基于可视化积件的数学文化教学策略研究

随着新课程改革的不断深入，将数学文化内容融入数学教学体系已受到教育界的广泛重视。开展数学文化教育是《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课标”）的要求，同时有利于学生进一步理解数学、开阔视野、培养科学探究精神。面对数学文化内容融入教学的挑战，GeoGebra（简称“GGB”）软件提供了有效的解决方案。笔者立足于2019年人教A版高中数学教材（以下简称“教材”），将数学文化内容进行重组和加工后，制作相应的可视化积件，采用多种嵌入方式，实现知识背景的意境化、研究对象的动态化、数学思维的可视化、自主探究的实践化等目标，旨在探索可视化积件嵌入数学文化教学的途径与方法，培养学生的几何直观素养和人文素养。一、可视化积件与数学文化（一）可视化积件可视化积件是指借助GeoGebra软件制作或录屏软件录制而成的“可看见”的动态数字化资源，具有可重复使用、灵活重组、开放可积等特点，包括ggb文件、微视频、微课、gif动画等积件类型。它们构成了一个多样化、系列性的可视化教学资源库。教师可根据教学需要自由选择、灵活重组，再将其嵌入教学的某个环节中。（二）数学文化课标提到，数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。可见，数学文化不仅包括数学成就、方法、典籍、史料等实体内容，而且包括数学家的观点、思想、精神、价值等意识形态内容，特别是数学家们孜孜不倦的研究精神和一代代数学家的薪火相传，及体现其中的社会责任感和历史担当。依据课标编写的教材中就蕴含着丰富的承载数学文化的教学内容。二、可视化积件的嵌入方式为了更好地开展数学可视化教学，笔者从教材中筛选出适合的数学文化内容，经过重组和加工后，借助GGB软件和录屏软件制作成贴合高中生认知特点的可视化积件。笔者采用多种嵌入方式，将数学史料从“抽象不可见”的自然状态转化为“知识背景意境化、研究对象动态化、数学思维可视化、自主探究实践化”的目标状态。这一做法旨在引导学生从“看见不可见”，到“想象不可见”，再到“理解不可见”进阶，从而培育学生的高阶思维能力，提升其几何直观素养和人文素养。笔者设计了可视化积件的嵌入方式（如图1），为同仁提供教学参考，为弘扬和传承数学文化贡献一份力量。（一）GGB文件插入式GGB文件是可视化积件的单元素材，也是可视化积件最重要的组成部分。GGB文件插入式适合教师一边操作一边解说，与学生共同探索规律的教学内容。例如，在推导“柱体、锥体、台体的体积公式”[1]过程中，需要在课前引入祖暅原理作为理论支撑。笔者利用GGB文件动态演示祖暅原理（如图2）：点击左下方的“复选框”，在斜棱柱和直棱柱间切换，拉动四个滑动条改变棱柱的边数、长方体的长宽高和三个几何体的底面积，从而实现“数与形”之间的联动。借助3D绘图区的立体图形，学生可以整体把握知识，观察右下方的“横截面平面视图”，可以了解相应截面形状的对应变化，而观察表格中截面面积和相应体积的数值，可使探究细致入微。相较于“教材”的“探究与发现”中以文字和插图呈现的形式，该可视化积件所展示的三者间的联系互动，更具有直观性和灵动性，更能有效推进“幂势既同，则积不容异”的深度理解。（二）微视频辅助式数学公理、定理和公式的形成是一个漫长而动态的过程，而教材呈现给我们的往往是浓缩的、静态的、结论性的内容。要想依托数学文化内容将课程讲出数学味和文化味，对教师的数学素养和数学文化视野有较高要求。鉴于此，我们不妨发挥团队合作的精神，分工录制可视化积件，共享数字化资源。例如，在介绍空间几何体时，补充《九章算术》中一些著名的几何体，如堑堵、阳马等。笔者先用GGB软件画出这些几何体，再用录屏软件录制，同时配上语音解说几何体的来源、结构特征、相互关系等，这样就可以在课件中直接插入这些微视频来辅助相关数学文化的教学。微视频辅助式不仅释放了一定的教学时间，还弥补了纯语言描述太过抽象和某些教师数学文化素养不足的缺憾（如图3）。不仅如此，微视频具有独特的视觉冲击力，能让学生拥有愉悦的情境体验，从而完成知识的吸收内化和高层次的思维认知，有效提升学生的数学文化素养。当然，对于一些只要求学生在连续变化中寻找规律或欣赏数学美的内容，如圆锥曲线的包络线、心形曲线等，笔者用ScreenToGif软件录制gif动画。如此，嵌入课件就能自动播放，而教师只需要作必要解说即可。（三）仿真试验探究式波利亚认为，数学既是一门具有系统性、严谨性的演绎学科，又是一门试验性的归纳学科。在数学发展史中有很多经典的数学试验，比如抛硬币、掷骰子、布丰投针、高尔顿钉板等。但限于条件，很多试验现象或规律不方便甚至无法在教学中通过真实试验来探究。借助信息技术开发的仿真模拟试验，能为学生创设真实的试验情境，并以此引发学生对数学问题的深入探索，轻松地解除有些试验在现实中难以操作的困惑。例如，教材中概率的定义是一种描述性的统计定义，即在试验次数足够多的前提下，频率趋近于概率，但学生因缺少体验而难以理解[2]。笔者借助GGB软件制作可视化积件来模拟抛硬币或掷骰子的试验（如图4），还原概率形成的真实过程，转变学生的学习方式，让学生在亲自操作过程中理解并认识大量重复试验的含义，发掘潜藏在数学表象下的规律，感悟数学建模的过程。