2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期开学考试数学检测试题合集2套（附解析）

2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期开学考试数学检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．命题：的否定是（

）A．使得B．使得C．都有D．都有2．若：，：，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的定义域为（

）A． B．C． D．4．已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，①；②点是的一个对称中心；③直线是函数的一条对称轴；④函数的单调递增区间是.其中正确的（

）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④5．已知实数，，，则，，这三个数的大小关系是（

）A． B．C． D．6．在直三棱柱中，底面是以B为直角的等腰三角形，且，.若点D为棱的中点，点M为面的一动点，则的最小值为（

）A． B．6 C． D．7．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．28．已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（

）A．B．在方向上的投影向量为C．与垂直的单位向量的坐标为D．若向量与向量共线，则10．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（

）A．-2 B．3 C．5 D．811．对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内单调递增或单调递减;②存在区间,使在上的值域为.那么把称为闭函数.下列结论正确的是（

）A．函数是闭函数B．函数是闭函数C．函数是闭函数D．时,函数是闭函数E．时,函数是闭函数三、填空题（本大题共3小题）12．若函数具有性质：①为偶函数，②对任意，都有，则函数的解析式是．（只需写出满足条件的一个解析式即可）13．若正实数x，y满足，则的最小值为．14．已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数，.（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）设的内角的对边分别为，满足，，且的面积为，求的值.16．如图，在五面体中，四边形是正方形，，，.（1）求证：平面平面；（2）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.17．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数；(2)设且，现有足够多的芯片I级品､Ⅱ级品，分别应用于A型手机､B型手机各1万部的生产：方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元；方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．18．设A是符合以下性质的函数组成的集合，对任意的且在上是减函数。（Ⅰ）判断函数及是否属于集合A，并简要说明理由；（Ⅱ）把（Ⅰ）中你认为是集合A中的一个函数记为，若不等式对任意的总成立，求实数k的取值范围。19．已知函数.（1）若，，且在上的最大值为，最小值为，试求，的值；（2）若，，且对任意恒成立，求的取值范围.（用来表示）

