高中数学试题：向量小题微专题

向量综合创新小题微专题

（教师版）

母题：1.（05年江苏高考题）在AABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2,

则OA-（OB+OC}的最小值是:

答案：-2

分析：突破口关键在于AM为AABC的中线，可得

OA-（OB+OC）=2（OA-血），从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量

积的问题.

解法1：因为AM为AA8C的中线，.•.0+历=2方,

OA-{OB+OC）=2（/•OM）=2OAOMcos兀=-20A0M,

—.—.0A+0M1_.2—.—.—.

又0A0M<（---------）2=-AM=1,OA-{OB+OC）>-2.

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分析突破口：应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为共线的或者易求的数量积问

题，从而达到解决问题的目的，此类问题可借助建立直角坐标系的方法，降低问题的难度.

解法2：以M为原点，AM所在直线为y轴，建立如图所示直角坐标系.

设A(0,2),0(0,z),B(x,y),C(-x,-y),则

0A=(0,2—z),OB=(x,y—*,0C=(—x,—y—z),

OB+OC=(0-2z)(0<z<2),

而•(为+而)=(2—2)(—2z)=2(z-I)2-2,

OA-(OB+~0C｝的最小值为2

变式1：在八43。中，M是BC的中点，AM=3,BC=10,贝"夕•AC=

答案：-16

分析：因为M是BC的中点，所以BM=CM=5,

A3.衣=（AM++MC）=（AM-'BM）（AM+MC）

--------*2-------*-21,

=AM-BM=32-52=-16

变式2：如图所示，在A43C中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC

于不同的两点M、N,若AB=mAM,AC=“AN,则m+n的值为..

A

答案：2

--1-•--

解析：因为o是BC的中点，•,・A°=5（AB+AC）

又因为荏=加而^而•=〃俞，・••AOnjAM+jAN

mn_

又M、0、N三点共线，二二+二■=1，则m+n=2.

变式3:已知AA3C中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于M、N

,------------

两点，若4?=441/葭>0),AC=>0),则不十一的最小值是:

…9

答案：一

2

解析：由题意得，AB+AC=2AO=AAM+RAN,

—>—>—>

---A0=3AM+fAN,又0、M、N三点共线，

乙乙

.•，+幺=1

22'

522+"+2'

-----1-------

2〃2422’

当且仅当22=〃时取等号.

变式4:在A4BC中，记力。=a,AB=b,AM=ma,AN=nb,AP=aa+/3b,

a0

其中九〃,。,尸均为实数，相¥0,〃70,若乂、P、N三点共线，则一+一=

mn1

答窠：1

解析：由M、p、N三点共线可得砺=XPN,AP-AM=-AP)

(1+X)AP=AM+^AN,

AM+714VinA.n

即"=+-----

1+A1+41+A

rU=------

--»,J1+4a/3_14

因为。，。不共线，・•加,—+—=-----+------=1

P=~~r

1+4mn1+A1+A

考点分析:考查向量的基本运算把不共线的平面向量数量积问题转化为共线的或者是易求得

数量积问题，能借助直角坐标系降低解决问题的门槛，同时可以借助图形数形结合转化为几

何问题。

考高预测：平面向量数量积问题，三点共线问题、和平面向量的运算的最值问题。

母题2：在平面坐标系xOy中，

已知点4(T,-2),3(2,3),C(-2,-1).

(1)求以线段48,4C为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数r满足—求力的值.

分析：对于(1),焦点主要是要不要求出D点的坐标，还是用向量AB,AC表示对角线

所对应的向量.对于(2),焦点主要是坐标代人运算还是用运算法则.

变式1：在问题2的条件下，设/leR,当IAB-/IACI最小时，求人的值.

分析：将\AB-AAC\平方后转化为关于几的二次函数

|AB-2.AC|2=2(2-1)2+32^32,当且仅当<=1时，|AB-/L4cl取得最小值4&.

解法2：可以从研究向量A8-/UC的几何意义入手解决，如图，要使|A8-2AC|

取得最小值，只有向量A8-2AC与AC垂直就可以了，解题速度会快很多，即:

(AS-2AC)AC=0,A=1.

变式2:在平行四边形ABCZ)中，AC=(l,2),BO=(-3,2),求AO-AC.

分析：用向量表示AC/。，BPAC=AB+AD,BD=AD-AB,很快求得

AD=(-1,2),从而A»AC=(—1,2).(L2)=3.

变式3:若a,b,c均为单位向量，且a・b=0,(a—c>S—c)W0,求|a+〃一c|的

3公+b

最大值。

解法：由eb=O,把问题置于直角坐标系中举行研究，不妨设

a=(l,O),b=(O,l),c=(x,y),由(a—c>S—c)W0,代入可化简得(x—)~+(y—W—，且

222

x2+y2=1,向量c在如图所示的圆弧AB上运动，又向量OQ=a+6=(1,1),可以发现当点

C与A或B重合时，+=的最大值为1.

