高中数学第一章算法初步1.3算法与案例人教版

1.3算法案例(列为选学)1/27学习目标1．经过案例体会算法思想．2．了解案例中算法用途．2/27

课堂互动讲练知能优化训练1.3算法案例(列为选学)课前自主学案3/27课前自主学案温故夯基1．在两个正数全部条约数中最大一个条约数为它们___________．如12和18最大条约数为__,4和20最大条约数为__.最大条约数644/272．当x＝2时，多项式f(x)＝x(x(x＋1)＋1)＋1值为___，加法与乘法共有__次运算．3．在度、分、秒互化中，其进制单位为___;在“分米”与“米”互化中，其进制单位为___.15560105/27知新益能1．辗转相除法是用于求两个正整数____________一个方法，这种算法由欧几里得在公元前300年左右首先提出，因而又叫欧几里得算法．2．所谓辗转相除法，就是对于给定两个正整数，用_______除以_______．若余数不为零,则将______________组成新一对数，继续上面除法，直到大数被小数除尽，则这时_______就是原来两个数最大条约数．最大公约数较大数较小数较小数余数和较小数6/273．更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍一个求两个正整数最大条约数方法．其基本过程是：对于给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，则用_________________，接着把所得___与_______比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得数_____为止,则这个数(等数)或这个数与约简数乘积就是所求最大条约数．较大数减去较小数差较小数相等7/274．秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他代表作《数学九章》中提出一个用于计算一元n次多项式值方法．5．进位制是人们为了计数和运算方便而约定记数系统．“满k(k是一个大于1整数)进一”就是_______，k进制基数是___.k进制k8/276．将k进制数化为十进制数方法是：先把k进制数写成用各位上数字与k幂乘积之和形式，再按照十进制数运算规则计算出结果．7．将十进制数化为k进制数方法是：___________，即用k连续去除十进制数或所得商直到商为零为止，然后把各步得到余数倒着写出就是对应k进制数．除k取余法9/27问题探究1．实际应用更相减损术时要做第一步工作是什么？提醒：先判断a，b是否全为偶数，若是，则先都除以2再进行．2．用秦九韶算法求x＝2时f(x)＝x3＋3x2＋x＋1值，第一个一次多项式值为多少？提醒：由秦九韶算法知f(x)＝[(x＋3)x＋1]x＋1.∴由内到外第一个一次多项式值为2＋3＝5.10/27课堂互动讲练求最大条约数考点一考点突破用辗转相除法求最大条约数时，相除余数为零时得结果，用更相减损术求最大条约数时，当被减数与差相等时普通它就是最大条约数．11/27

用辗转相除法求80和36最大条约数，并用更相减损术检验所得结果．【思绪点拨】按定义一步步递推．【解】辗转相除法：80＝36×2＋8,36＝8×4＋4,8＝4×2＋0.故80和36最大条约数是4.用更相减损术检验：例112/2780－36＝44，44－36＝8，36－8＝28，28－8＝20，20－8＝12，12－8＝4，8－4＝4，∴80和36最大条约数是4.13/27【思维总结】辗转相除法理论依据是：由m＝nq＋r能够看出m，n和n，r有相同条约数；更相减损术理论依据为：由m－n＝r,得m＝n＋r，能够看出，m，n与n，r有相同条约数，即二者“算理”相同．14/27设Pn(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，将其改写为Pn(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0…＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.然后由内向外依次计算．当多项式函数中出现空项时，要以系数为零齐次项补充．秦九韶算法及应用考点二15/27

用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x5＋8x4－3x3＋5x2＋12x－6当x＝2时值．例2【解】依据秦九韶算法，把多项式改写成以下形式：f(x)＝((((3x＋8)x－3)x＋5)x＋12)x－6，按照从内到外次序，依次计算当x＝2时一次多项式值．16/27v0＝3，v1＝v0×2＋8＝3×2＋8＝14，v2＝v1×2－3＝14×2－3＝25，v3＝v2×2＋5＝25×2＋5＝55，v4＝v3×2＋12＝55×2＋12＝122，v5＝v4×2－6＝122×2－6＝238.所以当x＝2时，多项式值为238.17/27【思维总结】利用秦九韶算法计算多项式值关键是能准确地将多项式改写，然后由内向外逐次计算．因为后项计算用到前项结果，故应认真、细心，确保每项计算结果准确性.18/27变式训练1已知f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1，求f(3)值．解：原多项式可化为f(x)＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，按照从内到外次序，依次计算一次多项式当x＝3时值：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，19/27v2＝3×3＋1＝10，v3＝10×3＋1＝31，v4＝31×3＋1＝94，v5＝94×3＋1＝283.所以，当x＝3时，f(3)＝283.20/27进位制考点三十进制数与非十进制数之间可相互转化．

完成以下进位制之间转化：(1)将本例(1)中十进制数30转化为二进制数;(2)将二进制数101111011(2)转化为十进制数．例321/27【思绪点拨】

(1)把一个十进制数转化为对应二进制数，用2重复去除欲被转化十进制数30，直到商为0为止，将各步所得余数倒着写出就是该十进制数30二进制表示．(2)这类问题是从这个数左边数字写起，写为1×2m或0×2m形式之和．22/27【解】(1)∴30(10)＝11110(2)．(2)101111011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379.23/27【思维总结】(1)将k进制转化为十进制方法是：先将这个k进制数写成各个数位上数字与k幂乘积之和形式，再按照十进制运算规则计算出结果．(2)十进制转化为k进制，采取除k取余法，也就是除基数，倒取余.24/27互动探究2将本例(1)中十进制数30转化为八进制数．解：30(10)＝36(8)．25/27方法感悟方法技巧1