全国新课标卷数学分析与复习建议

全国新课标卷数学分析与复习建议全国新课标卷数学分析与复习建议全国新课标卷数学分析与复习建议提纲：一、连续五年课标数学卷试题分布及高考数学课标卷特点；二、圆锥曲线、函数与导数两个重要模块内容认识与复习建议；三、河北正定中学高三数学复习备考策略；2020/12/182数学全国新课标卷的发展变化2020/12/1832016年高考数学试卷分布情况：2020/12/184理科数学选择题考查内容

2011-2015年新课标卷各题考点内容分布图2020/12/1852012—2015理科数学填空题知识点分布图2020/12/186理科数学解答题考查内容2020/12/1872011—2015新课标Ⅰ数学试卷（理科）主干知识分布2020/12/1881、传统教材中重点内容重点考察，反复考察,多角度考察；2、对教材新增内容的考查日趋稳定；

课标卷数学试题充分体现新课改的理念，对教材新增内容的考查明确，且难易适度，既体现了基础知识的与时俱进又有利于中学数学教学，对算法框图、三视图、线性规划、抽样方法与回归分析、函数与导数等新增内容的考查成为新课标卷的热点。其中函数与导数成为高考理科的压轴题。全国课标卷数学试卷特点3、课标数学卷难度有从易到难的趋势，试卷创新度、区分度较高；三角函数+数列，立体几何、解析结合2020/12/1894、课标卷1中文理科试卷差距逐渐加大，体现了对文理科学生不同特点的把握；2013年文理科相同试题：4，7，11，12，13，16、三选一2014年文理科相同试题：5,9,12,14，三选一2015年文理科相同试题：6,8,9,11,19,三选一

立体几何试题中理科侧重位置关系和角、距离的计算，文科侧重位置关系和体积的计算

圆锥曲线试题中理科侧重椭圆、抛物线位置关系的判断及最值的研究，文科侧重直线与圆的研究；

抽样统计试题中理科侧重概率、期望、方差的计算，文科侧重茎叶图、直方图、方差的计算。2020/12/18105、课标数学卷侧重对学生思维能力的考察，更侧重对学生运算能力的考察；

运算能力是数学的根本，运算能力是思维能力与运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对学生数学运算能力的考查，主要是对算理和逻辑推理的考查，如集合的运算，向量的运算，复数的运算，三角运算，框图运算，数列计算、距离计算、体积计算等基本的运算题构成了对数学基础知识的考查模式2020/12/18112012年高考文科试卷对运算能力的考察2020/12/18126、坚持能力立意，坚持对数学思想的考察：2020/12/18132020/12/18142020/12/18152020/12/18162020/12/18172020/12/18182020/12/18192020/12/18202020/12/18212020/12/18222020/12/1823主要内容：1、近三年高考圆锥曲线试题回顾及认识；2、学生存在问题、难点分析；3、圆锥曲线试题突破策略；（1）程序化是解决圆锥曲线试题的基本方法；（2）简化运算的基本途径及思路;（3）向量条件的灵活应用；（4）几类典型试题的解决策略；4、圆锥曲线三轮复习策略；对圆锥曲线模块的研究2020/12/18242013年理科试题2020/12/18252014年理科试题2020/12/18262015年理科试题2020/12/1827同2013理科同2013理科2013年文科试题2020/12/18282014年文科试题2020/12/18292015年文科2020/12/18301、从连续三年高考看圆锥曲线命题的变化趋势及认识：（1）圆锥曲线部分“两小一大”的分布特点在高考中比较稳定；（2）文理科客观题部分均体现了对圆锥曲线部分知识点及二级结论的考察，体现学生对知识点覆盖面的掌握程度及有关简化运算策略的应用；2013年理科2020/12/1831二级结论：2020/12/1832结论：2020/12/1833抛物线焦点弦常用结论：2020/12/1834（3）文理科三个试题中主观题均未涉及双曲线部分，理科试卷中主观题以椭圆与抛物线为主；文科试卷连续五年主观题部分都与圆有关，文科主观题难度有所降低；（4）不论客观题还是主观题，两条曲线简单拼凑的迹象比较明显,但对学生而言两条曲线的简单拼凑对基本量的考察是一个难点；（5）圆锥曲线试题运算量逐渐降低。从我校学生的得分情况看，学生在客观题部分得分虽然名次靠前，但2015年高考圆锥曲线试题得分有所下降，而主观题部分学生的得分情况有所上升；2020/12/1835

