山西省2024−2025学年高二上学期1月期末数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页山西省2024−2025学年高二上学期1月期末数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若3，，27成等差数列，则（

）A．9 B．15 C． D．2．过点且与直线垂直的直线的方程是（

）A． B．C． D．3．如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（

）A． B．C． D．4．已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（

）A． B． C． D．5．已知函数，则（

）A． B． C． D．6．已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．9 B．8 C．7 D．67．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（

）A． B．2 C． D．1二、多选题（本大题共3小题）9．已知双曲线，则（

）A．双曲线的实轴长为8 B．双曲线的虚轴长为3C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（

）A． B．C． D．11．已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（

）A． B．是等比数列C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知函数，则．13．已知等差数列的前项和为，且，，则取得最小值时，．14．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知等差数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．16．已知函数的图象在点处的切线与直线平行．(1)求的值；(2)求函数在区间上的极值与最值．17．如图，平面平面，四边形是正方形，．(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．18．已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点．①求直线的斜率之积；②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．19．已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为0．(1)求的值；(2)证明：对；(3)已知数列的前项和，证明：．

参考答案1．【答案】B【详解】若3，，27成等差数列，则，解得.故选：B.2．【答案】D【详解】直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即.故选：D.3．【答案】C【详解】.故选：C.4．【答案】B【详解】∵，，∴两圆方程相减得，，化简得.故选：B.5．【答案】D【详解】设，则，∴，即，∴.故选：D.6．【答案】C【详解】设等比数列的公比为，由，显然，则，即，所以，所以.故选：C.7．【答案】A【详解】函数定义域为，，因为函数在定义域内单调递增，所以,所以在恒成立，所以设，所以单调递减；单调递增；所以，所以.故选：A.8．【答案】B【详解】设，因为在第一象限，且直线的倾斜角为，所以，设机器人甲在点处追上机器人乙，由机器人甲的速度是机器人乙的3倍，得，所以，化简可得，所以点在以为圆心，为半径的圆上.若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则圆在竞技区（含直线）内，即直线与圆相切或相离，又点到直线的距离，所以，解得或，当时，在安全区，不满足要求，所以，即长度的最大值是2.故选：B.9．【答案】AD【详解】由得双曲线中，∴，∴实轴，虚轴，故A选项正确，B选项错误；离心率，故C选项错误；渐近线方程，则斜率为，故故D选项正确.故选：AD.10．【答案】ABC【详解】A.定义域为，，，故A正确.B.定义域为，，，故B正确.C.定义域为，，，故C正确.D.定义域为，，，当时，，故D错误.故选：ABC.11．【答案】AC【详解】对于A：由，可得：，所以：，所以，正确，对于B：所以，即是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以则，不是等比数列，错误；对于C：数列的第106项为213，又，，，，，，，所以，所以的前项和为，C对，D错；故选：AC12．【答案】/0.25【详解】∵，∴，∴.故答案为：.13．【答案】9【详解】由可得，其中为公差，由可得，因此，根据等差数列的性质得：当时，；当时，.因此当时，取得最小值，故答案为：.14．【答案】或【详解】因为抛物线经过点，所以，所以，圆的圆心为，半径为，设直线的斜率为，则直线的方程为，代入可得，设、，则，所以，所以，所以，所以，所以，即得解得.故答案为：或.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，由，得，所以，所以．（2）由（1）知，所以16．【答案】(1)(2)极小值为，极大值为，最大值为12，最小值为．【详解】（1）由，得，．所以．因为函数的图象在点处的切线与直线平行，所以，即，解得．（2）由（1），得，令，解得，或．当变化时，的变化情况如下表所示：100单调递减单调递增单调递减因此，当时，有极小值，且极小值为，当时，有极大值，且极大值为．又，所以函数在区间上的最大值为12，最小值为．17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．因为四边形是正方形，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）知平面，又平面，所以，又四边形是正方形，所以，所以两两垂直．以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的法向量为，则令，得，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，得，，所以平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为．18．【答案】(1)(2)①；②恒过点．【详解】（1）由，得，解得，设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得，又，所以椭圆的标准方程为；（2）①由题意，得，设，由在椭圆上，得，即，所以，即直线的斜率之积为．②设，若直线的斜率为0，则关于轴对称，所以，又直线的斜率是直线的斜率的3倍，所以，即，由不在轴上，得，与矛盾，所以直线的斜率不为0．设直线的方程为，由，得，所以，且，由①知，又，所以，所以，即，化简，得，将代入上式并化简，得即，解得或，当时，与矛盾，舍去，当时，满足所以直线恒过点．19．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）由，得，因为函数的极值点为0，所以，解得．若，当时，单调