人教版数学九年级上册教案第二十四章圆

其次十四章圆

单元要点分析

教学内容

1.本单元数学的主要内容.

（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角.

（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置

关系.

（3）正多边形和圆.

（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面枳.

2.本单元在教材中的地位与作用.

学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式相识了很多图形

的性质，积累了大量的空间与图形的阅历.本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基

础上，进一步来探究一种特别的曲线一圆的有关性质.通过本章的学习，对学生今后接着

学习数学，尤其是逐步树无分类探讨的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.本

章的学习是中学的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程.

教学目标

1.学问与技能

（1）了解圆的有关概念，探究并理解垂径定理，探究并相识圆心角、弧、•弦之间的相

等关系的定理，探究并理解圆周角和圆心角的关系定理.

（2）探究并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探究切

线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.

（3）进一步相识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算.

（4）娴熟驾驭弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面绽开图并娴熟驾

驭圆锥的侧面积和全面积的计算.

2.过程与方法

（1）主动引导学生从事视察、测量、平移、旋转、推理证明等活动.•了解概念，理解

等量关系，驾驭定理及公式.

（2）在教学过程中，激励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的沟通.

（3）在探究圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类探讨的数学思想和

归纳的数学思想.

（4）通过平移、旋转等方式，相识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在

运动改变中的特点和规律，进一步发展学生的推理实力.

（5）探究弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、

理解算法的意义.

3.情感、看法与价值观

经验探究圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思索实力；通过主动引导，帮助学生

有意识地积累活动阅历，获得胜利的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性

的情景，激发学生求知、探究的欲望.

教学重点

1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用.

2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用.

3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一

半及其运用.

4.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90・°的圆周角所对的弦是直径及其运用.

5.不在同始终线上的三个点确定一个圆.

6.直线L和。。相交Od<r；直线L和圆相切Od=i•:直线L和。。相离<=>d>r及

其运用.

7.圆的切线垂直于过切点的半径及其运用.

8.•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些详细问

题.

9.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两

条切线的夹角及其运用.

10.两圆的位置关系:d与h和？之间的关系:外离<=>d>ri+r2；外切Od=ri+n；相

交=|ro-ri|<d<ri+r2；内切<=>d=|口-戏I;内含<=>d<|寰-hI.

11.正多边形和圆中的半径R、边心距「、中心角。之间的等量关系并应用这个等量关

系解决详细题目.

12.n°的圆心角所对的弧长为L=U4,n°的圆心角的扇形面积是5碇=丝上及其

180360

运用这两个公式进行计算.

13.圆锥的侧面积和全面积的计算.

教学难点

1.垂径定理的探究与推导及利用它解决一些实际问题.

2.弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探究与推导并运用它解决一些实际问题.

3.有关圆周角的定理的探究及推导及其它的运用.

4.点与圆的位置关系的应用.

5.三点确定一个圆的探究及应用.

6.直线和圆的位置关系的判定及其应用.

7.切线的判定定理与性质定理的运用.

8.切线长定理的探究与运用.

9.圆和圆的位置关系的判定及其运用.

10.正多边形和圆中的半径R、边心距八中心角。的关系的应用.

11.n的圆心角所对的弧长L=—及S扇形=上上的公式的应用.

180360

12.圆锥侧面绽开图的理解.

教学关键

1.主动引导学生通过视察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探究定理、•性质、”三

个”位置关系并推理证明等活动.

2.关注学生思索方式的多样化，留意学生计算实力的培育与提高.

3.在视察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，•发展学生

有条理的思索实力及语言表达实力.

单元课时划分

本单元教学时间约需13课时，详细安排如下：

24.1I员I3课时

24.2与圆有关的位置关系4课时

24.3正多边形和圆1课时

24.4弧长和扇形面积2课时

教学活动、习题课、小结3课时

24.1圆

第一课时

教学内容

1.圆的有关概念.

2.垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其它

们的应用.

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并敏捷运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题.

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有大概念.利用操作几何

的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴.通过复合图形的折叠方法得

出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解.

重难点、关键

1.重点：垂径定理及其运用.