巩固练习:

1、在边长为3的正△ABC中，BC=2BD,CA=3CE,求

解法1：选择向量AB,AC为基底，将AO,8E用A8,AC表示进行计算;

解法2：以D为坐标原点，BC和AD分别为x轴和y轴，利用向量的坐标运算进

行计算；

解法3：用投影法，将向量8E投影到向量AP,利用几何意义进行计算.

变式1“在等腰AABC中，BC=2BD,且|BC|=3,M是线段AD上任一点，求

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BMBC.M用投影法，BM-BCBC\\BM\cosZMBD^BC\\BD\=3x-=-.

22

变式2“在边长为3的正△ABC中，BC=3BD,求

仿问题3建系的方法，=

22222

变式3已知点O为AABC的外心，且|AC|=4,„=2,求AO-3C的值.

分析：这个问题一点也不难，把AABC特殊成直角三角形，外心O就是斜边BC的中

点，易得AO-8C=AO-1(AC-A8)=6.问题1已知|a|=2,|6|=4,向量a与方的夹角

2

60°,求a-e-a)的值.

a(b-a)=ab-a2=0

说明：向量数量积的公式:ab=\a\\b\cos0.

2、已知|〃|=2,|加=4,向量。与b的夹角60°,求〃•(5—。)的值.

a(b-a)=ab-a2=0

说明：向量数量积的公式：a-b=\a\'\b\cos0.

变式1：已知|a|=2,|)|=4,且向量。与万一。垂直，求向量。与方夹角.

将公式变形，cos0=a=------=—,由0W6这万，向量。与力夹角为60°.

\a\-\b\\a\-\b\2

说明：此解法实际上给出了求两个向量夹角的具体方法.

变式2已知|0|=2,|万|=4,向量。与5的夹角60°,求向量。与2a一5的夹角.

解法1：用变题1的方法，先求出12a一例=4和〃与2a—b的。・(2a-㈤=4,再用公式

求出其夹角为60。.

解法2：根据题意画了一张图，发现向量2a,〜和2a—b恰好构成一个正三角形,

很快就求出来了.同时根据这个图还可以求出向量Q与2a+b的夹角为30°.

说明：数学结合的方法开阔了我们的思路，借助于平面几何知识的确可以快速解题，也

说明我们掌握了向量的本质.解法1恰好完成了问题''已知|a|=l,g|=3,向量a与分夹角

120°,贝恤一臼=

变式3已知|a|=2,|6|=4,向量a与b的夹角60°,若向量依+b,a—%夹角为钝角，

求实数人的取值范围.

分析：根据(履+6)-(。-26)<0,解得后>-7.此外，还要考虑到这两个向量是否同向

共线，要加上上*-'.

2

说明：事实上从向量数量积公式中我们可以知道，向量a,6的夹角为锐角或钝角，都

要考虑a,b不共线.

变式4在直角AABC中，NA=90°,D为斜边BC的中点,AB=2,AC=4,求.

解法1：将向量分解成AZ>=g(A8+AC)或建立直角坐标系来求解.

解法2：如图，过D作AB的垂线DE,则=

|AB|.(IAD\cosZDAB)=\AB\-\AE\=2x[=2.

说明：解法2的想法太妙了，对平面向量数量积的公式的本质理解了，事实上这种方法

称为投影法，它可以把两个向量投影到一个向量上，用长度来计算，当然还需要观察两个向

量的夹角是锐角还是钝角，以确定符号.

3、已知向量a,Lc满足H=W=a%=2，(a-c>(B-2c)=0,则B-c的最小值为

()

解：：a=%=af=2,(a-c)-(3-2c)=0,设0(0,0),A(1,V3),B(2,0),C(x,y),

由(Z二)•区-2石=0,得(1-x)(2—2x)+(百一。)(一2旷)=0整理得方程C的曲线是个

圆，设圆心为k,半径为r,即(》一1)2+(丁—且)2=0,k=(\,—),r=—,则3—1的

2422

V7—V3

最小值为BC-R,即、(2—+(0-

2

....2

4、在AABC中(BC+AC=AC，则4ABC的形状一定是()

I2Trr|

解：由(就+丽•互=而一,得'AC-(BC+BA-^C)=0,即

AC(BC+BA+CA)^0,2AC-1BA^0,:.ACJ.BA,A=90,又根据已知条件不能得

到诟=就，故4ABC一定是直角三角形

5、设a=(ai,a2),b=(biM).定义一种向量积a③2=(aibi,a2b2).已知向量

/〃=(2,：),〃=(7,0),点P(x,y)在y二sinx的图象上运动,Q是函数y二f(x)图象上

/0

的点，且满足而=m®0P+n(其中0为坐标原点)，则函数y=f(x)的