2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之分式方程

第15页（共15页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之分式方程一．选择题（共5小题）1．（2024秋•巢湖市期末）若关于x的分式方程2x+mA．m＞﹣6 B．m≠2 C．m＞﹣6且m≠2 D．m＞﹣6且m≠﹣42．（2024秋•普陀区期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A．3x+13=5C．-5x=13．（2024秋•裕华区期末）已知关于x的分式方程kx-2A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．34．（2024秋•中山市期末）解分式方程2xA．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1 C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+15．（2024秋•九龙坡区期末）初二1班同学们计划购进A，B两种水果送给社区养老院，其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元，用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍，求A种水果的售价？若设A种水果的售价为x元，则根据题意可列方程为（）A．240x×2=160x+4C．240x=160x二．填空题（共5小题）6．（2024秋•宝山区期末）如果x＝﹣1是关于x的方程1x+2x+1=ax7．（2024秋•宝山区期末）如果分式a-2ba-b的值为1，那么b8．（2024秋•普陀区期末）定义：如果一个关于x的分式方程ax=b的解是x=1a+b，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程2x=-4就是和解方程．已知关于x9．（2024秋•如东县期末）若关于x的分式方程2x+1-kx+1=1的解是负数，则10．（2024秋•浦东新区校级期末）对于代数式m和n，定义运算“⊗”：m⊗n=3m-n+4mn，例如：4⊗2=3×4-2+44×2=74，若（x+1）⊗（x﹣2）三．解答题（共5小题）11．（2024秋•藁城区期末）解方程：（1）22（2）2x12．（2024秋•合川区期末）解下列分式方程：（1）5x（2）3x13．（2024秋•邗江区校级期末）已知关于x的分式方程1-mx-14．（2024秋•垫江县期末）阅读下面材料，解答后面的问题解方程：x-解：设y=x-1x，则原方程化为：y-4y=0，方程两边同时乘解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y-4y=0的解，∴当y＝2时，x-当y＝﹣2时，x-1x=-2，解得：x=13，经检验：x∴原分式方程的解为x＝﹣1或x=1问题：（1）若在方程x-14x-xx（2）若在方程x-1x+1-4x（3）模仿上述换元法解方程：x-15．（2024秋•开福区校级期末）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成铺设任务．（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之分式方程参考答案与试题解析题号12345答案DADDD一．选择题（共5小题）1．（2024秋•巢湖市期末）若关于x的分式方程2x+mA．m＞﹣6 B．m≠2 C．m＞﹣6且m≠2 D．m＞﹣6且m≠﹣4【考点】分式方程的解．【答案】D【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．【解答】解：去分母，得2x+m＝3（x﹣2），2x+m＝3x﹣6，解得：x＝m+6，∵2x∴m+6＞0∴m＞﹣6，∵x≠2，∴m≠﹣4，∴m＞﹣6且m≠﹣4．故选：D．【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．2．（2024秋•普陀区期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A．3x+13=5C．-5x=1【考点】分式方程的定义．【专题】分式方程及应用；数感．【答案】A【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可．【解答】解：A中方程分母中不含未知数，它不是分式方程；B，C，D中方程符合分式方程的定义，它们是分式方程；故选：A．【点评】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．3．（2024秋•裕华区期末）已知关于x的分式方程kx-2A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【考点】分式方程的增根．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】D【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．【解答】解：去分母，得：k﹣3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程，可得：k＝3．故选：D．【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．4．（2024秋•中山市期末）解分式方程2xA．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1 C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】D【分析】根据解分式方程的方法，把分式方程转化为整式方程即可得出答案．【解答】解：2x方程两边同时乘（x﹣2），得2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1．故选：D．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．5．（2024秋•九龙坡区期末）初二1班同学们计划购进A，B两种水果送给社区养老院，其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元，用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍，求A种水果的售价？若设A种水果的售价为x元，则根据题意可列方程为（）A．240x×2=160x+4C．240x=160x【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】D【分析】根据用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍，列方程即可．【解答】解：设A种水果的进价为x元，则B种水果的进价为（x+4）元，由题意，得，240x=故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答时根据条件建立方程是关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•宝山区期末）如果x＝﹣1是关于x的方程1x+2x+1=ax【考点】分式方程的增根．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】﹣2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x＝﹣1代入整式方程计算即可求出a的值．【解答】解：分式方程去分母得：x+1+2x＝a，即3x+1＝a，∵x＝﹣1是关于x的方程1x∴把x＝﹣1代入3x+1＝a得到﹣3+1＝a，即a＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7．（2024秋•宝山区期末）如果分式a-2ba-b的值为1，那么b【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】0．【分析】让所给代数式的值为1，列式求解即可．【解答】解：由题意得：a-2方程两边都乘a﹣b得：a﹣2b＝a﹣b，解得：b＝0，经检验，b＝0是原分式方程的解，故答案为：0．