2020/12/1836二、学生在圆锥曲线试题方面存在的主要问题：1、条件的使用乱而无序；不能从前往后一个一个的使用条件，不能将每句话转化为数学符号；2、条件的本质不能抓住：条件的内涵没有挖掘出来，人为的制造复杂；3、化简变形没有方向；4、典型试题方法不全；知识点（包括二级结论）不够扎实全面、范围问题、最值问题、定点定值问题、切线问题方法单一甚至没有方法；5、运算能力非常欠缺；运算出错根源分析：求快心理+着急心理+草稿纸上乱写6、解题信心严重不足；7、书写混乱看不清楚；2020/12/1837（1）设椭圆方程：利用焦点或准线方程形式确定椭圆焦点所在的轴从，利用待定系数法进而求出1、直线和圆锥曲线问题的程序化策略

或

而设出椭圆标准方程从而得到椭圆的方程；当不知道椭圆焦点所在的轴时，可以设椭圆的方程为；当然，如果条件中给出了椭圆方程这一步骤就可以省略；（2）设直线的方程；当直线过定点可设为，若条，但不管那种形式都需要考件不具体，则直线往往设成虑直线斜率不存在的情况；三、圆锥曲线试题突破策略：2020/12/1838（3）若条件中涉及到两个交点，可设交点坐标同时将直线和椭圆的方程联立得：消去，得到关于的一元二次方程

注意：对于直线和双曲线问题要重视对二次项系数的讨论.（4）两个交点

注意：对直线和双曲线相交问题要注意两个交点在同一支上还是在不同支上，从而建立不同的不等式.2020/12/1839（将用表示，进一步用方程中的系数表示）（5）韦达定理的应用；可以用一元二次方程中的系数表示.两点在直线上，则

同时注意：（6）若涉及到了AB的中点M，设M，则利用中点坐标公式得：，；（7）若条件中涉及到了弦长，则弦长公式为；；（8）其他条件坐标化：例OA⊥OB；2020/12/18402、简化运算的途径及思路：（1）利用定义判断动点的轨迹方程；（2）利用定义构造焦点三角形建立基本量之间的等量关系；（3）利用定义进行距离之间的转化求最值；1、利用圆锥曲线的定义简化运算：2、利用平面图形的几何性质简化运算；（1）利用圆的几何性质简化运算；（2）利用三角形内角平分线、中位线等性质简化运算；（3）利用线线平行线段成比例等性质简化运算；2020/12/18413、利用直线或曲线方程的设法简化运算；2020/12/18422020/12/1843（2）多条直线问题中设出关键直线方程达到简化运算的目的；2020/12/18444、利用向量简化运算；2020/12/18452020/12/18462020/12/18474、灵活应用向量条件，把握向量本质，力求减少运算量；

向量与圆锥曲线的共同属性——位置关系和数量关系的研究决定了向量与圆锥曲线知识的综合，具体而言，就是在圆锥曲线试题中,往往部分关于位置和数量的条件用向量符号或向量语言来叙述，解题过程中，我们在讲究向量条件坐标化的同时有时会增加运算量或复杂程度，如何应用向量条件，向量条件的本质是什么是向量条件使用的关键，向量条件的使用可以分为以下几个层次：（1）简单的向量条件坐标化：

