高中数学人教A版2019必修 第二册-习题2：高中数学人教A版2019必修 第二册 平面向量数量积的坐标表示 公开课教学设计课件资料

2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第二册

6.3.5平面向量数量积的坐标表示同步练习

学校:姓名：班级：学号：

选择题

1.已知向量瓦？=小嘿)则4BC=()

A.30°B.45°C.60°D.120°

2.已知两不共线的向量N=(cosa,sina),3=(cos。,sin/?)，则下列说法一

定正确的是()

A.五与另的夹角为Q—0B.万方的最大值为1

C.|a+K|<2D.0+3)1(五一］)

3.已知4(1,-1),5(2,2),C(3,0),若点〃满足CD1AB,且CB〃AD,则

点〃的坐标是()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,-1)D.(0,1)

4.已知向量方=(1,2),G=(-2,3)，了=(4,5),若0+4励1E，则4=()

11

A.--B.-C.-2D.2

22

5.已知向量方=(2,1),另=(%,—2)，若何+扇=|21一封，则实数X的值

为()

419

A.-B.-C.-D.2

924

6.已知Pi(0,5),P2(2,-l),P3(—L4),则向量月居在向量可司方向上的投

影向量的模是()

A.4B.2<10C.2V2D.千

7.已知向量方=(一1,1),OA=a-b，OB=a+b，若AOAB是以。为直角

顶点的等腰直角三角形，则AOAB的面积为()

A.1B.2C.V2D.2企

8.已知平面向量行=(2,4),另=(一1,2)，若笠="@另)3,则|可等于()

A.4V2B.2遍C.8D.8V2

9.已知/a的顶点在坐标原点。，始边与x轴的非负半轴重合，点尸在a的

终边上，点Q(—3,-4)且tcma=-2,则赤与丽的夹角的余弦值为()

A.—吏B..

525

C.立或—底D.”或I渔

55255

二.填空题

10.若向量方=(x,y),另=(一1,2)，且R+石=(1,3)，则I五一2旬=.

11.已知向量五=(2,0),b=且五4=|不，则向量了与方的夹角。为

12.在△ABC中，6是△ABC的重心，边48,的长分别为2,1,=60。，

则而-BG=-

13.如图，已知半圆。的直径AB=8,点夕是弦AC(包久

含端点4C)上的动点，点0在弧况'上.若△O/C//\/\

AcB

是等边三角形，且满足OQ.OP=0，则OP.BQ的

最小值为.

14.已知万=(2,1)与3=(1,2)，要使|日+法|最小，则实数Z的值

为•

三.解答题

15.已知五，了,芸是同一平面内的三个向量，其中五=(1,2).

(1)若|司=2迷，且力与五相反，求不的坐标；

(2)若|山=争月五+2石与2万一3垂直，求日与石的夹角。

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16.已知向量久=(1,2),甘=(4,2).

(1)设向量方=试用向量瓦*与五表示访；

(2)设t是实数，向量另=(6,t)，石与瓦的夹角为a,石与石的夹角为0,若

a=/?,求t的值.

17.在平面直角坐标系犬0%。为坐标原点,做一1,0),8(3&$也。)(。G(0,n)),

(2(1,73),。为平面内一点，且满足元=57+南，设四边形以％的面

积为S,

(I)若0Q10C,求。的值；

(II)记f(e)・而+s,求f(e)的取值范围.

参考答案：

一.选择题

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向

量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角.根据向量瓦彳,配

的坐标便可求出瓦不能，及忸可正|的值，从而根据向量夹角余弦公式即

可求出cosZIBC的值，根据4BC的范围便可得出的值.

【解答】

解:BA-BC=^+^=^,\BA\=\BC\=1;

coeZABC=]_|V3.

|B1||W|2,

又0°<ZABC<180°;

•••/ABC=30°.

故选A.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的综合知识，考查平面向量积的运算用于判别向量间的关

系.属于基础题.

求]与了满足的关系，先利用平面向量积的公式，判断五与B是否有垂直或者平

行的关系，再判断各个选项中的关系是否满足.

