线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质与判定

第一章三角形的证明3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质与判定目录CONTENTSA知识分点练B能力综合练C拓展探究练

知识点1

线段垂直平分线的性质1.

（2024·咸阳校级月考）如图，在△ABC中，边AB上的垂直平分线交

边AC于点E，交边AB于点D.

若AC＝14

cm，BE＝8

cm，则EC的长

为（

B

）A.8

cmB.6

cmC.4

cmD.2

cmB123456789101112132.

如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，则下列结

论不一定成立的是（

C

）A.

AB＝ADB.

CA平分∠BCDC.

AB＝BDD.

△BEC≌△DECC123456789101112133.（2024·西安校级月考）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分

线，且分别交BC，AC于点D，E，∠B＝60°，∠C＝25°，则

∠BAD的度数为（

B

）A.50°B.70°C.75°D.80°B123456789101112134.（2023·青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若AB＝

5，AC＝8，则△ABD的周长是

⁠.13

[变式]在第4题的条件下，若△ABD的周长为10，AB＝4，且CD＝

2AD，则AD＝

⁠.2

12345678910111213知识点2

线段垂直平分线的判定5.（2024·西安校级开学）如图，已知AC＝AD，BC＝BD，则下列

选项正确的是（

C

）A.

CD平分∠ACBB.

CD垂直平分ABC.

AB垂直平分CDD.

CD与AB互相垂直平分C123456789101112136.如图，P为∠MON内一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连

接AB交OP于点E，PA＝PB.

求证：OP是AB的垂直平分线.证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∵PA＝PB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴OA＝OB，∴点O，P均在AB的垂直平分线上，∴OP是AB的垂直平分线.12345678910111213

易错点

运用线段垂直平分线的性质时，考虑问题不全面7.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交

所得的锐角为50°，则∠C的度数为

⁠.20°或70°

12345678910111213

A.18°B.30°C.36°D.54°C123456789101112139.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂

直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为（

D

）A.

B.

C.

D.

D1234567891011121310.（2024·西安碑林区月考）如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝

6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，P为直线EF上一动点，则△ABP周长

的最小值是

⁠.9

1234567891011121311.（2024·西安校级期末）如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在边

AB上求作一点D，连接CD，使得△BCD的周长等于AB＋BC.

（保留

作图痕迹，不写作法）解：如图，点D即为所求.12345678910111213变式题12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，

DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O.

（1）求证：AD垂直平分EF；解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.又∵AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴点A，D都在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF.

12345678910111213（2）若∠BAC＝60°，AD＝5，求线段OD的长.（2）∵AD垂直平分EF，∴∠AOE＝90°.

∴∠DEO＝∠AOE－∠EDA＝30°，

12345678910111213

13.（几何探究）如图，在△ABC中，AB＝AC，作边AB的垂直平

分线交直线BC于点M，交AB于点N.

（1）如图1，若∠A＝40°，则∠NMB＝

⁠°.（2）如图2，若∠A＝70°，则∠NMB＝

⁠°.（3）如图3，若∠A＝120°，则∠NMB＝

⁠°.20

35

60

12345678910111213（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写

出猜想，并证明.

12345678910111213谢谢观看第11题变式变式1如图，在Rt△ABC

中，∠ACB＝90°.（1）在AB上作一点D，使DC＝DB

（要求：尺规作图，保留作图痕

迹，不写作法）；答案图解：（1）如图，点D即为所求.（2）在（1）的条件下，若AC＝1，BC＝3，求DC的长.

变式2如图，已知△ABC（AB＜AC＜BC），请用无刻度直尺和圆

规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）；（1）在边BC上找一点M，使得∠AMB＝2∠C；答案图解：（1）如图，点M即为所求.（2）连接AM，若∠C＝20°，△AMB是等腰三角形，求∠BAC的度数.（2）由作图可得，DE垂直平分AC，∴AM＝CM，∴∠MAC＝∠C

＝20°，∴∠AMB＝∠MAC＋∠C＝40°.∵△AMB是等腰三