对定比分点坐标公式的考察，坐标化的同时建立等量关系求解。2020/12/1848

（2005年高考试题）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.与共线.提炼：条件中涉及到直线与曲线（尤其是椭圆和双曲线）的两个交点，且另一点在直线上或曲线上，向量条件涉及的位置关系或数量关系不太明确，在联立方程的基础上通过向量条件坐标化得到未知量所在的等量关系（坐标之间的关系、斜率或截距的关系、曲线中基本量之间的关系），从而求解2020/12/1849（2）通过化简复杂的向量条件，明确向量条件隐含的位置关系或数量关系2020/12/18502020/12/18512020/12/18522020/12/18532020/12/18542020/12/18552020/12/18562020/12/1857提炼：具有相同起点的任意两个向量的和（系数相等）都可以用两个向量构成的三角形的中线向量表示，从而将复杂向量的运算转化为明确的位置关系或数量关系；同时直线与圆锥曲线相交弦的中点问题让我们联想到了中线向量。（3）利用向量条件表达的位置关系和数量关系，结合平面图形的几何性质求解分析：

既表达了三点F、P、Q的位置关系，也表达了两个向量之间的数量关系，故可用代数和几何两种思路求解2020/12/18582020/12/1859（4）利用向量知识解决圆锥曲线中的角的问题；2020/12/18601、圆锥曲线的切线问题：（1）圆的切线问题五、几类典型试题方法探究：2020/12/1861(2)椭圆的切线问题：(3)双曲线的切线问题：2020/12/1862(4)抛物线的切线问题：2020/12/1863抛物线的切线典型试题2020/12/18642020/12/18655、最值和范围问题基本思路：2020/12/1866三、利用基本不等式建立不等式求范围：四、利用平面图形几何性质建立不等式求范围或最值（三角形两边之和大于第三边等）1、圆锥曲线试题中分式无理函数最值问题突破策略：2020/12/1867（4）利用导数求最值；换元的过程中一定要注意新变量的取值范围2020/12/1868观察函数的结构特征，能否直接利用均值不等式？？2020/12/1869

分析函数中分子与分母的结构特征直接利用均值不等式放缩求出最值，简单明了！2020/12/18702020/12/1871六、树立细节意识，追求满分

圆锥曲线试题学生能够得分，但在解题过程中部分细节注意不到导致得不了满分，归纳圆锥曲线解题过程中的部分细节，与大家共享。细节1：重视非标准方程向标准方程的转化，避免非标准方程下基本量的求解出错；细节2：文科0班26位学生15人出错，关键是没有注意到双曲线的焦点在Y轴上2020/12/1872细节3：细节4：求动点的轨迹方程后没有注意轨迹方程中变量的范围；细节5：直线方程与双曲线方程或抛物线方程联立后没有考虑二次项系数是否为0；细节6：求最值的过程中进行换元没有注意到新变量的取值范围；2020/12/1873七、圆锥曲线三轮复习策略：1、一轮复习定位：知识、方法全面、基本技能养成突破策略：以学生为本，以教师批阅、点拨为辅，真正实现学生自身能力的提升；积累简化运算途径，树立简化运算意识。学案设计以高考试题为主、由易到难，讲究学生做对为止的原则。2、二轮复习定位：专题训练、提升能力、简化运算突破策略：不追求试题数量，客观题强调知识点回顾整理，主观题明确基本方法，力求做过的题全部做对，让学生在一轮复习有完完整整做对主观题的经历；3、三轮复习定位：每日一练，追求速度与质量突破策略：做模拟题的过程中针对圆锥曲线模块每日一题，限时完成，提高速度，追求完成质量2020/12/1874函数与导数主观题考察特点及突破策略

以证明不等式或不等式恒成立时求参数范围的形式考察学生对函数与导数知识的综合应用能力2020/12/18752020/12/1876二、函数与导数对学生能力的考察要求：