【解答】

解：va=(cosa,sincr),b=(cos/?,sin/?)»•••|a|=1>\b\=1>•••万与否不

共线，:sinacosp—cosasin°=sin(a—0)00,则a一夕羊

kn(kEZ).

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对于/选项，由题意知，五与石的夹角的范围为(0,兀)，而(a-0)6*且a—/?H

kit(kEZ),故4选项错误;对于8选项，五"b=cosacos/3+sinasin/?=cos(a—

0),va,3不共线，cos(a-⑨。1,故8选项错误；

对于。选项，日与亍不共线，由向量模的三角不等式可得|,+日|<|初+|旬=

2,故。选项错误；

对于〃选项，0+杨.(五—3)=片—族2=|初2—|石产=0,@J.

(a-b)，故〃选项正确.

故选〃

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.

设OQ,y),根据CO_LAB,且CB〃/0,通过向量的平行以及垂直，建立方

程组，解得x,y的值，即可得到答案.

【解答】

解：设D(x,y),则就=(1,-2)，AB=(1,3)，AD=(x-l,y+1)，CD=(x-

3,y).

由题意可得降［工；：凯得I；：2

所以点〃的坐标为(0,1).

故选D.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平面向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运

算.

可求出五+=(1—24,34+2)，根据C+aB)即可得出0+4豆)•不=

o,进行数量积的坐标运算即可求出;I.

【解答】

解：a+Xb=(1-2A,3A+2);

X(a+Ab)1c；

(a+Ab')-c=4(1-21)+5(31+2)=0;

解得；I=-2.

故选：C.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的平方即为模的平方，

考查运算能力，属于基础题.

将等式两边平方，运用向量的平方即为模的平方，结合向量的数量积的坐标

表示，解才的方程，即可解出实数x的值.

【解答】

解:若\a+b\=\2a-b\,

则(1+b)2=(2a—b)2»

^a2+b2+2a-b=4a2+b2-

即21i一五2=o，

由向量了=(2,1),b=(x,-2).

则12=5，2(2x-2)-5=0,即2%—2=%

解得x=p4

故选c.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查投影向量的模，是基础题.

利用向量的坐标运算求解即可.

【解答】

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解:因为Pi(0,5),P2(2,-l),P3(-l,4),

所以p^=(2,-6),PiX=(-l,-l)>|^X|=V2,

所以向量尺瓦在向量形方向上的投影向量的模为|需产=

|2x(受x(\=2也

故选C.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，以及向量的模，考查化简运算能力，属于基础题.

由等腰直角三角形的性质，可得|瓦51=|南且就•南=0,应用向量的

平方即为模的平方，以及向量模的公式，可得|。/|,再由等腰直角三角形的

面积公式，计算可得所求值.

【解答】

解：由AOAB是以。为直角顶点的等腰直角三角形，

可得|而1=1彼］，且就•南=0,

由已知条件可得|五-另=\a+b\>(a-fo)-(a+K)=0»

化为隶—2a-b+b2=a.2+2a-b+b2<隶=片，

即五不=0，且12=『，即|彼|=回=〃-1)2+12=a,

可得|。/|=J(a-b)2=Ja2-2a-b+b2==21

则^CMB的面积为；\OA\-\OB\=lx2x2=2.

故选：B.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算和向量的模的求法.要求能熟练应用向量的坐标运

算法则.属简单题.

先由向量五万的坐标求出向量［的坐标，再根据求模公式即可得解.

【解答】解：•.响量N=(2,4),b=(-1,2)

a-b=(2,4)•(-1,2)=-2+8=6

Ac=a-(a-K)b=(2,4)-6(-1,2)=(2,4)-(-6,12)=(8,-8)

|c|=9+(-8)2=8V2

故选〃

9.【答案】C

【解析】解：由题意可得而=(一3,-4)，

又「tana=—2,

二a的终边与单位圆的交点为(一看3)或宸,-3)

...可取而=(一奈筏)或(亲,一总

当赤=(-专,专)时，由夹角公式可得而与丽的夹角的余弦值cos6=

左旗__Vs

I函I而I~~~5'

当0P=(总-专)时，由夹角公式可得而与丽的夹角的余弦值cos。=

亦丽_V5

\OP\\OQ\~T；

故选：C.