参考答案1．【答案】B【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可。【详解】命题：的否定是使得.故选B.【思路导引】本题考查全称命题的否定.2．【答案】D【分析】解出命题为真时对应的范围，结合充分、必要性定义分析即可得答案.【详解】由，得，即，由，得，即，所以是的既不充分也不必要条件，故选D.3．【答案】C【分析】运用偶次根式被开方数非负，求得的定义域.【详解】，，解得，即函数的定义域为.故选C.【思路导引】本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力．4．【答案】D【分析】由题得，所以，所以①正确；函数没有对称中心，对称轴方程为，故②错误，③正确；令，得的单调递增区间是，故④正确.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，所以①正确；函数没有对称中心，且对称轴方程为，所以当时，对称轴方程为，故②错误，③正确；令，解得，所以的单调递增区间是，故④正确.故选D.5．【答案】C【分析】利用指数对数函数的单调性即可判断大小.【详解】由于，即，由，即，由，即，故.故选C.6．【答案】C【分析】利用直三棱柱、等腰直角三角形的性质易证面，由面面垂直的判定有面面，进而可确定关于平面对称点E的位置，则有，应用勾股定理即可求的最小值.【详解】由题意知，，为直三棱柱，即面面，面面，面，∴面，又面，∴面面.∴易得关于平面对称点E落在的延长线上，且，即，如下图所示，的最小时，、、三点共线.∴.故选C.【思路导引】利用面面垂直确定关于平面对称点位置，根据知当、、三点共线时的最小.7．【答案】B【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图象可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案.【详解】已知由正弦定理可知：，，整理得：，两边同除得：，根据余弦定理得：，即，，，，当且仅当，即时等号成立.又，当且仅当时，等号成立.综上所述：且，故得：，此时且，，.故选B.8．【答案】A【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围.【详解】因为，所以，即，所以，整理得：，因为，所以，由正弦定理得：，因为，所以，因为为锐角三角形，所以为锐角，所以，即，由，解得：，因为，所以，解得：.故选A.【思路导引】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.9．【答案】AD【分析】根据向量的坐标运算求，，对于A：根据向量的夹角公式运算求解；对于B：根据投影向量的定义分析运算；对于C：根据向量垂直的坐标运算求解；对于D：根据向量共线的判定定理分析运算.【详解】由题意知，，对于选项A：，故A正确；对于选项B：在方向上的投影向量为，故B错误；对于选项C：设与垂直的单位向量的坐标为，可得，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；对于选项D：因为向量与向量共线，所以若存在，使得，则，解得，故D正确．故选AD.10．【答案】CD【分析】由解析式可作出图象，将所求不等式变为，分别在、和三种情况下得到不等式的解，通过图象观察可确定1个整数解的值，由此确定临界状态得到取值范围.【详解】由解析式可得图象如下图所示，由得：，当时，，不等式无解；当时，由得：，若不等式恰有1个整数解，则整数解为，又，，，所以；当时，由得：，此时有多个解，故舍去；综上所述：实数的取值范围为.故选CD.11．【答案】BD【解析】依次判断每个选项：根据单调性排除；在上的值域为B正确；根据闭函数定义得到，故D正确，E错误，得到答案.【详解】因为在定义域上不是单调函数，所以函数不是闭函数，A错误；在定义域上是减函数，由题意设，则，解得，因此存在区间，使在上的值域为，B正确；在上单调递增，在上单调递增，所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数，C错误；若是闭函数，则存在区间，使函数的值域为，即，所以a，b为方程的两个实数根，即方程有两个不等的实根.当时，有，解得；当时，有，此不等式组无解.综上所述，，因此D正确，E错误.故选BD.【思路导引】本题考查了函数的新定义，单调性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.12．【答案】，，，（答案不唯一）【解析】若函数具有性质：①为偶函数，说明②对任意，都有，说明，是周期函数.【详解】若函数具有性质：①为偶函数，说明②对任意，都有，说明，是周期函数.所以，或或，故答案为：，，，（答案不唯一）.【思路导引】本题主要考查了抽象函数的周期性、对称性、以及奇偶性，属于开放性题.13．【答案】9【分析】首先将化为，再利用基本不等式进行求解.【详解】由得，又因为，，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为9．故答案为：9.14．【答案】【分析】求出外接球半径，得到，，作出辅助线，求出⊥平面，由勾股定理求出各边长，由余弦定理得到，进而得到，求出，利用锥体体积公式求出答案.【详解】设外接球半径为，则，解得，故，由于均在球面上，故，由勾股定理得，取的中点，连接，则⊥，⊥，，又，平面，故⊥平面，其中，由勾股定理得，在中，由余弦定理得，故，故，故三棱锥的体积为.故答案为：.【思路导引】取的中点，连接，证明出⊥平面，从而利用求出三棱锥的体积.15．【答案】（1）最小正周期为，对称轴为：；（2）.【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数式可得即可求的最小正周期和对称轴；（2）利用三角形面积公式、余弦定理有，即可求的值.【详解】（1），∴函数的最小正周期为；而对称轴为，∴函数的对称轴为：.（2）且，则，由，可知①，由余弦定理及，可知②；结合①②：.【思路导引】本题考查了正余弦定理的应用，利用三角恒等变换化简函数式，结合三角函数的性质求周期、对称轴，并应用三角形面积公式、余弦定理解三角形.16．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【详解】（1）证明：在正方形中，可得，又，，，平面，所以平面，又平面,所以平面平面.（2）因为，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，分别取，上的点，使得，又因为，故四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，取中点，则，又，故四边形是平行四边形，所以，又因为，是的中点，故是的中位线，所以，又由平面，平面，所以平面，，平面，所以平面平面，又由平面，所以平面，此时.【思路导引】对于这类探索性问题，通常是利用面面平行，证得线面平行，并确定点的位置.17．【答案】(1)；(2)，应选择方案二.【分析】（1）根据频率分布直方图，即可求解频率，进而可求解，（2）分别计算两种方案的费用，即可比较作答.【详解】（1）临界值时，I级品中该指标大于60的频率为，II级品中该指标大于60的频率为0.1，故该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个II级品中应用于型手机的芯片个数估计为：，（2）当临界值时，若采用方案一：I级品中该指标小于或等于临界值的概率为，可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误；II级品中该指标大于临界值的概率为，可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误；故可以估计芯片生产商的损失费用，，又采用方案二需要检测费用共130万元，故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二.18．【答案】（Ⅰ）不在集合A中，在集合A中；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）根据集合的性质检验；（Ⅱ）求出的最大值，可得的范围．【详解】（Ⅰ）因为在时是减函数，且，所以不在集合A中，又因为时，，所以且在上是减函数，在集合A中；（Ⅱ）当时，，又由对任意的恒成立，所以，所以所求的实数的取值范围是．【思路导引】本题考查函数的单调性与值域，考查不等式恒成立问题．不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．如恒成立，恒成立．19．【答案】(1)；(2)当时，；当时，.【解析】（1）求得二次函数的对称轴，根据对称轴和区间的位置关系，分类讨论，待定系数即可求得；（2）对参数进行分类讨论，利用对勾函数的单调性，求得函数的最值，即可容易求得参数范围.【详解】（1）由题可知是开口向下，对称轴为的二次函数，当时，二次函数在区间上单调递增，故可得显然不符合题意，故舍去；当，二次函数在单调递增，在单调递减，且当时，取得最小值，故，不符合题意，故舍去；当时，二次函数在处取得最小值，在时取得最大值.则；，整理得；则，解得或（舍），故可得.综上所述：.（2）由题可知，因为对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，且.因为，故可得.①当，即时，在区间单调递减，故，则，解得.此时，，也即，故.②当，即时，在单调递减，在单调递增.，即又因为，，则，故的最大值为，则，解得，此时，故可得.综上所述：当时，；当时，.【思路导引】本题考查二次函数动轴定区间问题的处理，以及由恒成立问题求参数范围，涉及对勾函数的单调性.2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期开学考试数学检测试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则中元素的个数为（

