3.1.1 椭圆的标准方程（同步课件含动画演示）

第3章圆锥曲线3.1.1椭圆的标准方程高教社数学拓展模块一（修订版）（上册）目录ONTENTSC情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一，它位于人民大会堂的西侧．观察上图，国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业可以看出，图中的轮廓线是一条优美的封闭曲线，人们称之为椭圆．那么，如何画出一个椭圆呢？情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业我们可以通过一个实验来完成．（1）准备一个画板、一条定长的细绳、两枚图钉和一支笔；（2）将绳子的两端固定在画板上的F1和F2两点，并使绳长大于F1到F2的距离；（3）用笔尖将细绳拉紧，保持笔杆与画板垂直，笔尖在画板上慢慢移动，就画出一个椭圆，如视频所示．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为椭圆的焦距．显然，笔尖（即点M）移动时，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点F1和F2的距离之和始终等于绳长（常数）．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

1970年4月24日，我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红一号”顺利升空,开创了中国航天史的新纪元，使我国成为全球第五个独立研制并发射人造地球卫星的国家．如图所示,它的预定运行轨道是以半径约为6371km的地球的中心F1为一个焦点的椭圆，近地点A

距离地球441km，远地点B距离地球2368km．那么，如何求出这颗卫星预定运行轨道的椭圆方程呢？

我们知道，通过建立合适的平面直角坐标系，可以求出直线和圆的方程．那么，是否可以建立恰当的平面直角坐标系来求出椭圆的方程呢？情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业设椭圆焦距为2c(c>0),则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)．容易看出，椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形．因此，以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

两边再平方，整理得a4+c²x²=a²x²+a²c²+a²y²，

移项并整理得(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²)

．

由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以a²-c²>0．令a²-c²=b²得(b>0)，则上式可化为并整理得b²x²+a²y²=a²b²

．

情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

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焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程

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__________________________图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)温馨提示情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

解：（1）由于2c=6，2a=10，故c=3，a=5，从而b²=a²-c²=16.

情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业例2.求“情境与问题”中“东方红一号”卫星预定运行轨道的标准方程．

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于是有c²=a²-b²=2．

解:（1）因为6>4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a²=6，b²=4．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

于是有c²=a²-b²=4-3=1．

因为4>3，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a²=4，b²=3．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

解:由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a(a>0)，其中|PF1|=6．

又由椭圆的标准方程知，a²=100，a=10．于是有6+|PF2|=2a=20，即|PF2|=14．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业1.根据下列条件，求椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业1.根据下列条件，求椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索新知典例