2.难点与关键：探究并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）

1.举诞生活中的圆三、四个.

2.你能讲出形成圆的方法有多少种？

老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等.（2）圆规：固定一个定点，固定一个

长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆.

二、探究新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形

叫做圆.固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径.

以点O为圆心的圆,记作“。0”，读作“圆O”.

学生四人一组探讨下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心0）的距离有什么规律？

问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

老师提问几名学生并点评总结.

（1）图上各点到定点（圆心0）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O,半径为r的圆可以看成是全部到定点O的

距离等于定长r的点组成的图形.

同时，我们又把/X

0

AC

①连接圆上随意两点的线段叫做弦，如图线段AC,AB：

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

③圆上随意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆

弧AC”或“弧AC”.大于半圆的弧（如图所示A3c叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所

示）AC或8c叫做劣弧.

④圆的随意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

（学生活动）请同学们回答下面两个问题.

1.圆是轴对称图形吗？假如是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？

2.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行沟通.

（老师点评）1.圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到多数多条直径.

3.我是利用沿着圆的随意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的.

因此，我们可以得到：|圆是轴对称图形，其对称轴是随意一条过圆心的直线.

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是。。的一条弦，作直径CD,使CD_LAB,垂足为M

（1）如图是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？卜一.M

（2）你能发觉图中有哪些等量关系？说一说你理由.（1\

（老师点评）\I/

（I）是轴对称图形，其对称轴是CD.

（2）AM=BM,AC=BC,AO=8。，即直径CD平分弦AB,并且平分检及ADB.

这样，我们就得到下面的定理：|垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

己知：直径CD、弦AB且CD_LAB垂足为M

C

求证：AM=BM,AC=BC,AD=BD.k厂|7^中

分析：要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.（1）

因此，只要连结OA、・0B或AC、BC即可.11/

证明：如图，连结OA、0B,则OA=OB

在RtAOAM和RtAOBM中

OA=OB

：.RtAOAM^RtAOBM，AM=BM二点A和点B关于CD对称

[OM=OM

•・・。0关于直径CD对称

・•・当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，4c与8c重合，AO与重合.

AC=BC,AD=BD

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条孤厂

（本题的证明作为课后练习）

例1.如图，一条马路的转弯处是一段圆弦（即图中C。，点O是的圆心，•其中

CD=600m,E为C。上一点，KOE1CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中运用了列方程的方法，这种用代数方法解

决几何问题即几何代数解的数学思想方法确定要驾驭.-

解：如图，连接0C设弯路的半径为R,则0F=[R-90)m.

11/

VOE1CD.-.CF=-CD=-X600=300(m)/\

22//F\

依据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=30()2+(R-90)21一一一]0

解得R=545这段弯路的半径为545m.

三、巩固练习

教材P86练习P88练习.

四、应用拓展

例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=・60m,水

面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否须要实行紧急措施？请说

明理由.

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m•是否须要实行紧急措施，•只要求出DE

的长，因此只要求半径R・然后运用几何代数解求R.

解；不须要实行紧急措施D

设OA=R,在RtaAOC中，AC=30,CD=18MIE,N

R2=302+(R-18)2R2=900+R2-36R+324解得R=34

r

连接OM,设DE二x,在RtZ\MOE中，ME=16A--------------1------------B

342=162+(34-X)2162+342-68X+X2=342X2-68X+256=00

解得xi=4,X2=64(不合设)・・・DE=4,不需实行紧急措施.

五、归纳小结(学生归纳，老师点评)

本节课应驾驭：

1.圆的有关概念；

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.

3.垂径定理及其推论以及它们的应用.

六、布置作业

1.教材P94复习巩固1、2、3.

2.车轮为什么是圆的呢？

3.垂径定理推论的证明.

4.选用课时作业设计.

第一课时作业设计

一、选择题.

