江苏省无锡市江阴市第二中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测 数学试题（含解析）

2024-2025学年度春学期三月份阶段性检测试卷高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数在处的导数存在，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义求得正确答案.【详解】.故选：D2.若函数的导数为，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则即可求解.【详解】由函数，则.故选：B【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，需熟记公式以及导数的运算法则，属于基础题.3.已知是的导数，的图象如图，则的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导函数的正负及变化规律即可判断.【详解】由的图象可知，，所以的图象单调递增，因为的值先增大后减小，所以的切线的斜率先增大后减小，根据图象可判断A正确.故选：A.4.用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径r的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】球的体积公式为，对其求导并代入计算即可【详解】由球的体积公式可得，得，所以时，体积关于半径的瞬时变化率为，故选：.5.是函数的导数，函数是增函数（是自然对数的底数），与的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数是增函数，可得，化简后可得答案【详解】令，则，因为是增函数，所以，所以，所以，故选：D6.已知定义在上的函数的导数为，对任意的满足，则下列判断错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知等式构造新函数，利用新函数的单调性逐一判断即可.【详解】设，所以函数是实数集上的增函数.A：因为函数是实数集上的增函数，所以有，所以本选项判断正确；B：因为函数是实数集上的增函数，所以有，所以本选项判断正确；C：因为函数是实数集上的增函数，所以有，所以本选项判断正确；D：因为函数是实数集上的增函数，所以有，因为不能判断的正负性，所以不能判断之间的大小关系，因此本选项判断不正确，故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键是利用构造新函数，进而利用新函数的单调性进行判断.7.已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得出在区间上恒成立，利用分离参数思想化为在上恒成立，求出的取值范围即可．【详解】∵函数在区间上为单调递增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，由于函数在上单调递减，所以，即实数的取值范围是，故选：D8.设，，，则，，的大小顺序为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．【详解】因为，，故构造函数，则，令，解得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，又因为，，所以，．因为，又，所以，即，故，故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据求导公式、运算法则和简单复合函数的求导依次计算，即可求解.【详解】A：，故A正确；B：，故B错误；C：，故C正确；D：，故D正确.故选：ACD10.下列命题中是真命题有（）A.若，则是函数的极值点B.函数的切线与函数可以有两个公共点C.函数在处的切线方程为，则当时，D.若函数的导数，且，则不等式的解集是【答案】BD【解析】【分析】利用极值点定义，举例判断A；举例判断B；利用导数的极限定义判断C;构造函数，利用单调性解不等式.【详解】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误；B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；C：根据导数的定义可知，，即，，故错误；D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；故选：BD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在区间上单调递增 B.的最小值为C.方程的解有个 D.导函数的极值点为【答案】ABD【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项.【详解】因为，该函数的定义域为，，令，可得，列表如下：减极小值增且当时，；当时，，作出函数的图象如下图所示：对于A选项，在区间上单调递增，A对；对于B选项，的最小值为，B对；对于C选项，方程的解只有个，C错；对于D选项，令，该函数的定义域为，，令，可得；令，可得.所以，函数的单调递减区间为，递增区间为，所以，函数的极值点为，D对.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知曲线与直线相切，则实数______．【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，对函数进行求导，根据导数的几何意义求出的值，代入曲线即可得切点坐标，将切点代入切线即可得的值.【详解】设切点坐标为，∵，∴，又∵曲线与直线相切，∴，解得，∴，即切点坐标为，可得，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义、切线方程，即函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，切点既在曲线上又在切线上，即切点坐标满足曲线方程，切点坐标满足切线方程，属于基础题．13.函数的单调递增区间是__________.【答案】【解析】【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间.【详解】因为，则其定义域为，，令，即可得，解得，结合函数定义域可知，函数的单调增区间为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求解函数单调性，属基础题；本题的易错点是没有注意到函数的定义域.14.三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现：任意一个三次函数都有“拐点”，任意一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.将这一发现作为条件，则对于函数，它的图象的对称中心为_______；_______.【答案】①.②.【解析】【分析】解方程可求得函数的对称中心坐标，计算出，利用倒序相加法可求得结果.【详解】，，则.令，得，又，故函数的图象的对称中心为，设为函数的图象上任意一点.因为函数的图象的对称中心为，所以，点P关于的对称点也在的图象上，所以，，则，因此，.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的图象在点处的切线为．（1）求函数的解析式;（2）若曲线在点P处的切线与直线垂直，求点P的横坐标．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再利用切线方程求出即可；（2）由两直线垂直得到斜率关系，再利用导数的意义求解即可；【小问1详解】函数，，在点处的切线为，解得，所以【小问2详解】设，则由题可知，即，所以P的横坐标为2．16.已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最大值．【答案】（1）单调递增区间为；递减区间为（2）【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性；（2）根据函数的单调性求最值.【小问1详解】易知函数的定义域为，令，得或，令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴函数的单调递增区间为；递减区间为.【小问2详解】由（1）得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以.17.设函数的导数满足，.（1）求的单调区间；（2）在区间上的最大值为，求的值.（3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.【答案】（1）递增区间为，递减区间为，（2）（3）【解析】【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间；（2）利用导数求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值.（3）根据的单调性求得极值，令极大值大于，极小值小于，解不等式即可求的范围.【小问1详解】由可得，因为，，所以，解得：，，所以，，由即可得：，由即可得：或，所以的单调递增区间为，单减区间为和.【小问2详解】由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，，，则在区间上的最大值为，所以.【小问3详解】由（1）知当时，取得极小值，当时，取得极大值，若函数的图象与轴有三个交点，则得，解得，即的范围是.18.已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).（1）当a＝时，求f(x)的极值；（2）讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.【答案】（1）f(x)极大值＝ln2－1，无极小值；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）当a＝时，f(x)＝lnx－x，求导得到f′(x)＝－＝，然后利用极值定义求解.（2）由（1）知，函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0)，然后分a≤0和a>0两种情况讨论求解.【详解】（1）当a＝时，f(x)＝lnx－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值.（2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0).当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a>0时，当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，故函数在x＝处有极大值.综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.【点睛】本题主要考查导数与函数的极值以及极值点的个数问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，