}=\sqrt{2}F\)代入，解得\(F_{BC}=F\)（压力）。然后分析节点\(C\)的受力情况。节点\(C\)受到杆\(BC\)的压力\(F_{BC}\)（大小为\(F\)，方向指向节点\(C\)），设杆\(CD\)和杆\(CA\)的内力分别为\(F_{CD}\)和\(F_{CA}\)。假设杆\(CD\)为拉力，杆\(CA\)为压力。由节点\(C\)的平衡条件\(\sumF_x=0\)，可得：\(F_{CA}\cos45^{\circ}F_{BC}\cos45^{\circ}=0\)，因为\(F_{BC}=F\)，所以\(F_{CA}=F\)（压力）。由节点\(C\)的平衡条件\(\sumF_y=0\)，可得：\(F_{CD}F_{CA}\sin45^{\circ}F_{BC}\sin45^{\circ}=0\)，将\(F_{CA}=F\)，\(F_{BC}=F\)代入，解得\(F_{CD}=\sqrt{2}F\)（拉力）。对于其他节点，按照类似的方法依次分析其受力平衡条件，可求出各杆内力。

（二）力系的平衡1.题目：如图所示，一梁\(AB\)，长为\(l\)，在\(A\)端为固定铰支座，在\(B\)端为可动铰支座，梁上作用有均布载荷\(q\)，方向向下，以及一集中力\(P\)，作用在梁的中点\(C\)处。试求支座\(A\)和\(B\)的约束力。解答：首先取梁\(AB\)为研究对象。设支座\(A\)的约束力为\(F_A\)（包括水平约束力\(F_{Ax}\)和垂直约束力\(F_{Ay}\)），支座\(B\)的约束力为\(F_B\)，方向垂直向上。计算梁上的载荷合力：均布载荷\(q\)的合力\(Q=ql\)，作用在梁的中点。集中力\(P\)作用在梁的中点\(C\)处。根据梁的平衡条件：\(\sumF_x=0\)，可得\(F_{Ax}=0\)。\(\sumM_A=0\)，以\(A\)为矩心，\(F_B\timeslql\times\frac{l}{2}P\times\frac{l}{2}=0\)，解得\(F_B=\frac{ql+P}{2}\)。\(\sumF_y=0\)，\(F_{Ay}+F_BqlP=0\)，将\(F_B=\frac{ql+P}{2}\)代入，解得\(F_{Ay}=\frac{ql+P}{2}\)。

2.题目：如图所示的结构，由直角弯杆\(ABC\)和直杆\(DE\)组成，各杆自重不计。已知\(F=10\kN\)，试求固定端\(A\)的约束力和杆\(DE\)所受的力。解答：首先取整体为研究对象。整体受到力\(F\)作用，设固定端\(A\)的约束力为\(F_A\)（包括水平约束力\(F_{Ax}\)、垂直约束力\(F_{Ay}\)和约束力偶\(M_A\)）。根据平衡条件\(\sumF_x=0\)，可得\(F_{Ax}=F\cos30^{\circ}=10\times\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\kN\)。根据平衡条件\(\sumF_y=0\)，可得\(F_{Ay}=F\sin30^{\circ}=10\times\frac{1}{2}=5\kN\)。根据平衡条件\(\sumM_A=0\)，可得\(M_A=F\times2=10\times2=20\kN\cdotm\)。然后取直角弯杆\(ABC\)为研究对象。设杆\(DE\)对直角弯杆\(ABC\)的作用力为\(F_{DE}\)，方向与杆\(DE\)垂直。对\(B\)点取矩，\(\sumM_B=0\)，\(F_{DE}\times1F\times1=0\)，解得\(F_{DE}=F=10\kN\)，所以杆\(DE\)受到的力大小为\(10\kN\)，方向与上述分析相反。

三、材料力学部分

（一）轴向拉伸与压缩1.题目：如图所示的等直杆，已知杆的横截面面积为\(A\)，弹性模量为\(E\)，在杆的两端作用轴向拉力\(F\)。试求杆的伸长量\(\Deltal\)。解答：根据轴向拉伸的胡克定律\(\sigma=\frac{F}{A}=E\varepsilon\)，其中\(\sigma\)为正应力，\(\varepsilon\)为线应变。线应变\(\varepsilon=\frac{\Deltal}{l}\)，其中\(\Deltal\)为杆的伸长量，\(l\)为杆的原长。由\(\frac{F}{A}=E\frac{\Deltal}{l}\)，可得杆的伸长量\(\Deltal=\frac{Fl}{EA}\)。

2.题目：如图所示，一阶梯形直杆，已知两部分的横截面面积分别为\(A_1\)和\(A_2\)，长度分别为\(l_1\)和\(l_2\)，弹性模量均为\(E\)，在杆的两端作用轴向拉力\(F\)。试求杆的总伸长量\(\Deltal\)。解答：首先分别计算两部分杆的伸长量。对于第一部分杆，根据胡克定律\(\Deltal_1=\frac{Fl_1}{EA_1}\)。对于第二部分杆，同理可得\(\Deltal_2=\frac{Fl_2}{EA_2}\)。杆的总伸长量\(\Deltal=\Deltal_1+\Deltal_2=\frac{Fl_1}{EA_1}+\frac{Fl_2}{EA_2}=F(\frac{l_1}{EA_1}+\frac{l_2}{EA_2})\)。

