海南省2024-2025学年高三下学期学业水平诊断（三）数学试题（解析版）

第页，共页第17页，共17页海南省2024—2025学年高三学业水平诊断（三）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由抛物线的标准方程可求解.【详解】由，可知抛物线的焦点在的正半轴上，又，所以，所以抛物线的准线方程为.故选：B.2.复数的虚部为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由复数的乘除运算及虚部概念即可求解；【详解】，所以虚部为，故选：B3已知集合.，中（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由指数不等式化简，再由交集、补集运算即可求解；【详解】，所以或，所以，故选：D4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两角和的正弦公式和同角三角函数基本关系求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：A5.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.12 B.16 C.20 D.22【答案】D【解析】【分析】由等差数列及前项和的性质即可求解；【详解】由，可得：，所以，又，故选：D6.在同一平面内，向量满足，则的最小值为（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由题意用向量的坐标运算求出的坐标，结合二次函数性质求出的最小值即可.【详解】由题意，不妨设，则由得，则，所以，所以，所以当时，的最小值为3.故选：A7.若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意根据对称性得点在上，代入的方程得，利用椭圆焦距的定义求解即可.【详解】由对称性可知，正方形的四个顶点必在直线上，由于椭圆在y轴上的两顶点间的距离为2，所以正方形的边长只能为1，因此点在上，代入的方程得，解得，故，所以的焦距为.故选：B8.已知是递增的等比数列，若，则当取得最小值时，（）A.B.1C.4D.16【答案】D【解析】【分析】由已知得，有，，及，则取得最小值等价于函数取得最小值，利用导数法得时，取得最小值，即可求解.【详解】设公比为q，由得，，故，又因为是递增的数列，所以，因为，所以取得最小值等价于函数取得最小值，求导得，令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得最小值，此时.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】对于AD，可通过幂函数、指数函数的单调性判断；对于BC，可通过特殊值判断；【详解】对于A，由函数单调递增，可知当，正确；对于B，取，可得，错误；对于C，取，显然不成立，错误；对于D，等价于，由指数函数单调递增可知：当，，所以成立，正确；故选：AD10.须弥座是一种古建筑的基座形式，又名“金刚座”，通常用于宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座部分，由多层不同形状的构件组成，具有很高的艺术价值.如图所示，某古建筑的须弥座最下层为正六棱台形状，该正六棱台的上底面边长为3，下底面边长为4，侧面积为，则（）A.该正六棱台的高为B.该正六棱台的侧面与下底面的夹角为C.该正六棱台的侧棱与下底面所成角的正弦值为D.该正六棱台的体积为【答案】BCD【解析】【分析】先求出侧面梯形的高进而求解正六棱台的高判断A，利用正棱台的特征及二面角的概念在直角梯形中求解判断B，根据线面角的概念在直角梯形中求解判断C，根据棱台的体积公式求解判断D.【详解】如图，分别是上,下底面中心，分别是棱中点，对于A，由已知可得每个侧面等腰梯形的面积为，所以梯形的高为，由此可得该正六棱台的高为，错误；对于B，由正棱台的性质及二面角的概念可知，侧面与下底面的夹角为，因为在直角梯形中，，，所以，易知为锐角，所以，正确；对于C，由正棱台的性质及二面角的概念可知，侧棱与下底面所成角为，在直角梯形中，，得，所以，正确；对于D，该棱台上底面面积，下底面面积，故棱台的体积为，正确.故选：BCD11.已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（）A. B.是奇函数C. D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A，令可判断，对于B，分别令和可判断，对于C，令，可判断，对于D，令，通过累加可判断；【详解】对于A，令可得：，所以，正确；对于B，令，可得：，令可得：，即，所以，即是奇函数，正确；对于C：令，可得，由B可得：，所以，C错误；对于D，令，可得：，所以所以，，,累加可得：所以，化简可得：，当时，代入可得满足，所以，则，故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于D，令，再累加求和；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若（为正常数）的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中的常数项为__________．【答案】24【解析】【分析】通过赋值，求得，进而可求解；【详解】令，由题意可得且，解得：，由通项公式可知：展开式中的常数项为.故答案为：2413.