陕西省榆林市第十中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试卷（含解析）

高二数学第二学期开学考试（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在1和31之间插入14个数，使它们与1，31组成公差大于零的等差数列，则该数列的公差为（）A. B.30 C.－2 D.2【答案】D【解析】【分析】分别对这16个数对应等差数列的前16项，结合等差数列的性质即可求解.【详解】设16个数对应公差为的等差数列的前16项，则由题意可知，，，故，解得，.故选：D.2.设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是（）A.的极大值为，极小值为B.极大值为，极小值为C.的极大值为，极小值为D.的极大值为，极小值为【答案】C【解析】【分析】由图，根据的符号，判断出的符号，从而得到的单调性，找出的极值.【详解】由图象可知，当和时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.所以在，上单调递减；在上单调递增；所以的极小值为，极大值为.故选：C.3.已知数列满足，则（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】根据递推关系求出前几项可得出数列为周期数列即可得解.【详解】因为数列满足，所以，所以，所以是周期为3的周期数列，又，所以．故选：A．4.已知是的极值点，则在上的最大值是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】对函数求导根据极值点处导数为0，解出，分析导数正负，确定函数单调性，比较极大值和端点处的函数值，从而确定答案即可.【详解】由题意,且则,当时,单调递减;当或时,单调递增,在上,单调递增;单调递减,又因为，所以，所以，在上最大值是,故选：A.5.已知函数的导数为，若有，则A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求导，然后令即可算出答案.【详解】因为，所以，令，所以．故选：A．6.已知各项均为正数的等比数列中，，，则（）A.25 B.20 C. D.10【答案】C【解析】【分析】由已知条件结合等比数列的性质可得，再利用等比数列的性质可求得结果.【详解】设公比为，因为数列为正项等比数列，所以，，所以，所以，所以，故选：C7.原始的蚊香出现在宋代，根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，收贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫.”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有9个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画圆弧，除了A点外，每画一圈增加2个交点，求出要画的圈数，计算每段弧长，根据规律求和即可.【详解】由题意除了A点外，每画一圈增加2个交点，所以9个交点至少要画圈，每圈是3段弧，每段弧的半径增加1个单位.记增加的弧的长度组成数列，则，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以有9个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为.故选：A.8.已知函数，若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由导数确定的单调性，由奇偶性变形，利用指数函数和对数函数性质比较自变量的大小后可得函数值大小．【详解】，在上减函数，，是奇函数，所以，，，所以，所以，即，故选：D．【点睛】思路点睛：本题考查比较函数值的大小，解题方法是利用导数确定函数的单调性，利用奇偶性变形函数值的表示形式，然后由指数函数和对数函数性质比较自变量的大小，从而得函数值的大小．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分.9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知题意，探索递推规律，由规律得通项，由此判断选项.【详解】由题意得，第层有个球，.即，，，，因为，所以，A正确；由，当时，，故B错误，C正确；由，D正确；故选：ACD.10.已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（）A.为等差数列 B. C. D.当时，有最大值【答案】AD【解析】【分析】根据等差数列的定义判断出为等差数列，求出、逐项判断可得答案.【详解】由得，且，所以是以首项为公差为的等差数列，故A正确；所以，故B错误；，故C错误；，因为时，所以当时有最大值，为，故D正确.故选：AD.11.设函数，则（）A.当时，的极大值大于0B.当时，无极值点C.，使在上是减函数D.，曲线的对称中心的横坐标为定值【答案】BD【解析】【分析】对于A，利用导数求出函数的单调区间，再根据极大值即可判断；对于B，由恒成立即可判断；对于C，由解集能否为即可判断；对于D，求出图象的对称中心即可判断D.【详解】对于A，当时，，求导得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，极大值为，故A错误；对于B，，当时，，即恒成立，函数在上单调递增，无极值点，故B正确；对于C，要使在上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为，故C错误；对于D，由，得曲线的对称中心的坐标为，故D正确.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.为鼓励外出人员返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”，帮扶返乡创业人员.五年内，预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成数列（单位：万元），且第一年投入“创业资金”3（万元），以后每年投入的“创业资金”为上一年的2倍，则该镇政府帮扶五年累计总投入的“创业资金”为___________万元.【答案】93【解析】【分析】利用等比数列求和公式即得.【详解】由已知，可知数列是首项为3，公比为2的等比数列，所以.故答案为：93.13.已知曲线在点处的切线方程为，则_____【答案】【解析】【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出，再由切点坐标，即可求出结果.【详解】因为的导数为，又函数在点处的切线方程为，可得，解得，又切点为，可得，即.故答案为：.14.一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于一个常数，则称此数列为等和数列，这个常数叫做等和数列的公和，设等和数列的公和为2，前项和为，若，则___________.【答案】【解析】分析】由题意可得，分组求和，从而可求出.【详解】，，．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足：，，的前项和为．（1）求和；（2）令，，求证数列是等差数列．【答案】（1）；；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质求出等差数列的首项与公差，再利用等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解.（2）利用等差数列的定义即可证明.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，则，所以，又，则，解得，所以，解得，所以，.（2）由（1）可得，，所以数列是等差数列.【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的通项公式、前项和公式、等差数列的定义，需熟记定义，属于基础题.16.已知函数．（1）若a=1，求函数y=f(x)的单调区间；（2）求证：当a>0时，函数f(x)的最小值小于零．【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导函数的正负来求解函数的单调区间，（2）对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可得，构造函数，利用导数求出其最大值，只有的最大值小零即可【详解】解：（1）函数f(x)的定义域为．当a=1时，，．当时，解得x>1，函数y=f(x)的单调增区间为，当时，解得x<1，函数y=f(x)的单调减区间为，故函数的单调增区间为；单调减区间为；（（2）．由，解得．当时，，函数f(x)单调递减；当时，单调递增，所以．令，则，令，解得．当时，，函数h（a）在区间（0，1）上单调递增；当时，，函数h（a）在区间上单调递减；所以a=1时，，所以．17.记是等差数列的前n项和，若，（1）求的通项公式，并求的最小值；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1），-36；（2）【解析】【分析】（1）求出，再求出，2，3，4时，时，，即得解；（2）对分和两种情况讨论得解.【小问1详解】解：设的公差为d，则，，

，，

由得，，

，2，3，4时，时，，

的最小值为【小问2详解】解：由知，当时，时，，

，

当时，

当时，，18.在①；②；③三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答.已知数列的前项和为，且，_____.（1）求；（2）设，求数列的前项和.注:如果选捀多个条件解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若选①：由已知等式可得，从而证得数列为等比数列，结合等比数列通项公式可推导得到；若选②，利用与的关系直接求解即可得到结果；若选③，由与的关系可整理得到，从而证得数列为等比数列，结合等比数列通项公式可推导得到；（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得.【小问1详解】若选条件①：由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，则；若选条件②：当时，，经检验：满足；；若选条件③：当时，，整理可得：，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，则.【小问2详解】由（1）得：，，，，.19.若函数.（1）判断方程解的个数，并说明理由；（2）当，设，求的单调区间.【答案】（1）仅有一个，理由见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题可得，进而可得函数的极大值为，即得；（2）由