）A．1 B．4 C．6 D．72．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．已知是虚数单位，则复数的虚部是（

）A． B． C． D．4．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．5．已知，，，则的最小值是（

）A．8 B．12 C．16 D．6．已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（

）A．0.4 B．0.58 C．0.7 D．0.727．甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．设，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象B．直线是图象的一条对称轴C．在上单调递减D．的图象关于点对称10．某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（

）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，，；n，，．记样本平均数为，样本方差为，．A．男生样本容量为50 B．每个女生被抽到的概率C．抽取的样本的均值为165 D．抽取的样本的方差为4311．如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（

）A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为B．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为C．若保持，则点M的运动轨迹长度D．平面截正方体所得截面为等腰梯形三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，，若，则m的值为．13．如图60°的二面角的棱上有，两点，直线，分别在二面角两个半平面内，且垂直于，，，则．14．若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t，其中，则t的一个取值可以为．四、解答题（本大题共5小题）15．设锐角的内角的对边分别为，(1)求角；(2)若边，面积为，求的周长．16．现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，…，第组，得到如下频率分布直方图．(1)求的值并估计这名男生的身高的第百分位数；(2)求这名男生中身高在以上（含）的人数；(3)从这名男生身高在以上（含）的人中任意抽取人，求该人中身高恰有人在以上（含）的概率．17．如图，在底面为菱形的四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F分别为棱BC，PD的中点，Q是线段PC上的一点．(1)若Q是直线PC与平面的交点，试确定的值；(2)若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．18．已知函数，称非零向量为的“特征向量”，为的“特征函数”．(1)设函数，求函数的“特征向量”；(2)若函数的“特征向量”为，求当且时的值；(3)若的“特征函数”为，且方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．19．在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．(1)若平面：，平面：，直线l为平面和平面的交线，求直线的一个方向向量；(2)已知集合，，．记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合T中所有点构成的几何体为W．（ⅰ）求和的值；（ⅱ）求几何体W的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值．

