2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之等腰三角形

第22页（共22页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之等腰三角形一．选择题（共5小题）1．（2024秋•巢湖市期末）如图，AD，BE分别为△ABC的高线和角平分线，AF⊥BE于点F．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°2．（2024秋•海曙区期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（）A．8 B．10 C．4或8 D．6或103．（2024秋•锦江区校级期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝48°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．22° B．23° C．24° D．25°4．（2024秋•高邮市期末）如图，已知AD平分△ABC中的∠BAC，过点D作AD⊥BD，点E是边AC的中点，连接若DC＝AC＝4，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（）A．6 B．8 C．10 D．125．（2024秋•仓山区期末）如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（）A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E二．填空题（共5小题）6．（2024秋•海曙区期末）如图△ABP，∠B＝45°，∠APB＝120°，延长BP至C，连接AC．（1）若PC＝PA，则∠C＝；（2）若PC＝2PB，则∠C＝．7．（2024秋•江都区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为．8．（2024秋•丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝度．9．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，已知点M是等边三角形ABC的边AB上的一点，若∠AMC＝103°，则在以线段AM，BM，CM为边围成的三角形中，最小内角的度数为°．10．（2024秋•合川区期末）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边的中点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥DE交AC于点F，若BE＝2，则AF的长为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•巢湖市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，D在边AC上，AD＝BD＝BC，求∠DBC的度数．12．（2024秋•长沙期末）已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ．13．（2024秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．14．（2024秋•钢城区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，∠A＝40°，ED垂直平分AB，点D为垂足，交AC于点E，连接BE．（1）求△EBC的周长；（2）求∠EBC的度数．15．（2024秋•平潭县期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之等腰三角形参考答案与试题解析题号12345答案BBCBA一．选择题（共5小题）1．（2024秋•巢湖市期末）如图，AD，BE分别为△ABC的高线和角平分线，AF⊥BE于点F．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠BAC=12×（180°﹣∠C）=12×（180°﹣40°）＝70°，根据角平分线的定义得到∠ABE【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝40°，∴∠ABC＝∠BAC=12×（180°﹣∠C）=12×（∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC＝∴∠AEB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABE＝75°，∵AF⊥BE，∴∠AFE＝90°，∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝15°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．2．（2024秋•海曙区期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（）A．8 B．10 C．4或8 D．6或10【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长＝2+4+4＝10，综上所述，它的周长是10．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．3．（2024秋•锦江区校级期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝48°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．22° B．23° C．24° D．25°【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】由平行线的性质推出∠DFE＝∠BAE＝48°，由等腰三角形的性质得到∠C＝∠E，由三角形的外角性质求出∠E=12∠DFE＝【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝48°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠C+∠E＝∠DFE，∴∠E=12∠DFE＝故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，关键是由平行线的性质推出∠DFE＝∠BAE，由等腰三角形的性质得到∠C＝∠E．4．（2024秋•高邮市期末）如图，已知AD平分△ABC中的∠BAC，过点D作AD⊥BD，点E是边AC的中点，连接若DC＝AC＝4，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】B【分析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O，根据垂直定义得到∠ADB＝∠ADH＝90°，求得∠ABD＝∠H，得到AB＝AH，根据等腰三角形的性质得到BD＝DH，推出∠CDH＝∠H，求得CD＝CH＝AC，推出当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12×4×4＝【解答】解：延长BD交AC于点H，设AD交BE于点O，∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE=14S△ABH，S△CDH=14∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝4，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12×4×4＝∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为8，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（2024秋•仓山区期末）如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（）A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E【考点】等腰三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【答案】A【分析】根据等腰三角形的判定解决问题．【解答】解：如图，△ABC是等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•海曙区期末）如图△ABP，∠B＝45°，∠APB＝120°，延长BP至C，连接AC．（1）若PC＝PA，则∠C＝60°；（2）若PC＝2PB，则∠C＝75°．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先根据平角的定义求出∠APC＝60°，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可；（2）如图所示，过点C作CE⊥AP于E，连接BE，求出∠PCE＝30°得到PC＝2PE，可以推出PB＝PE，则∠PBE＝∠PEB＝30°，证明∠EBC＝∠ECB，得到CE＝BE，证明∠ABE＝∠BAE＝15°，得到BE＝AE，即可推出AE＝CE，则∠ACE＝∠CAE＝45°，从而得到∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°．【解答】解：（1）∵∠APB＝120°，∴∠APC＝180°﹣∠APB＝60°，∵PC＝PA，∴∠PAC故答案为：60°；（2）如图所示，过点C作CE⊥AP于E，连接BE，∵∠APB＝120°，∴∠APC＝180°﹣∠APB＝60°，∴∠PCE＝180°﹣∠PEC﹣∠EPC＝30°，∴PC＝2PE，∵PC＝2PB，∴PB＝PE，∴∠PBE∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBP＝15°，∠EBC＝∠ECB，∴CE＝BE，∠BAE＝∠BEP﹣∠ABE＝15°，∴∠ABE＝∠BAE＝15°，∴BE＝AE，∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠CAE＝45°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．