I.如图1,假如AB为。。的直径，弦CD_LAB,垂足为E,则下列结论中错误的是()

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBADD.AC>AD

2.如图2,(DO的直径为10,圆心O至I」弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是()

A.4B.6C.7D.8

3.如图3,在。O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•下列结论中不正确的是

A.AB±CDB.ZAOB=4ZACDC.AD=BDD.PO=PD)

⑶

二、填空题

1.如图4,AB为。O直径，E是BC中点，0E交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=

2.P为。O内一点，OP=3cm,。。半径为5cm,则经过P点的最短弦长为；•最

长弦长为.

3.如图5,OE、OF分别为OO的弦AB、CD的弦心距，假如OE=OF,则（只需

写一个正确的结论）

三、综合提高题

1.如图，AB为。O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN_LCD、

DM・_LCD,•分别交AB于N、M,图中的AN与BM相等吗？

说明理由.

2.如图，在。O中，直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,

EB=6,ZDEB=30°,求弦CD长.

3.（开放题）AB是。O的直径，AC、AD是。。的两弦，

已知AB=16,AC=8,AD=・8,•求NDAC的度数.

答案：

一、1.D2.D3.D

二、1.82.8103.AB=CD

三、1.AN=BM理由：过点O作OE_LCD于点E,则CE=DE,且CN〃OE〃DM.

・・・ON=OM,.\OA-ON=OB-OM,/.AN=BM.

2.过O作OF_LCD于F,如右图所示

VAE=2,EB=6,/.OE=2,:・EF=BOF=1,连结OD,

在RtZ\ODF中，42=I2+DF2,DF=V15,ACD=2^15.

3.(I)AC、AD在AB的同旁，如右图所示：

fT111

VAB=16,AC=8,AD=8V3，/.-AC=-(-AB),

222

.,.ZCAB=60°,同理可得NDAB=3(T,/.ZDAC=30°.

(2)AC、AD在AB的异旁，同理可得：ZDAC=60°+30°=90°.

24.1圆（第2课时）

教学内容

1.圆心角的概念.

2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，

所对的弦也相等.

3.定理的推论：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，•则它们所对的圆心角相等，所对

的弦相等.

在同圆或等圆中，假如两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.

教学目标

了解圆心角的概念：驾驭在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可

以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.

通过复习旋转的学问，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的学问探究在同圆或等

圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都分

别相等，最终应用它解决一些详细问题.

重难点、关键

1.重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两

个推论和它们的应用.

2.难点与关键：探究定理和推导及其应用./

教学过程/\

一、复习引入\

（学生活动）请同学们完成下题.

已知△OAB,如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形.°

老师点评：绕O点旋转，。点就是固定点，旋转30°,就是旋转角/BOB'=30c.

二、探究新知

如图，NAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.伏「/\

（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：）

如图，在。O中，分别作相等的圆心角NAOB•和/A・'OB・'；0I

将圆心角NAOB绕圆心0旋转到NA'OB'的位置，你能发觉\/

哪些等量关系？为什么？------

AB=A'B\AB=A'B'理由如卜•：

•・•半径OA与O'A'重合，且NAOB=NA'OB'

・•・半径OB与OB'重合

•・•点A与点A'重合，点B与点B'重合

・•・A6与48'重合，弦AB与弦A'B'重合

AB=A'B\AB=A'B

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动

手作一作.

（学生活动）老师点评：如图1,在。O和。O'中，•分别作相等的圆心角NAOB和

/A'O'B'得到如图2,滚动一个圆，使O与O'重合，固定圆心，将其中的一个圆旋

转一个角度，使得OA与O'A'重合.

你能发觉哪此等量关系？说一说你的理由？

我能发觉:AB=A'B',AB=AB'.

现在它的证明方法就转化为前面的说明白，这就是又回到了我们的数学思想上的化归思

想，化未知为己知，因此，我们可以得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，假如两条弧相等，则它们所对的园心角相等，­所对的弦也相等.

在同圆或等圆中，假如两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等.

（学生活动）请同学们现在赐予说明一下.

请三位同学到黑板板书，老师点评.

例1.如图，在。。中，AB、CD是两条弦，OE_LAB,OF1CD,垂足分料为EF.