参考答案1．【答案】C【详解】∵，，∴，有6个元素.故选C.2．【答案】A【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得否定命题.【详解】命题“，”的否定是，.故选A.3．【答案】A【详解】，∴复数的虚部为.故选A.4．【答案】B【详解】由函数，可得其定义域为，可排除C、D选项，又由，∴函数为偶函数，排除A选项.故选B.【规律方法】函数图象的辨识可从以下方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；②从函数的值域，判断图象的上下位置；③从函数的单调性，判断图象的变化趋势；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性；⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．【答案】C【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得.【详解】，，，，，，，当且仅当时取等号.故选C.【思路导引】本题考查对数的运算法则及基本不等式.6．【答案】B【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解.【详解】，，所以.故选B.7．【答案】D【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人.【详解】甲乙丙丁甲得奖乙得奖丙没得奖丁没得奖由上表知：若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若丙得奖，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；所以丁得奖，只有丙说法与事实相符.故选D.8．【答案】A【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性分别求出，，即可判断出，再利用作差法比较的大小关系即可求解．【详解】，，，，，，，，，.故选A．9．【答案】CD【详解】对于A：由的图象向左平移个单位，得，与得到函数不相同，故A错误；对于B：将代入得，此时既不是最高点，也不是最低点，所以直线不是图象的一条对称轴，故B错误；对于C：当时，，由于在上单调递减，而，所以在上单调递减，故C正确；对于D：将代入得，此时是函数零点，所以的图象关于点对称，故D正确.故选CD．10．【答案】ABD【分析】根据抽样比即可求解人数判断A，根据概率公式即可求解B，根据平均数以及方差的计算公式即可求解CD.【详解】对于A，男生被抽的人数为，故A正确，对于B，每个女生被抽到的概率为，故B正确，对于C，抽取的样本均值为，故C错误，对于D，样本的方差为，故D正确，故选ABD.11．【答案】BCD【分析】根据平面展开即可判断A；过做平面平面，即可判断B；根据点的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体被平面所截的截面即可判断D．【详解】对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接，则，故A错误；对于B，如图：平面，平面，，又，，，平面，平面，平面,，同理可得，，，平面．平面．过点作交交于，过作交交于，由，可得，平面，平面，平面，同理可得平面，平面，则平面平面．设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，由点在棱上，且，可得，，，故B正确；对于C，如图：若，则在以为球心，为半径的球面上，过点作平面，则，此时．点在以为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为．点的运动轨迹长度，故C正确；对于D，如图：延长，交于点，连接交于，连接，平面被正方体截得的截面为．，，，，，，且，截面为梯形，，截面为等腰梯形，故D正确．故选BCD．【方法总结】作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.12．【答案】【分析】根据向量的数量积的运算公式，得到向量的夹角为，设，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.【详解】设向量的夹角为，因为，可得，因为，所以，即向量与向量反向，又因为向量，，设，可得，可得且，解得.故答案为：.13．【答案】10【分析】过点作，且，连接，，先证明为等边三角形，从而得到，再证明，进而利用勾股定理即可求解．【详解】如图，过点作，且，连接，，则，又，所以为等边三角形，所以，则四边形为矩形，即，由，则，又，且，所以平面，所以平面，又平面，所以，则由勾股定理得．故答案为：10．14．【答案】25（答案不唯一）【分析】根据三角形的三边关系即可求解范围，进而根据求解.【详解】如图所示的三棱锥中，,在中，三边关系符合三角形的边角关系，设，则且，因此，由于，故可取，故答案为：25（答案不唯一）.15．【答案】(1)；(2)20.【分析】（1）由正弦定理得到，求出；（2）由三角形面积得到，根据余弦定理得到，从而得到周长.【详解】（1）由及正弦定理，得，又，得，所以，又为锐角，所以；（2）由（1）得，则，由余弦定理，得，所以，所以，所以的周长为．16．【答案】(1)；；(2)；(3).【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解的值，再结合百分位数的定义即可求解结果；（2）根据图表先求出相应的频率，再求出频数即可；（3）根据图表先求出相应区间的人数，再根据古典概型求解概率即可.【详解】（1）由频率分布直方图知，，解得.因为，，所以第百分位数落在区间内，设第百分位数为，则，解得，即第百分位数为.（2）由图知，身高在以上（含）的人数频率为，则身高在以上（含）的人数为.（3）由（2）知，身高在以上（含）的人数为，则身高在以上（含）的人数为，男生中身高在内的人数为，令身高在内编号为，身高在内编号为，则样本空间为，所以该人中身高恰有人在以上（含）的概率为.17．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据线线平行可得平面平面,即可根据中点关系，结合面面平行的性质，即可求解的余弦值，根据与平面所成角与互为余角即可求解.（2）根据体积公式可得是中点，进而根据线