2024-2025学年陕西省咸阳市高二上学期10月月考数学检测试题合集2套（附解析）

2024-2025学年陕西省咸阳市高二上学期10月月考数学检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（

）A．1 B．2 C．3 D．3．已知空间向量，，若，则（

）A．1 B． C． D．34．如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（

）A． B．C． D．5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量（

）A． B．C． D．6．已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（

）A． B．C． D．8．已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（

）A． B．C． D．11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（

）A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则C．直线的方向向量，平面的法向量是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知空间向量，若共面，则.13．已知均为空间单位向量，且它们的夹角为，则．14．已知点，，，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量，(1)求与的夹角；(2)若与垂直，求实数t的值．16．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值.17．如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点(1)证明：平面;(2)若，求直线与平面所成角的正弦值18．在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且他们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，及(1)求的长；(2)为何值时，的长最小，最小值是多少？(3)当的长最小时，求平面与平面的夹角的余弦值．19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一点满足平面．

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．

参考答案1．【答案】A【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，使得，显然不成立，所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确；由于，则，，共面，故B错误；由于，则，，共面，故C错误；由于，则，，共面，故D错误；故选：A.2．【答案】A【详解】由题得.故选：A.3．【答案】B【详解】因为，，且，所以，解得，故选：B.4．【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.【详解】.故选B.5．【答案】C【详解】由向量，，得，而，向量在向量上的投影向量.故选：C6．【答案】D【详解】，∴，当且仅当时取等号．∴的最小值为．故选：D.7．【答案】D【详解】因为为与的交点，所以.故选：D.8．【答案】B【详解】空间向量，，则，故以为单位正交基底时的坐标为.故选：B.9．【答案】AC【详解】若，则，得，故A正确，B错误；若，则，即，故C正确，D错误；故选：AC.10．【答案】BD【详解】，即，故A错误、B正确；，即，故C错误，D正确.故选：BD.11．【答案】AB【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．故选：AB12．【答案】0【分析】由已知可得，代入坐标计算可求的值.【详解】因为共面，所以，即，则.故答案为：0.13．【答案】【详解】因为，，所以，，故答案为：14．【答案】【分析】先求出平面ABC与平面xOy的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可.【详解】因为，，，所以，设平面的法向量为，则，令，则，平面xOy的一个法向量为，所以，所以平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1），，，，，令与的夹角为，则，则与的夹角为.（2），，又与垂直，，即，解得.16．【答案】或.【详解】因为两个单位向量，与向量的夹角都等于，，，，，，解得或，，，或17．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）分别为的中点为正方形平面平面平面.（2）由题知平面建立如图所示的空间直角坚标系，，则,,,,设平面的一个法向量为n=则,令则,设直线与平面所或的角为,，所以直线与平面所成角的正弦值为.18．【答案】(1)(2)当时，最小，最小值为(3)【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，，，，，因为，所以，，；（2），当时，最小，最小值为；（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，则，，取的中点，连接，，则，因为，，所以，，是平面与平面的夹角或其补角，因为，，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值是.19．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）在四棱锥中，底面为矩形，则，由平面，平面，得，而平面，则平面，又平面，所以平面平面.（2）依题意，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，由，得，令，则有，即，，，由平面，得存在实数使，即，解得，，，设平面的法向量，则，令，，设平面的法向量，则，令，，所以平面与平面夹角的余弦值为.2024-2025学年陕西省咸阳市高二上学期10月月考数学检测试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（

）A． B． C． D．3．已知两点，，直线：线段相交，则的取值范围是（

）A． B．或 C． D．4．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（

）A． B．C． D．5．如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．已知直线：与：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（

）A． B． C． D．8．已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若直线，，且l⊥m，l⊥n，则D．若l，m是异面直线，，，且，，则10．下列结论正确的是（