（1）若NAOB=NCOD,则OE与OF的大小有什么关系？y

为什么？/1\

（2）若OE=OF,则A8与。。的大小有什么关系？^

AB与CD的大小有什么关系？为什么？）

ZAOB与ZCOD呢？

分析：（1）要说明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF,

即说明AB二CD,因此，只要运用前面所讲的定理即可.

（2）VOE=OF,•••在RlaAOE和Rl^COF中，

又有AO=CO是半径，ARtAAOE^RfACOF,AAE=CF,/.AB=CD,

又可运用上面的定理得到AB=CO

解：（1）假如NAOB=NCOD,则OE=OF理由是：

,/ZAOB=ZCOD/.AB=CD

VOE1AB,OF1CDAAE=-AB,CF=-CDAAE=CF

22

又VOA=OCZ.RtAOAE^RtAOCFAOE=OF

(2)假如OE=OF,则AB=CD,AB=CD,ZAOB=ZCOD理由是:

VOA=OC,OE=OFARtAOAE^RtAOCFAAE=CF

又,.,OE_LAB,OF±CDAAE=-AB,CF=-CDAAB=2AE,CD=2CF

22

AAB=CD/.AB=CD,ZAOB=ZCOD

三、巩固练习

教材P89练习1教材P90练习2.

四、应用拓展

例2.如图3和图4,MN是0O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P,・/APM:

ZCPM.

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由.

（2）若交点P在。0的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请

说明理由.

（3）（4）

分析：（1）要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一

半相等.（2）上述结论仍旧成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的.

解：⑴AB=CD

理由：过0作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、F

VZAPM=ZCPMAZ1=Z2OE=OF

连结OD、0B且OB=OD/.RtAOFD^RtAOEB.\DF=BE

依据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OEJ_AB,OF1CD,垂足为E、F

ZAPM=ZCPN且OP=OP,ZPEO=ZPFO=90"ARtAOPE^RtAOPFAOE=OF

连接OA、OB、OC、OD易证RlZXOBEgRl^ODF,RlAOAE^RtAOCF

AZ1+Z2=Z3+Z4JAB=CD

五、归纳总结（学生归纳，老师点评）

本节课应驾驭：

1.圆心角概念.

2.在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•则它仅所对

应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用.

六、布置作业

1.教材P94-95复习巩固4、5、6、7、8.

2.选用课时作业设计.

其次课时作业设计

一、选择题.

1.假如两个圆心角相等，则()

A.这两个圆心角所对的弦相等；B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等；D.以上说法都不对

2.在同圆中，圆心角NA0B=2NC0D,则两条弧AB与CD关系是()

A.AB=2CDB.AB>CDC.AB<2CDD.不能确定

3.如图5,中，假如A8=2AC,则().

A.AB=ACB.AB=ACC.AB<2ACD.AB>2AC

二、填空题

1.交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的.

2.一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的.

3.如图6,AB和DE是。。的直径，弦AC〃DE,若弦BE=3,则弦CE=.

三、解答题

1.如图，在。0中，C、D是直径AB上两点，且AC二BD,MC±AB,NDXAB.M、

N•在。O上.

(I)求证：AM=RN：

(2)若C、D分别为OA、OB中点，则=成立吗？

2.如图，以OABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F,

若ND=50°,求BE的度数和EF的度数.

3.如图，ZAOB=90°,C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F,

第3题图

答案：

一、1.D2.A3.C

二、1.圆的旋转不变形2.，或23.3

33

三、1.(1)连结OM、ON,在Rt^OCM和RtZXODN中OM=ON,OA=OB,

VAC=DB,r.OC=OD,/.RtAOCM^RtAODN,AZAOM=ZBON,AM=NB

(2)AM=MN=NB

2.BE的度数为80°,EF的度数为50°.

3.连结AC、BD,YC、D是AS三等分点，，AOCD=DB且NAOC=1X90°=30

3

VOA=OC,/.ZOAC=ZOCA=75°,又NAEC=NOAE+NAOE=450+30°=75°，

.\AE=AC,同理可证BF=BD,Z.AE=BF=CD

24.1圆（第3课时）

教学内容

i.圆周角的概念.