7．（2024秋•江都区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为15．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】15．【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，∵腰长AB＝AC＝6，∵底边BC的长为12，∵6+6＝12，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，∵腰长AB＝AC＝6，∴底边BC的长为3，∴△ABC的周长为：6+6+3＝15，综上所述：△ABC的周长为15，故答案为：15．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．8．（2024秋•丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝12度．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】12．【分析】根据题意可判断出AD为角平分线，所以∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE．【解答】解：在△ABC中，D为BC中点，AB＝AC，∠BAD＝24°，BD＝DC，∴AD为角平分线，AD⊥BC；又∵AD＝AE，∠DAE＝24°，∴∠ADE＝78°又∵AD⊥BC，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣78°＝12°．故答案为：12．【点评】本题考查了等腰三角形的中线、高和垂线三线合一的性质，以及角的度量运算．得到AD⊥BC是正确解答本题的关键．9．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，已知点M是等边三角形ABC的边AB上的一点，若∠AMC＝103°，则在以线段AM，BM，CM为边围成的三角形中，最小内角的度数为17°．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】三角形；推理能力．【答案】17．【分析】将△CBM绕点C顺时针60°旋转得到△CAQ，可得以AM，BM，CM线段为边的三角形，即△AMQ，最小的锐角为∠AQM，根据邻补角以及旋转的性质得出∠CQA＝∠CMB＝77°，进而即可求解．【解答】解：如图所示，将△CBM绕点C顺时针60°旋转得到△CAQ，∴CM＝CQ，∠MCQ＝60°，BM＝AQ，∠AQC＝∠BMC，∴△CMQ为等边三角形，∴MQ＝CM，∴以AM，BM，CM线段为边的三角形，即△AMQ，最小的锐角为∠AQM，∵∠AMC＝103°，∴∠CMB＝180°﹣103°＝77°，∴∠CQA＝∠CMB＝77°，∴∠PQC＝77°﹣60°＝17°．故答案为：17．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．10．（2024秋•合川区期末）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边的中点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥DE交AC于点F，若BE＝2，则AF的长为4．【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．【答案】4．【分析】证得△BDE为含30度角的直角三角形，△CDF为等边三角形，△ADF为等腰三角形，进而得到AF＝DF＝CD＝BD＝2EB，即可得解．【解答】解：在等边三角形ABC中，D为BC边的中点，∴∠B＝∠C＝60°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD，∵DE⊥AB交AB于点E，∴∠EDB＝30°，∴BD＝2BE，∵∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝60°，∵DF⊥DE交AC于点F，∴∠ADF＝∠EDF﹣∠ADE＝30°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝60°，∠ADF＝∠DAF，∴DF＝AF，∠DFC＝180°﹣∠FDC﹣∠FCD＝60°，∴△CDF为等边三角形，∴AF＝DF＝CD＝BD＝2EB，∵BE＝2，∴AF＝4，故答案为：4．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•巢湖市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，D在边AC上，AD＝BD＝BC，求∠DBC的度数．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】36°．【分析】根据等腰三角形的性质、三角形外角性质及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝72°，∴∠DBC＝180°﹣72°﹣72°＝36°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质，熟练运用有关定理是解答本题的关键．12．（2024秋•长沙期末）已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ．【考点】等腰三角形的性质．【专题】证明题．【答案】见试题解答内容【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO＝CO，PO＝QO，根据等式的性质，可得答案．【解答】证明：过点A作AO⊥BC于O．∵AB＝AC，AO⊥BC∴BO＝CO∵AP＝AQ，AO⊥BC∴PO＝QO∴BO﹣PO＝CO﹣QO∴BP＝CQ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解题关键．13．（2024秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】计算题；证明题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中BE=∴△DBE≌△ECF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B=12（180°﹣40°）＝∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．14．（2024秋•钢城区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，∠A＝40°，ED垂直平分AB，点D为垂足，交AC于点E，连接BE．（1）求△EBC的周长；（2）求∠EBC的度数．【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）16；（2）30°．【分析】（1）由于ED垂直平分AB，所以AE＝BE，三角形EBC的周长等于BE+EC+BC．由于AE＝BE，周长也可以表示为AE+EC+BC，即AC+BC．已知AC＝10，BC＝6，所以周长为10+6＝16．（2）根据线段的垂直平分线的性质写出答案即可．【解答】解：（1）∵ED垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝10+6＝16；（2）∵ED垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠A＝∠ABE＝40°，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°；∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°；【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．15．（2024秋•平潭县期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根据等边对等角可得：∠E＝∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数；（2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：∠DBC=12∠ABC=12×60°＝30°，结合（1）的结论可得：∠DBC＝∠E，然后根据等角对等边，可得：DB＝DE【解答】（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E=12∠ACB＝（2）证明：连接BD，∵等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC=12∠ABC=12由（1）知∠E＝30°∴∠DBC＝∠E＝30°∴DB＝DE又∵DM⊥BC∴M是BE的中点．【点评】此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质．

考点卡片1．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．2．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．3．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．4．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．5．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．6．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．7．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角