高考数学复习第二章函数导数及其应用第5讲函数的单调性与最值配套理

第5讲函数单调性与最值1/38考纲要求考点分布考情风向标1.了解组成函数要素，会求一些简单函数定义域和值域.2.了解函数单调性、最大值、最小值及其几何意义.3.会利用函数图象了解和研究函数性质年新课标第3题考查函数奇偶性和单调性；年新课标第16题考查函数奇偶性、最值；年新课标Ⅱ第12题考查函数单调性、最值；年新课标Ⅰ第15题以分段函数为背景，考查指数函数、幂函数单调性；年北京、天津考查利用函数单调性求最值；年新课标Ⅱ第8题求函数单调区间函数单调性、奇偶性常与函数其它性质，如与周期性、对称性相结合求函数值或参数取值范围，是高考热点及重点.常与函数图象及其它性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇，则多为解答题2/381.函数单调性3/38(续表)4/38前提设函数y＝f(x)定义域为I，假如存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得____________结论M为最大值M为最小值2.函数最大(小)值f(x0)＝M5/38)DD1.函数y＝x2－6x单调递减区间是(A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[3，＋∞) D.(－∞，3]2.已知函数f(x)值域是[－2,3]，则函数f(x－2)值域为()A.[－4,1]C.[－4,1]∪[0,5]B.[0,5]D.[－2,3]6/383.(年北京)以下函数中，在区间(－1,1)上为减函数是()D7/3828/38考点1函数单调性判断考向1利用定义(或性质)判断函数单调性例1：(1)(年新课标Ⅱ)函数

f(x)＝ln(x2－2x－8)单调递增区间是()A.(－∞，－2)C.(1，＋∞)B.(－∞，－1)D.(4，＋∞)9/38答案：D解析：x2－2x－8>0，x<－2或x>4，f(x)＝ln(x2－2x－8)定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，又y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9，当x<1时单调递减，

当x>1时单调递增，所以函数f(x)＝ln(x2－2x－8)单调递增区间是(4，＋∞).故选D.10/38(2)(年广东深圳第二次调研)以下四个函数中，在定义)域上不是单调函数是(11/38答案：C12/38考向2利用导数判断函数单调性例2：(1)函数f(x)＝x3－6x2单调递减区间为(

)A.(0,4)C.(4，＋∞)B.(0,2) D.(－∞，0)

解析：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0<x<4，∴单调递减区间为(0,4).

答案：A13/38答案：(0，e)14/38考点2函数单调性应用考向1比较大小例3：(年山东)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c大小关系是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a答案：C解析：因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y＝x0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c>1.总而言之，b<a<c.15/38考向2解不等式

例4：(2017年新课标Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1

x取值范围是()A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]解析：函数f(x)为奇函数，f(1)＝－1，f(－1)＝1，－1≤f(x－2)≤1⇔f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，有－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3.故选D.答案：D16/38考向3求参数范围答案：(2,3]17/3818/3819/38函数，则a取值范围是( A.[－1,0] C.[0,3]

)B.[－1，＋∞)D.[3，＋∞)20/38答案：D21/38最小值为2，则实数a取值范围是________.解析：当x≥1时，f(x)≥2，当x＜1时，f(x)＞a－1.由题意知a－1≥2，∴a≥3.答案：[3，＋∞)22/38考点3函数最值与值域例6：求以下函数值域：23/3824/3825/3826/3827/38∴当x<－2或x>2时，f(x)单调递增；当－2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)单调递减.故当x＝－2时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4；当x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4.∴所求函数值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞).∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝－1时，2－cosx有最大值3.28/3829/3830/38

【规律方法】惯用求值域方法有： ①代入法：适合用于定义域为有限集函数； ②分离系数法：若函数y＝f(x)解析式中含有|x|，x2，sinx，cosx等元素，又能用y表示出来，则利用这些元素有界性解出y范围； ③配方法：适合用于二次函数类函数；31/38

⑥换元法：主要处理一些根式类函数； ⑦不等式法：借助于不等式性质和基本不等式等工具求最值； ⑧最值法：经过求导数进而求出最值； ⑨求三角函数值域主要有三条路径：将sinx或cosx用所求变量y来表示，如sinx＝f(y)，再由|sinx|≤1得到一个关于y不等式|f(y)|≤1，从而求得y取值范围.32/38【互动探究】33/38

难点突破 ⊙正确了解函数在区间A上单调与f(x)单调区间为A区分 例题：(1)若

f(x)＝x3－6ax单调递减区间是(－2,2)，则a)取值范围是( A.(－∞，0] C.{2}B.[－2,2]D.[2，＋∞)34/38答案：C35/38(2)若f(x)＝x3－6ax在区间(－2,2)内单调递减，则a取值范围是()A.(－∞，0]B.[－2,2]C.{2}D.[2，＋∞)答案：D36/38

【规律方法】(1)在研究函数单调性时，应先确定函数定义域.函数单调性是对某一个区间而言.f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调.

(2)注意f(x)在区间A上单调递减与f(x)单调递减区间为A区分.本题(1)中f(x)单调递减区间是(－2,2)是指方程f′(x)＝3x2－