（二）剪切与挤压1.题目：如图所示的螺栓接头，已知螺栓的直径为\(d\)，钢板的厚度为\(t\)，外力\(F\)作用在钢板上。试求螺栓所受的剪切力和挤压应力。解答：螺栓所受的剪切力\(F_s=F\)。螺栓的剪切面面积\(A_s=\frac{\pid^2}{4}\)。螺栓的剪切应力\(\tau=\frac{F_s}{A_s}=\frac{4F}{\pid^2}\)。螺栓与钢板的挤压面面积\(A_j=dt\)。挤压应力\(\sigma_j=\frac{F}{A_j}=\frac{F}{dt}\)。

2.题目：如图所示，一铆钉连接两块钢板，已知铆钉的直径为\(d\)，两块钢板的厚度分别为\(t_1\)和\(t_2\)，外力\(F\)作用在钢板上。试求铆钉所受的剪切力和挤压应力。解答：铆钉所受的剪切力\(F_s=F\)。铆钉的剪切面面积\(A_s=\frac{\pid^2}{4}\)。铆钉的剪切应力\(\tau=\frac{F_s}{A_s}=\frac{4F}{\pid^2}\)。铆钉与较厚钢板的挤压面面积\(A_{j1}=dt_1\)，与较薄钢板的挤压面面积\(A_{j2}=dt_2\)，取较小的挤压面面积计算挤压应力。挤压应力\(\sigma_j=\frac{F}{A_{jmin}}\)，其中\(A_{jmin}=\min(dt_1,dt_2)\)。

（三）扭转1.题目：如图所示的圆轴，直径为\(d\)，长度为\(l\)，在两端作用一对大小相等、转向相反的外力偶，力偶矩为\(M\)。试求轴的最大切应力\(\tau_{max}\)和扭转角\(\varphi\)。已知圆轴的剪切弹性模量为\(G\)。解答：圆轴的极惯性矩\(I_p=\frac{\pid^4}{32}\)。最大切应力\(\tau_{max}=\frac{M\frac{d}{2}}{I_p}=\frac{16M}{\pid^3}\)。扭转角\(\varphi=\frac{Ml}{GI_p}=\frac{32Ml}{G\pid^4}\)。

2.题目：如图所示的空心圆轴，外径为\(D\)，内径为\(d\)，长度为\(l\)，在两端作用一对大小相等、转向相反的外力偶，力偶矩为\(M\)。试求轴的最大切应力\(\tau_{max}\)和扭转角\(\varphi\)。已知圆轴的剪切弹性模量为\(G\)。解答：空心圆轴的极惯性矩\(I_p=\frac{\pi}{32}(D^4d^4)\)。最大切应力\(\tau_{max}=\frac{M\frac{D}{2}}{I_p}=\frac{16MD}{\pi(D^4d^4)}\)。扭转角\(\varphi=\frac{Ml}{GI_p}=\frac{32Ml}{G\pi(D^4d^4)}\)。

（四）弯曲内力1.题目：如图所示的简支梁，跨度为\(l\)，在梁的中点作用一集中力\(P\)。试求梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解答：首先求支座约束力。设支座\(A\)和\(B\)的约束力分别为\(F_A\)和\(F_B\)。根据梁的平衡条件\(\sumF_y=0\)，可得\(F_A=F_B=\frac{P}{2}\)。然后列剪力方程和弯矩方程：当\(0\ltx\lt\frac{l}{2}\)时，剪力\(F_s(x)=\frac{P}{2}\)，弯矩\(M(x)=\frac{P}{2}x\)。当\(\frac{l}{2}\ltx\ltl\)时，剪力\(F_s(x)=\frac{P}{2}\)，弯矩\(M(x)=\frac{P}{2}(lx)\)。最后画剪力图和弯矩图：剪力图：在\(0\ltx\lt\frac{l}{2}\)区间，剪力为常数\(\frac{P}{2}\)，画水平直线；在\(\frac{l}{2}\ltx\ltl\)区间，剪力为常数\(\frac{P}{2}\)，画水平直线，剪力图为矩形。弯矩图：在\(0\ltx\lt\frac{l}{2}\)区间，弯矩为一次函数，斜率为\(\frac{P}{2}\)，过原点画斜直线；在\(\frac{l}{2}\ltx\ltl\)区间，弯矩为一次函数，斜率为\(\frac{P}{2}\)，在\(x=l\)处弯矩为0，画斜直线，弯矩图为抛物线。

2.题目：如图所示的悬臂梁，长度为\(l\)，在梁的自由端作用一集中力\(P\)。试求梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解答：首先求固定端\(A\)的约束力。固定端\(A\)的约束力有垂直约束力\(F_A=P\)和约束力偶\(M_A=Pl\)。然后列剪力方程和弯矩方程：当\(0\ltx\ltl\)时，剪力\(F_s(x)=P\)，弯矩\(M(x)=PxPl\)。最后画剪力图和弯矩图：剪力图：在\(0\ltx\ltl\)区间，剪力为常数\(P\)，画水平直线。弯矩图：在\(0\ltx\ltl\)区间，弯矩为一次函数，斜率为\(P\)，在\(x=0\)处弯矩为\(Pl\)，画斜直线。

（五）弯曲应力1