【点评】本题考查了分式是值，解分式方程；掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．8．（2024秋•普陀区期末）定义：如果一个关于x的分式方程ax=b的解是x=1a+b，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程2x=-4就是和解方程．已知关于x【考点】解分式方程；分式方程的解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】20242025【分析】根据题意可得关于x的分式方程nx=2024-n的解是x=【解答】解：由题意可得关于x的分式方程nx=2024-n的解是则2024n＝2024﹣n，解得：n=2024故答案为：20242025【点评】本题考查解分式方程，分式方程的解，结合已知条件得到分式方程的解是解题的关键．9．（2024秋•如东县期末）若关于x的分式方程2x+1-kx+1=1的解是负数，则k的取值范围是k＞【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】k＞1且k≠2．【分析】首先根据解分式方程的步骤，求出关于x的分式方程2x+1-【解答】解：根据题意可知，化简分式方程可得，2﹣k＝x+1，解得：x＝1﹣k，∵1﹣k＜0，且1﹣k≠﹣1，∴k＞1且k≠2．故答案为：k＞1且k≠2．【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，掌握相应的运算法则是关键．10．（2024秋•浦东新区校级期末）对于代数式m和n，定义运算“⊗”：m⊗n=3m-n+4mn，例如：4⊗2=3×4-2+44×2=74，若（x+1）⊗（x﹣2）【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】﹣9．【分析】根据新定义运算，求得(x+1)⊗(，即得答案．【解答】解：∵(xAx∴A+∴2A﹣B＝﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•藁城区期末）解方程：（1）22（2）2x【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】（1）无解；（2）x=1【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：（1）原方程去分母得：2（2x+1）＝4，整理得：2x+1＝2，解得：x=1当x=12时，（2x+1）（2x﹣1）＝则x=1故原方程无解；（2）原方程去分母得：4x+2x+6＝7，解得：x=1检验：当x=16时，2x+6≠故原方程的解为x=1【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．12．（2024秋•合川区期末）解下列分式方程：（1）5x（2）3x【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】（1）x＝5；（2）x＝2．【分析】（1）先通过方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验整式方程的解是不是分式方程的解；（2）先通过方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验整式方程的解是不是分式方程的解．【解答】解：（1）原方程去分母得5+2（x﹣7）＝﹣（x﹣6），5+2x﹣14＝﹣x+6，2x+x＝6+14﹣5，3x＝15，x＝5，检验：当x＝5时，x﹣7≠0，∴x＝5是原分式方程的解；（2）方程组整理得3+x（x﹣3）＝（x﹣3）2，3+x2﹣3x＝x2﹣6x+9，x2﹣x2﹣3x+6x＝9﹣3，3x＝6，x＝2，检验：当x＝2时，x﹣3≠0，∴x＝2是原分式方程的解；【点评】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是关键．13．（2024秋•邗江区校级期末）已知关于x的分式方程1-mx-【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】m＜4且m≠3．【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）＝﹣2，解得x＝4﹣m．∵x为正数，∴4﹣m＞0，解得m＜4，∵x≠1，∴4﹣m≠1，即m≠3，∴m的取值范围是m＜4且m≠3．【点评】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．14．（2024秋•垫江县期末）阅读下面材料，解答后面的问题解方程：x-解：设y=x-1x，则原方程化为：y-4y=0，方程两边同时乘解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y-4y=0的解，∴当y＝2时，x-当y＝﹣2时，x-1x=-2，解得：x=13，经检验：x∴原分式方程的解为x＝﹣1或x=1问题：（1）若在方程x-14x-xx（2）若在方程x-1x+1-4x（3）模仿上述换元法解方程：x-【考点】换元法解分式方程．【专题】阅读型．【答案】见试题解答内容【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设y=x-1x+2，将原方程化为【解答】解：（1）将y=x-（2）将y=x-（3）原方程化为：x-设y=x-方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0解得：y＝±1，经检验：y＝±1都是方程y-当y＝1时，x-当y＝﹣1时，x-1x经检验：x=∴原分式方程的解为x=【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．15．（2024秋•开福区校级期末）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成铺设任务．（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】（1）原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米；（2）该公司原计划最多应安排10名工人施工．【分析】（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道（1+20%）x＝1.2x，根据原计划的时间＝实际的时间+20，列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）设该公司原计划应安排y名工人施工，根据工作时间＝工作总量÷工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过36万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可．【解答】解：（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道（1+20%）x＝1.2x米，∴48001.2∴x＝40，经检验x＝40是分式方程的解，∴1.2x＝48，则原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米，答：原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米；（2）设该公司原计划应安排y名工人施工，4800÷40＝120（天），∴300×120y≤360000，∴y≤10，则该公司原计划最多应安排10名工人施工．【点评】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．

考点卡片1．分式方程的定义分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．2．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．4．换元法解分式方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．5．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程