2.圆周角定理：在问圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对

的圆心角的一半.

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径及其它们的

应用.

教学目标

1.了解圆周角的概念.

2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等孤所对的圆周角相等，都等于这条

弧所对的圆心角的一半.

3.理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的员1周角是直角，90°的圆周角所对

的弦是直径.

4.娴熟驾驭圆周角的定理及其推理的敏捷运用.

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想赐予

逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最终运用定理及其推导解决

一些实际问题.

重难点、关键

1.重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

2.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.

3.关键：探究圆周角的定理的存在.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面两个问题.

1.什么叫圆心角？

2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角.

（2）在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则它们所

对的其余各组后都分别相等.

刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的美系，假如顶点不在圆心上，它在其它的

位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今日要探讨，要探讨，要解

决的问题.

二、探究新知

问题：如图所示的。3,我们在射门嬉戏中，设E、F是球门，

设球员们只能在石厂圻在的。0其它位置射门，如图所示的

A、B、C点.通过视察，我们可以发觉像NEAF、NEBF、ZECF

这样的角，它们的顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.

1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？

2.同弧所对的圆周角的度数是否发生改变？

3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

（学生分组探讨）提问二、三位同学代表发言.

老师点评：

1.一个弧上所对的圆周角的个数有多数多个.

2.通过度量，我们可以发觉，同弧所对的圆周角是没有改变的.

3.通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半.

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周帘的度数没有改变,开且它的度数

恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”

（1）设圆周角/ABC的一边BC是。。的直径，如图所示

•・•ZAOC是△ABO的外角JZAOC=ZABO+ZBAO

VOA=OB:、ZABO=ZBAO:.ZAOC=ZABO，ZABC=-ZAOC

2

（2）如图，圆周角/ABC的两边AB、AC在•条直径OD的两侧，

B

则/ABC二LZAOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程.

A

2

老师点评：连结B0交。0于D,

同理NAOD是△ABO的外角，ZCOD是aBOC的外角，

则就有NAOD=2NABO,ZD0C=2ZCB0,因此NAOC=2NABC.

（3）如图,圆周角3ABe的两边AB、AC在一条直径01）的同侧，

则NABC=L/AOC吗？请同学们独立完成证明.

2D

老师点评：连结0A、0C,连结B0并延长交。。于D,

则NA0D=2NABD,ZC0D=2ZCB0,

E

而NABC=NABD-NCBD=1ZAOD--ZCOD=-ZAOC

222

现在，我假如在画一个随意的圆周角NAB'C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半，

因此，同弧上的圆周角是相等的.

从（1）、（2）、（3）,我们可以总结归纳出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目.A

例L如图，AB是。。的直径，BD是。0的弦，延长BD到C,

使AC=AB,BD与Cl）的大小有什么关系？为什么？/

分析：BD二CD,因为AB=AC,所以这个aABC是等腰，（0）J>C

要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是NBAC欠?^

解：BD二CD理由是：如图24-30,连接AD

D

；AB是。0的直径AZADB=90°即AD_LBC又・.・AC=ABABD=CD

三、巩固练习

1.教材P92思索题.

2.教材P93练习.

四、应用拓展

例2.如图，已知AABC内接于。0,NA、NB、NC的对边分别设为a,b,c,。0半

径为R,求证：---=---=---=2R.

sinAsinBsinC

要证明，一=〃一=—^=2R,

分析:

sinAsinBsinC

只要证明--=2R,--二2R,=J=2R,

sinAsinBsinC

即sinA=-^-,sinB---->sinC=——，

2R2R2R

因此，特别明显要在直角三角形中进行.

证明：连接C0并延长交。。于D,连接DB

〈CD是直径AZDBC=90°

XVZA=ZD在RtZXDBC中，sinD二——,即2R:-----

DCsinA

同理可证：」h一二2R,」c一二2R.・.」a一二一h^二二一c二2R

sinBsinCsinAsinBsinC

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应驾驭：

1.圆周角的概念:

2.圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所

对的圆心角的一半；

3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

4.应用I员I周角的定理及其推导解决一些详细问题.