思维分析能力运算求解能力逻辑推理能力函数与导数部分对学生能力考察的载体：恒成立问题（或证明不等式）；三、对函数与导数复习的核心问题：（1）根据学生认知层次和认知水平做好定位：放弃还是突破？（2）如果选择突破，我们的突破手段有哪些？化简变形能力2020/12/1877四、教师在函数与导数方面的角色定位：（2）加大自身对函数与导数问题的研究角度与研究程度；（3）成立研究团队，聚全校名师力量进行突破；（1）明确掌握所教学生的层次水平；五、对函数与导数复习的突破手段：反思一轮复习：（1）一轮复习将函数与导数内容进行整合统一复习；（2）强调知识点的全面性和方法的理解、熟练程度，在此基础上加深对知识和方法的深入理解与掌握；（3）通过一轮复习资料提高学生的思维能力与运算能力（正确求导的能力）；（4）通过小专题实现学生能力的螺旋式上升；2020/12/1878四、以函数与导数历届高考试题为例说明学科意识在解题中的应用1、定义域意识：（1）求函数的单调区间时要考虑函数定义域；（2）研究函数的极值点时要考虑在定义域内进行研究学生的丢分点

教室黑板上张贴“定义域”2020/12/18792、分类讨论意识：分类讨论的基本原则：分类原因：为什么要分类；分类时机:何时开始分类；分类标准：以谁为标准分类讨论；不重不漏：分类是否全面；2020/12/18803、分离参数法研究恒成立问题时需要对参数对应的系数进行分类讨论；4、分式不等式转化为整式不等式时需要考虑分母与0的大小关系需要分类讨论；5、函数的原始单调区间端点和函数定义域或给定区间端点大小关系不定时需要分类讨论：高考函数与导数试题的五个分类点2020/12/1881

即恒成立的不等式为分式不等式，分式不等式在求导或研究最值方面都不如整式不等式方便，结合第一问，解决本题的关键是将分式不等式转化为整式不等式，但需要考虑分母与0的大小关系.解类似一元一次不等式分类讨论2020/12/1882

函数原始单调区间端点与定义域端点大小不定时需要分类讨论解类似一元一次不等式分类2020/12/18832020/12/1884思路2：令只需要：解析：令

函数原始单调区间端点与定义域端点大小不定时需要分类讨论构造函数2020/12/18852020/12/1886思路2：

两根大小不定分类讨论2020/12/1887备注5：2020/12/1888认识：（1）分类讨论是化整为零、化总体为局部的处理方式，分类讨论的关键是是否有分类讨论的意识，解题过程是否严密。（4）构造好函数、把握函数的结构特征避开分类讨论或减少分类讨论次数是简化解题过程的核心。（2）分类讨论是分步得分的主要手段，但分类时学生往往漏掉的是最简单的一种情况，要树立特殊到一般的思想；（3）分类讨论的最大弊端是书写较多，解题时间较长；2020/12/18893、特殊自变量对应的函数值意识；（2）0,1等特殊自变量对应的函数值或导函数值；（3）定义域或区间端点对应的函数值意识；（1）研究函数主要研究两个变量在运动变化中的相互关系，但在变化的过程中往往蕴含着一些不变的东西，如某些特殊自变量对应的函数值为定值，利用这些信息往往能够简化求解过程，明确求解方向；2020/12/1890（1）通过特殊自变量对应的函数值明确求解方向：2020/12/18912020/12/18922020/12/18932020/12/18942020/12/1895

然后在K的范围基础上就导函数对应的两根大小进行分类讨论，避开了对K<1的研究，减少了分类讨论的次数。思路1：思路2：

通过两个特殊自变量对应的函数值与0的大小关系不仅能够得到答案，在此范围下进行求解进一步减少了分类讨论的次数2020/12/18962020/12/18972020/12/1898（Ⅱ）思路1：构造函数法2020/12/18992020/12/181004、构造好函数的思想

函数与导数试题核心是对函数性质的研究，但前提是提供一个什么样的函数，在解题过程中如何构造一个好函数进行研究构造好函数的基本要求：（1）分式函数向整式函数转化；（2）常用对数函数系数为x或1的转化；（3）解决恒成立问题分离参数法中构造不含参数的函数;2020/12/18101思路1：

