山东省青岛市2024-2025学年高三上册入学考试数学检测试题（附解析）

山东省青岛市2024-2025学年高三上学期入学考试数学检测试题一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合，，若，则（

）A． B． C． D．2．若复数满足（其中是虚数单位），则的虚部是（

）A．1B．-1 C． D．3．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（

）A． B．C． D．4．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（

）A． B． C． D．95．已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（）A． B．C． D．6．基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（

）．A．种 B．种 C．种 D．种7．在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（

）A． B． C． D．8．已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是A． B． C． D．二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分）9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．向量，在上的投影向量相等 D．10．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（

）A．关于的函数是偶函数B．若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D．若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米11．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（）A． B．C． D．三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．的展开式中常数项为.（用数字作答）13．意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波拉契数列”.那么是斐波拉契数列中的第项.14．已知函数，则方程恰好有6个不同的解，则实数的取值范围为.四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题13分）已知递增的等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且.(1)证明：平面；(2)若平面为的中点，，求二面角的正切值.17．在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．(1)若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；(2)探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．18.已知函数，若将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像．(1)求函数的周期和对称轴方程；(2)若方程在上的零点从小到大依次为，，，求的值；(3)若方程在上的解为，求．19．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.(1)判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；(2)已知函数是“旋转函数”，求的最大值；(3)若函数是“旋转函数”，求的取值范围.

数学试题答案一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合，，若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【详解】由，得，即，此时，由，得，而，所以.2．若复数满足（其中是虚数单位），则的虚部是（

）A．1B．-1 C． D．【正确答案】B【详解】依题意，，的虚部是.3．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（

）A． B．C． D．【正确答案】D【详解】观察图象可知函数为偶函数，对于A，，为奇函数，排除；对于B，，为奇函数，排除；同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为，不是R，舍去，故D正确.故选：D4．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（

）A． B． C． D．9【正确答案】A【详解】由题意得，劣弧，故扇形的面积为，设圆心角为，则，故，故圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积为.

5．已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（）A． B．C． D．【正确答案】C【详解】对于A，令，显然有，而，A不是；对于B，当，时，，B不是；对于C，当，时，由，得，当且仅当时取等号，反之取，满足，而不成立，因此是成立的一个充分不必要条件，C是；对于D，令，不等式成立，而，D不是.故选：C6．基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（

）．A．种 B．种 C．种 D．种【正确答案】A【详解】先将五门课程分成三组，再安排到三个学年中，则共有种选修方式

7．在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【详解】连接、，交于点，连接，为菱形，，所以，，，所以为二面角的平面角，于是，又因为，所以，取中点，取中点，连接、、，所以、，所以、，，相交，所以平面，所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为，因为，，，所以的周长为，所以点轨迹的长度为．8．已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是A． B． C． D．【正确答案】D【详解】由题设有，令，则有即.因为在区间内没有零点，故存在整数，使得，即，因为，所以且，故或，所以或

二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分）9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．向量，在上的投影向量相等 D．【正确答案】BC【详解】作向量，在中，，，由向量平分与的夹角，得是菱形，即，对于A，与不一定垂直，A错误；对于B，，即，B正确；对于C，在上的投影向量，在上的投影向量，C正确；对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.10．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（

）A．关于的函数是偶函数B．若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D．若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米【正确答案】BCD【详解】对A，由题意，，所以，当时，可得，所以，故，所以是非奇非偶函数，故A错误；对B，由题意，即，即，所以，或，，即或，，故B正确；对C，由题意，即，即，所以，，解得.所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，C正确；对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，因为两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是，故（m）.故D正确.11．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（）A． B．C． D．【正确答案】BCD【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；因为为偶函数，所以，即，则，又，所以，所以，即，所以，故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；对两边同时求导，得，所以导函数的周期为8，所以，故C正确；由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，所以，故D正确.

三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．的展开式中常数项为.（用数字作答）【正确答案】84【详解】根据通项公式,令,解得,所以,13．意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波拉契数列”.那么是斐波拉契数列中的第项.【正确答案】2024【详解】由已知，.即是斐波拉契数列中的第2024项.14．已知函数，则方程恰好有6个不同的解，则实数的取值范围为.【正确答案】【详解】令，，作出图象，作出图像，时，有两根，设为，，则，，即，此时有2个根，，此时有2个根，共4个根，不满足条件.时，，解得或或6，即，无解，，2解，，2解，共4个解，不满足条件.时，，有四个根，设为，，，，其中，，，，即，无解，，无解，，2解，，2解，共4个解，不满足条件.时，有4个根，0，2，，（），，1解，，1解，，2解，，2解，共6解，满足条件.时，，有3个根，设为，，，其中，，，即有2解，有2解，有2解，共6解，满足条件.时，，有两根和3，有2个根，有2个根，共4个根，不满足条件，综上.故答案为.四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题13分）已知递增的等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设等比数列公比为，由题，…………2分解得，…………4分故．…………5分（2），…………7分所以，…………9分，…………11分．…………13分

16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且.(1)证明：平面；(2)若平面为的中点，，求二面角的正切值.【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】证明：方法1：如图，在上取一点，使得，连接，，，因为底面是平行四边形，所以，所以，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，…………2分又因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，…………4分又因为，平面，所以平面平面，…………5分因为平面，所以平面.…………6分方法2：利用线线平行证明，也可酌情给分在上取一点，使得，连接证明出四边形为平行四边形…………4分得出…………5分，证明平面.…………6分（2）当为中点，，，易知，为中点，又因为平面，所以两两垂直，…………8分则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如（1）图，设，则，，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则，令，得，……10分设平面的一个法向量为，则，令，得，……12分所以，…………14分故二面角的正弦值为，正切值为.故二面角的正切值为.…………15分17．在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．(1)若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；(2)探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)(2)存在；【详解】（1）由已知，得，…………2分因为，所以，斜率，…………4分因此，切线方程为，即．…………6分（2）存在符合题意的点，理由如下：…………7分设点为符合题意的点，，直线的斜率分别为．联立方程，得，…………8分因为，则，可得，…………10分从而……12分，……14分因为不恒为0，可知当且仅当时，恒有，则直线与直线的倾斜角互补，故，所以点符合题意．…………15分注意：本题是利用点位置证明，如果证明逻辑有误，扣1分.此处也可以带入消去仍得到相同的式子18.已知函数，若将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像．(1)求函数的周期和对称轴方程；(2)若方程在上的零点从小到大依次为，，，求的值；(3)若方程在上的解为，求．【详解】（1），…3分，…………4分令，得∴对称轴方程；…………5