六、布置作业

1.教材P95综合运用9、10、11拓广探究12、13.

2.选用课时作业设L.

第三课时作业设计

一、选择题

1.如图1,A、B、C三点在。0上，ZA0C=100°,则NABC等于（）.

A.140°B.110°C.120°I).130°

2.如图2,Nl、N2、N3、Z4的大小关系是()

A.Z4<Z1<Z2<Z3B.Z4<Z1=Z3<Z2

C.Z4<ZKZ3Z21).Z4<Z1<Z3=Z2

3.如图3,AD是。。的直径,AC是弦,0B±AD,若0B=5,且NCAD=30°,则BC等于

A.3B.3+&C.5--y/3D.5()

2

⑵⑶

二、填空题

1.半径为2a的。0中，弦AB的长为2ga,则弦AB所对的圆周角的度数是—

2.如图4,A、B是O0的直径，C、D、E都是圆上的点，则Nl+N2=.

3.如图5,已知AABC为。0内接三角形，BC=1,ZA=60°,则。0半径为

三、综合提高题

1.如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知（30半径为1,求弦长AB.

2.如图，已知AB=AC,ZAPC=60°

（1）求证：AABC是等边三角形.（2）若BC=4cm,求。。的面积.

3.如图，（DC经过坐标原点且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为（0,4）,

M是圆上一点，ZBM0=120°.

（1）求证：AB为（DC直径.（2）求。C的半径及圆心C的坐标.

第2题图第3题图

答案：

■、1.D2.B3.D

二、1.120°或6002.90°3.

3

三、1.6

2.(1)VZABC=ZAPC=60°,又A8=AC,

/.ZACB=ZABC=60°,，△ABC为等边二角形.

(2)连结OC,过点。作OD_LBC,垂足为D,

4l

在RtAODC中,DC=2,Z0CD=30°,设OD=x,则0C=2x,.\4x2-x2=4,A0C="V3

3

3.(1)略(2)4,(-2x/3,2)

点和圆的位置关系

教学目标

（一）教学学问点

了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆

的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

（二）实力训练要求

1.经验不在同一条直线.上的三个点确定一个圆的探究过程，培育学生的探究实力.

2.通过探究不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题

的策略.

（三）情感与价值观要求

1.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践实力与创新

精神.

2.学会与人合作，并能与他人沟通思维的过程和结果.

教学重点

1.经验不在同•条直线上的三个点确定•个圆的探究过程，并能驾驭这个结论.

2.驾驭过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.

3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

教学难点

经验不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探究过程，并能过不在同一条直线上的

三个点作圆.

教学方法

老师指导学生自主探究沟通法.

教具打算

投影片三张

第一张：（记作§3.4A）

其次张：（记作§3.4B）

第三张：（记作§3.4C）

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］我们知道经过一点可以作多数条直线，经过两点只能作一条直线.则，经过一点

能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探究.

II.新课讲解

1.回忆及思索

投影片(§3.4A)

1.线段垂直平分线的性质及作法.

2.作圆的关键是什么？

［生］1.线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

作法：如下图，分别以/、8为圆心，以大于,力分长为半径画弧，在/历的两侧找出两

2

交点GD,作直线切，则直线”就是线段//〃的垂直平分线，直线口上的任一点到X与〃

的距离相等.

［师］我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的全部点组成的图形叫做

圆.定点即为圆心，定长却为半径.依据定义大家觉得作圆的关键是什么？

［生］由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题.因此作圆的关键是确定

圆心和半径的大小.确定了圆心和半径，圆就随之确定.

2.做一做(投影片§3.4B)

(1)作圆，使它经过已知点儿你能作出几个这样的圆？

(2)作圆，使它经过已知点/!、反你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分

布有什么特点？与线段用有什么关系？为什么？

(3)作圆，使它经过已知点力、B、以力、B、。三点不在同一条直线上).你是如何作的？

你能作出几个这样的圆？

［师］依据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家相互交换

看法并作出解答.