（四）系列微课自助式笔者曾做过一项关于“数学文化融入高中数学学习”的调查，其中有一个问题是：“你比较喜欢下列哪种学习数学文化的方式？（不定项选择）”选项包括：A.教师在数学课堂上渗透；B.教师组织专题讲座或开设选修课程；C.学生自行检索相关书籍资料；D.学生依托系列微课自助学习；E.其他。本题有效填写人数为646人，调查结果如下。四个选项对应的人数、所占比例分别为：422、65.33%；250、38.7%；126、19.5%；348、53.87%。从调查结果来看，学生除了希望教师在课堂上渗透数学文化以外，也很希望借助系列微课自助学习。微课是一种学生喜闻乐见的自主学习数学文化的方式，若能将它作为课堂教学的补充，必然有助于学生了解知识的来龙去脉，促进学生深入理解知识的本质。笔者开发了名为“数学文化微课堂”的系列微课。相比上文提到的其他可视化积件，系列微课更具有系统性和完整性。以《祖暅原理与几何求积》系列微课为例，它包括四个视频。一是“祖暅与祖暅原理”：以餐巾环问题引入，介绍数学家祖暅和祖暅原理，借助GGB软件展示对该原理的形象化理解，并用该原理解释餐巾环问题；二是“柱体、锥体和台体的体积”：应用祖暅原理推导柱体、锥体和台体的体积公式；三是“球体体积公式的推导”：构造辅助体，推导球体的体积公式，过程巧妙至极；四是“从牟合方盖到球体体积”：从数学文化的角度介绍祖暅原理产生的历史背景和球体体积公式形成的历史。笔者利用系列微课，让学生在中华民族灿烂的数学历史中感受数学文化的魅力，了解祖冲之、祖暅父子站在前人刘徽的肩膀上推导出了球的体积公式，其推导过程凝聚着一代又一代人的智慧。推出系列微课，不仅仅是为了让学生学会利用祖暅原理来推导柱体、锥体、台体和球体的体积，更重要的是探究数学方法背后的数学思想和数学原理，经历从已知到未知的探索过程，培养质疑、反思和严谨求实的科学精神。三、可视化积件的使用策略与技巧经过可视化加工的数学内容固然生动形象、浅显易懂，能有效促进学生对数学文化的吸收，但过度使用可视化积件也会让学生对图形、视频等产生依赖心理而形成思维的惰性和单线性，阻碍学生的思维层次从直观走向抽象[3]。在数学文化教学中，教师应以培养学生的数学核心素养为导向，紧扣教学目标和内容，遵循适时、适度、适切的原则，有效发挥可视化积件的辅助作用。（一）适时适时，即把握使用可视化积件的时机。一是随“景”：抓住该内容讲解的时机，及时融入其历史背景。例如，在介绍球的体积公式时，教师若能从数学文化的角度，以微视频插入的形式介绍该公式形成的历史，不仅能让学生知道球体积公式的来源，而且能将数学家刘徽那种求实创新而不踵古的治学精神传递给学生，让学生感受到古代数学家虚怀若谷的胸怀和谦虚的态度，从而培养学生勇于批判创新、质疑问难的科学精神。二是随“情”：在学生某种情感比较丰富时融入。例如，微课程《祖暅原理与几何求积》的最后一个视频，在学生惊叹于古代数学家的智慧时提到《缀术》的失传，致使我们只能从史书的记载中去“想象”这本数学巨著曾经的辉煌，即刻让学生产生无比遗憾的情绪，恰时恰点地告诫学生：今后在学习传统文化和数学知识的时候，不仅要熟练掌握这些知识，更要把传承当作自己的使命，不要让数学文化消逝在历史的长河中。（二）适度适度，是对可视化积件使用的“度”的把控，即使用可视化积件一定要基于数学文化传承和学生素养培育，以有效辅助教学。一是控制使用量度：过度依赖可视化工具会使教学变成一种表演性质的活动，学生长时间面对屏幕而非与教师互动，这不仅削弱了数学课堂的互动性，也违背了以学生为中心的教学理念。教师在教学中使用可视化工具应适度，确保教学活动的核心是师生之间的互动和学生的主动学习。二是控制使用时机：由于立体图形需要较强的空间想象力，特别是构造如牟合方盖这类复杂几何体时，若不借助可视化软件展示“不可见”的部分，单靠推理和想象几乎不可能实现。然而，如果教师仅播放视频，展示各种辅助体的构造方法来推导球体体积公式，忽略“如何构造”和学生“自主构造”辅助体的推理过程，将导致学生的思维局限于形象思维，阻碍逻辑思维的培养，影响其分析问题和手绘作图能力的发展。（三）适切适切，即贴切自然。一是依“内容”：使用可视化积件的前提是学生无法通过想象、感知而获得的数学文化内容，不能或者不易操作的学习环节，又或是需要通过进行模拟试验验证、猜想才能获得的结论，而非任何内容都适合使用。二是依“目标”：可视化积件的使用应依据教学目标而定。例如，介绍“祖暅原理”仅仅是为推导出“柱体、锥体、台体的体积公式”提供理论依据，笔者仅需要借助ggb文件，让学生意会到“幂势既同，则积不容异”即可，至于定理本身的证明和蕴含的内涵等并不宜在课堂上深入。教师可以提供系列微课等数字化资源，引领学生从课内学习走向课外自学，拓展课堂教学的空间和学习数学文化的维度，实现从课内向课外，由局部向整体的有机延展，使教师的引导和学生的自学相辅相成，共同达成教学目标。习近平总书记在文化传承发展座谈会上的重要讲话中明确指出：“中国文化源远流长，中华文明博大精深。只有全面深入了解中华文明的历史，才能更有效地推动中华优秀传统文化创造性转化、创新性发展”。捷克教育家夸美纽斯认为“知识的开端永远必须来自感官”，“在可能的范围内，一切事物都应该尽量地放在感