由题意可得丽=(-3,-4)，由三角函数定义和向量的关系可得而=

(一嘉春或金一心由夹角公式可求・

本题考查数量积与向量的夹角，涉及三角函数的运算和分类思想，属中档题.

二.填空题

10.【答案】5

【解析】解：向量五=(x,y),b=(-1,2)»且悟+、=(1,3),

f%-1=1

+2=3'

解得x=2,y=1；

a=(2,1)>

u—2b-(4,—3)»

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|a-2K|=J42+(-3/=5.

故答案为：5.

先根据向量相等求出1的坐标，再求出2瓦以及它的模长.

本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用向量数量积求模长，是计算题.

11.【答案】7

4

【解析】

【分析】

本题考查向量的夹角、向量的数量积，属于基础题.

求出£的值，代入夹角公式cos6=^；,即可求出结果.

回回

【解答】

解：因为胃=(2,0),b=(t,1)＞且了,b=|初,

所以2t=2,解得t=1,

则B=(1,1)，

故3"器=表=争

又8G[0,用,

故

4

故答案为3.

12.【答案】—5

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的数量积.关键是平面向量的基本定理的应用.

【解答】

解：设〃，E是BC,〃'的中点，

所以公=三筋=-X-(AB+AC)=-AB+-AC,

332\/33

B-G=-2BTE=-2x1-/[TBA+BC]=-1(/-2A-B+AC)=--2ATB+-1AC,

332\)3\)33

所以启•BG=(^AB+^AC^­(-^AB+^AC^

21Tl2]T11|T|2

=-g|^|--AB^AC+-\AC\

211

=--x22---x2xlxCOS600+-xl2

999

_8

-9,

故答案为-9

13.【答案】8

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积、向量的投影、向量的几何运用，考查推理能力和

计算能力，属于中档题.

由题意得加•的=OP-0A，结合向量数量积的几何意义可知，当户与。

重合时，而在万?上的投影最短，代入可求.

【解答】

解：•,•半圆。的直径48=8,△。力C是等边三角形，且边长为4,

由题意可得，OP~BQ

=OP-（BO+OQ）

=~0P-JO+OP-OQ

=~0P-BO

=OP-OA，

由数量积的几何意义可知，当尸与。重合时，而在瓦5上的投影最短,

此时（泰・瓦?）=4X4义[=8.

故答案为8.

14.【答案】—g

【解析】

【分析】本题考查平面向量的坐标运算，向量的模，函数的最值，属于基础

题.

由向量的模的坐标运算，可得|日+1石|=小（1+铲+3,根据二次函数的性

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质求出IN+。I有最小值时£的值.

【解答】

解：r云+tb=(2+t,1+2t)，

•••la+tb\=7(t+2)2+(2t+l)2=J5(t+1)2+

・・・当t=Y时，耳+㈤有最小值型.

55

三.解答题

15.【答案】解：(1)设口=Q,y),由五=(1,2),且|可=2遮，I与一相反,

x2+y2=20

•*-y=2x，

%<0

解得｛;=2l

・•・c=(—2,—4)；

(2)若|1|=苧,且五+2方与2日-另垂直,

则0+21).(2Z—I)=2五2-2于+3方•石=0，

•••a•K=|(―a2+fo2)=|x(—5+1)=—|,

ab-1

cos0a=———=­，=—1,

同x|b|帚亭

且ee[O,TT],

五与万的夹角为。=n.

【解析】(1)设/=(%,y),根据题意列方程组求出3的坐标；

(2)根据五+2石与21一号垂直列方程求出五7的值，再计算五与方的夹角.

本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是中档题.

16.【答案】解:(1)设万+

*•*(—1,4)—(A+4%2A+2〃)，

->c1>，>

・•・U=3-3；

(2)根据题意'cosa=藕=溪3，COS0=晶=2高：36,且a=小

6+2t_2t+24

V5-Vt2+36-2V5-Vt2+3