已知函数在上的最小值为，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】通过换元，问题转换成在可取到，进而可求解；【详解】由，可得：，令由题意可知：在可取到，结合余弦函数的性质可知需满足：，解得，所以的最小值为，故答案为：14.某商场举行有奖问答游戏，每名参加者要依次回答若干道题，若连续答对两题则结束游戏，并获得奖品，若连续答错两题也结束游戏，但不能获得奖品，只要没有出现连续答对或连续答错的情况，就继续答题．已知小明答对每道题的概率都为，则小明获得奖品的概率为__________．【答案】【解析】【分析】设表示当前已答对最后一题的情况下获得奖品的概率；表示当前已答错最后一题的情况下获得奖品的概率；由题意确定，的等式关系，求解即可；【详解】设表示当前已答对最后一题的情况下获得奖品的概率；表示当前已答错最后一题的情况下获得奖品的概率；由题意可得：，解得：，，所以小明获得奖品的概率为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角所对的边分别为，已知．（1）求；（2）若，求外接圆半径的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式化简得，根据正弦函数的性质及特殊角的余弦值可得；（2）由正弦定理得外接圆的半径，利用余弦定理结合基本不等式可得，即可得解.【小问1详解】由正弦定理及可得，，因为，所以，所以，因为，所以；小问2详解】由题意得三角形外接圆的半径，要使外接圆的半径最小，只需最小，又因为，则由余弦定理得，当且仅当时取等号，此时，所以，即外接圆半径的最小值为.16.如图，将等腰直角三角形沿斜边上的中线翻折，得到四面体．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由即可求证；（2）建系求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；【小问1详解】由为等腰直角三角形斜边上的中线，可得：，也即，又为平面内两条相交直线，所以平面；【小问2详解】由，可得，所以，所以，因为平面，以为坐标原点，以为轴和轴，过在平面作的垂线为轴建系，易知，则设平面的法向量为，则，即，令，可得：，所以，易知平面一个法向量为，设平面与平面夹角为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为；17.已知双曲线的焦距为，过点的直线与交于两点，且当轴时，．（1）求的方程；（2）若点都在的左支上，且以为直径的圆与轴相切，求的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意列出关于，的方程，解出即可得结果；（2）设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理利用直线与双曲线交于左支求出，根据弦长公式求出，再根据以为直径的圆与轴相切建立方程即可求解．【小问1详解】因为当轴时，，所以点在曲线C上，所以，又的焦距为，所以，所以，解得（负根舍去），所以，所以的方程为；【小问2详解】由题知，直线l的斜率一定存在，设直线的方程为，，联立，消并整理得，因为直线与的左支交于两点，所以，解得，所以，且，因为以为直径的圆与轴相切，所以，所以，所以，结合，所以，解得，即的斜率为.18.已知函数．（1）若曲线在点处的切线平行于直线．求；（2）若且函数只有一个极值点.求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列方程求解即可；（2）化简得，根据和分类讨论单调性，时，在上单调的递增，不存在极值；时，利用导数研究其单调性，结合极值点的定义即可求解；（3）参变分离得，设，则，同构后换元，利用导数法求得的最小值为0，即可求解，【小问1详解】由题意，得，则，由题意，解得；【小问2详解】当时，，，令，则，当时，，则在上单调的递增，所以函数不存在极值；当时，令即，得，令，则恒成立，则在上单调的递增，又，，所以存在唯一的，使得，当时，，即，所以函数单调递减，当时，，即，所以函数单调递增，所以仅在处取到极小值，符合题意.综上，函数只有一个极值点时，实数的取值范围为.【小问3详解】由，参变分离得，设，则，因为，所以，令，因为，所以，设，则，，当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以，即的最小值为0，即，所以，即，故实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19.在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球．则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，放回两个黑球取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球．（1）求第1轮试验成功的概率；（2）某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例；（3）记试验结束时，试验成功的概率为，证明：．参考数据：．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）按照试验规则，分别求出直接摸出红球和先摸出黑球且试验成功的概率，然后利用互斥事件概率加法公式求解即可；（2）先根据给定的回归方程相关公式计算出，从而求出经验回归方程，再根据试验轮数足够大时x的变化趋势预测试验成功志愿者的比例；（3）通过对试验成功概率的递推关系进行分析，利用放缩法证明即可.【小问1详解】第1轮试验中有1个红