［生］(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点力作圆，只要圆心确定下来,

半径就随之确定了下来.所以以点力以外的随意一点为圆心，以这一点与点力所连的线段为

半径就可以作一个圆.由于圆心是随意的.因此这样的圆有多数个.如图(1).

⑵已知点力、■都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径,因此圆心到48的距离相

等.依据前面提到过的线段的垂直平分线的性侦可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端

点的距离相等，则圆心应在线段48的垂直平分线上.在力8的垂直平分线上随意取一点，都

能满意到力、8两点的距离相等，所以在18的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点

到力的距离即为半径.圆就确定下来了.由于线段/切的垂直平分线上有多数点，因此有多

数个圆心，作出的圆有多数个.如图(2).

(3)要作一个圆经过人生。三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相

等.因为到力、8两点距离相等的点的集合是线段/山的垂直平分线，到8、。两点距离相等

的点的集合是线段比的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满意到/、B、。三点的距离

相等，就是所作圆的圆心.

因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满意条件的圆.

［师］大家的分析很有道理，原委应当怎样找圆心呢？

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

［生］符合要求.

因为连结力反作/仍的垂直平分线外则加上随意一点到/I、6的距离相等；连结以7,

作班的垂直平分线而，则用上的任一点到从C的距离相等.切与咫的满意条件.

［师］由上可知，过已知一点可作多数个圆.过已知两点也可作多数个圆，过不在同一

条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.

不在同始终线上的三个点确定一个圆.

4.有关定义

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆

(circumcircleoftriangle),这个三角形叫这个圆的内接三角形.

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter).

m.课堂练习

已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分另！作出它们的外接圆，它们外心的位

置有怎样的特点？

解：如下图.。为外接圆的圆心，即外心.

锐角三角形直角三角形钝角三角形

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心

在三角形的外部.

IV.课时小结

本节课所学内容如下：

1.经验不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探究过程.

方法.

3.了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念.

V.课后作业

习题3.6

VI.活动与探究

如下图，⑦所在的直线垂直平分线段/班怎样运用这样的工具找到圆形工件的圆心?

解:因为小8两点在圆上，所以圆心必与力、8两点的距离相等，又因为和一条线段

的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在切所在的直线上.因此

运用这样的工具可以作出圆形工件的随意两条直径.它们的交*就是圆心.

板书设计

§3.4确定圆的条件

一、1.回忆及思索（投影片§3.4A）

2.做一做（投影片§3.4B）

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

4.有关定义

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

直线和圆的位置关系

教学目标

（一）教学学问点

1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.

2.了解切线的概念，探完切线与过切点的直径之间的关系.

（二）实力训练要求

1.经验探究直线与圆位置关系的过程，培育学生的探究实力.

2.通过视察得出“圆心到直线的距离"和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关

系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化.

（三）情感与价值观要求

通过探究直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充溢着探究与创建，感受数学的

严谨性以及数学结论的确定性.

在数学学习活动中获得胜利的体验，熬炼克服困难的意志，建立自信念.

教学重点

经验探究直线与圆位置关系的过程.

理解直线与圆的三种位置关系.

了解切线的概念以及切线的性质.

教学难点

经验探究直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系.

探究圆的切线的性质.

教学方法

老师指导学生探究法.

教具打算

投影片三张：

第一张:（记作§3.5.1A）

其次张：（记作§3.5.1B）

第三张：（记作§3.5.10

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？

［生］I员I是平面上到定点的距离等于定长的全部点组成的图形.即圆上的点到圆心的距

离等于半径：圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径.因此点和

圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外.也可以把点与圆心的距离和半径

作比较,若距离大于半杼在恻外,等干半杼在圆匕小干半仔在圆内.

［师］本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系.

II.新课讲解

1.复习点到直线的距离的定义

［生］从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条

直线的距离.「

如下图，。为直线"外一点，从C向4?引垂线，。为垂足，

则线段⑦即为点C到直线相的距离.

2.探究直线与圆的三种位置关系A®

［师］直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家留意视察，这样的

例子是很多的.如大家请看课本113页，视察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎

样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线