）A．向量是直线的一个方向向量；B．“”是“与直线互相垂直”的充要条件；C．已知直线l过点，且在轴上截距相等，则l的方程为；D．直线在y轴上的截距为.11．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（

）A．当点是中点时，直线平面；B．直线到平面的距离是；C．存在点，使得；D．面积的最小值是三、填空题（本大题共3小题）12．若方程表示圆，则实数的取值范围为.13．已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值.14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则：(1)求圆C的方程．(2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度．16．已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点．(1)求证：平面；(2)若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积．17．已知的三个顶点分别为，，.(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求边上的中线所在直线的方程.18．如图，在棱长4的正方体中，是的中点，点在棱上，且.(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)若为平面内一点，且平面，求点到平面的距离.19．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．

参考答案1．【答案】C【详解】因为直线方程是，所以该直线的斜率，所以可得，而所以该直线的倾斜角是.故选C2．【答案】A【详解】关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数，所以点关于轴对称的点为.故选：A．3．【答案】B【详解】因为直线，如图直线：即恒过，而，因为直线与线段相交，结合图形，故直线的斜率的范围为：或．故选：B4．【答案】B【分析】连接，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接．故选：B.5．【答案】C【详解】取的中点F，连接EF，CF，，易知，所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角.因为，，所以由余弦定理得.故选：C6．【答案】C【分析】由两线平行的判定列方程求参数a，注意验证是否存在重合情况，结合充分、必要性定义判断条件间的关系》【详解】由，则，即，故或，时，，，即，显然两线重合；时，则，，即，故.综上，“”是“”的充要条件.故选：C7．【答案】C【分析】以为基底表示空间向量，再利用数量积运算求解.【详解】因为所以即所以．故选：C．8．【答案】D【详解】圆的圆心为原点，半径为2，

过原点且与直线垂直的直线方程为，则点到直线的距离为.又因为原点到直线的距离为，所以的最小值为，则，故选：D9．【答案】ABC【分析】ABC可举出反例；D选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而得到面面平行.【详解】对于A，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，A错误．对于B，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，B错误．对于C，没有说m，n是相交直线，所以不能得到，C错误．对于D，因为，设平面平面，，所以，因为l，m是异面直线，，所以l，a相交，因为，，，所以，因为，，l，a相交，所以，D正确．故选ABC.10．【答案】AD【详解】解：对于A中，直线的斜率为，所以向量是直线的一个方向向量，所以A正确；对于B中，当直线与直线互相垂直，则，解得或，故“”是“与直线互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误；对于C中，直线l过点，且在轴上截距相等，当截距为0时，直线方程为；当截距不为0时，可得直线方程为，所以C错误；对于D中，由，令，可得，所以在轴上的截距为，所以D正确．故选：AD．11．【答案】AC【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D.【详解】对于A，由是中点，，得点是的中点，连接，显然也是的中点，连接，于是，而平面，平面，所以直线平面，A正确；对于B，分别是棱的中点，则，平面，平面，于是平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h，，，，，由，得，B错误；以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,对于C，设，则，，，，由，得，解得，由于，因此存在点，使得，C正确；对于D，由选项C得在的投影点为，则P到的距离，面积为，所以当时，取得最小值为，D错误.故选：AC12．【答案】【详解】根据题意，方程表示圆，则，解得.所以实数的取值范围为.故答案为：.13．【答案】【分析】设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，连接交于，交轴于，则此时的周长取最小值，且最小值为，利用对称知识求出和，再利用两点间距离公式即可求解.【详解】如图：设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，连接交于，交轴于，则此时的周长取最小值，且最小值为，与关于直线：对称，，解得：，，易求得：，的周长的最小值.故答案为：.【点睛】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.14．【答案】【详解】解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程；（2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得.【详解】（1）因为和，线段的中点为0,2，且，则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上，又已知圆心在轴上，令，得，故圆心为，半径，则圆圆C的方程为.（2）由圆心2,0到直线的距离，.故线段的长度为.

16．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）