变分式不等式或分式函数为整式能够起到简化运算的目的2020/12/18102思路2：

2020/12/18103思路3：

2020/12/18104

在恒成立问题或证明不等式的问题中，构造不含参数的函数目的是为了避开分类讨论，在研究最值问题时可以和洛泌达法则相结合，下面通过2013年高考课标卷1第21题说明在恒成立问题中构造好不含参数的函数的对比应用；规律整合：（1）对不等式适当变形后通过构造函数证明不等式；（2）分式函数求导后对导函数对应的分子构造函数判断与0的大小关系；（3）不同的构造方法过程繁简程度不同，有些函数不能够解决问题，好函数不仅能够解决问题而且能够简化运算；（4）构造好函数证明的过程给人一种“碰巧”的感觉，但这恰恰说明了构造好函数的重要性；2020/12/181052020/12/181062020/12/18107分式函数求导后分母往往大于0的基础上将分子构造为一个函数是构造函数的常用手段2020/12/18108

构造不含参数的函数求最值虽然进行分类讨论（分离参数时的分类），但是由于所构造的函数不含参数，虽然构造的函数往往是分式函数，但通过多次求导容易对最值进行研究，有效的避开了分类讨论；2020/12/181092020/12/18110多变量问题中构造函数的问题：2009年全国卷第22题开启了高中教师对多变量函数问题的研究，各种教辅资料中多变量函数问题逐渐增多，一些地市的大型考试也出现了多变量函数问题，解决多变量函数问题的核心是如何利用多个变量之间的等量关系构造关于某一个变量（或式子）的函数问题，下面以两个典型例题为例说明如何构造好函数的问题。2020/12/181112020/12/181122020/12/181132020/12/181142020/12/181152020/12/181162020/12/181175、把握函数结构特征的意识：

函数与导数试题是历年高考的压轴题，是增加考生之间数学成绩区分度的重要载体，函数与导数试题中往往是条件在给定一个函数的基础上在问题的第二问通过等式或不等式来研究新的函数性质，在研究函数性质的基础上把握函数的结构特征能够取到简化解题过程得到结果的目的。

把握函数的结构特征体现了对函数解析式的研究，体现了化简变形过程中从整体到局部的研究，体现了化简变形的方向性，体现了从解析式到函数性质的研究与把握.

构造好函数、特殊自变量对应的函数值等都是对函数结构特征的本质研究.2020/12/181182020/12/181192020/12/181202020/12/181217、洛必达法则的应用意识；（大学《数学分析》）1、洛泌达法则用来研究极限问题，在函数与导数试题中主要用来考虑不等式恒成立问题中分离参数法研究函数的最值问题；2、洛泌达法则是高等数学《数学分析》重要内容，高考阅卷题长或阅卷教师对学生使用洛泌达法则解题给满分，高中教师不必纠结超纲不超纲的问题；备注：2020/12/18122洛泌达法则的使用范围：

在不等式恒成立问题中，采用分离参数法构造不含参数的函数后求最值时往往由于最值不存在需要考虑使用洛泌达法则.思路分析：只需求g(x)的最小值即可2020/12/181232020/12/181242020/12/181252020/12/181262020/12/18127分离参数法利用洛泌达法则求解2020/12/181282020/12/181292020/12/18130函数与导数中学科思想汇总：1、定义域思想；2、分类讨论思想；3、特殊自变量对应的函数值或导函数值思想4、构造一个好函数的思想；5、把握函数结构特征的思想；6、洛泌达法则思想；2020/12/18131衍生放缩不等式：2020/12/181322020/12/18133四、二轮复习的具体实施：1、结合薛金星主编的《2014年全国及各省市高考试题全集》、二轮复习小专题开展复习、解答题编写二轮复习学案；2、限时训练全部为2014、2013年高考试题中的客观题，通过限时训练继续提升学生对知识点和方法的突破练习；3、结合学生认知水平通过专题讲座提升能力；

第一阶段：编写