2024-2025学年下学期高一数学人教A版同步经典题精练之随机事件与概率

第31页（共31页）2024-2025学年下学期高中数学人教A版（2019）高一同步经典题精练之随机事件与概率一．选择题（共5小题）1．（2025•市中区校级模拟）为了检测学生的身体素质指标，从包括游泳类1项，球类3项，田径类4项的共8项体育项目中随机抽取4项进行测试，则每类项目都被抽到的概率为（）A．27 B．37 C．57 2．（2024秋•呼和浩特期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足n（Ω）＝10，n（A）＝4，n（B）＝3，n（A∪B）＝6，则下列说法正确的是（）A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立 C．P(B)=33．（2024秋•浦东新区校级期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．定义事件：事件A为“x+y为奇数”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x为奇数”，则下列结论错误的是（）A．A与B互斥 B．A与B对立 C．P（C）＝0.5 D．A与C相互独立4．（2025•秦皇岛一模）将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（）A．甲分得黄球 B．甲分得白球 C．丙没有分得白球 D．甲分得白球，乙分得黄球5．（2025•潍坊模拟）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次，每次取一张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为（）A．332 B．764 C．532 二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•湖北期末）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（）A．该试验的样本空间共有6个样本点 B．事件A与事件C互为对立事件 C．P（B∪C）＝P（A） D．事件B与事件C相互独立（多选）7．（2024秋•自贡校级期末）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件A＝“第一次投篮投中”，事件B＝“第二次投篮投中”，事件C＝“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（）A．A，B互为互斥事件 B．A与C互为互斥事件 C．A∪B＝C D．A∪B与（多选）8．（2024秋•广西期末）甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为23A．第二次由乙发球的概率为14B．甲先得一分的概率为12C．前两次发球都由乙得分的概率为13D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为5（多选）9．（2024秋•江西期末）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件A表示“取得红球”，事件B表示“取得白球”，事件∁i表示“球取自i号盒子”，则（）A．P(A)=12C．P(C1|三．填空题（共3小题）10．（2024秋•辽宁期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件M＝“表示的四位数能被3整除”，N＝“表示的四位数能被5整除”，则P（M∪N）+P（MN）＝．11．（2025•昆明一模）围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有6枚黑色棋子和2枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同一色棋子的概率为．12．（2025•南宁模拟）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制．五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为3×52+2×51+4＝89．若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有个．若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•市北区校级期末）某校高一学生共有500人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长n与学业成绩m的数据表：平均作业时长n（单位：小时）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）[2.5，3）[3，3.5）学业成绩优秀：90≤m≤10011437435学业成绩不优秀：0≤m≤90136137102187（1）试判断：是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关？（2）常用L(B|A)=P(B|A)P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%附：χ2=n(ad-bc)214．（2024秋•台州期末）“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局．现有n（n≥3）人玩游戏．（1）分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率p（3）、p（4）；（2）求n（n≥3）人玩一轮游戏，平局的概率p（n）（结果用n表示）；（3）设当n＝5时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率Q．15．（2024秋•海口校级期末）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）．（1）有一道单项选择题考生甲不会做，他随机选择一个选项，求猜对本题并得5分的概率；（2）有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为ABD，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率；（3）现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为14，得3分的概率为12；考生丁得6分的概率为16，得3分的概率为13

2024-2025学年下学期高中数学人教A版（2019）高一同步经典题精练之随机事件与概率参考答案与试题解析题号12345答案BDBCC一．选择题（共5小题）1．（2025•市中区校级模拟）为了检测学生的身体素质指标，从包括游泳类1项，球类3项，田径类4项的共8项体育项目中随机抽取4项进行测试，则每类项目都被抽到的概率为（）A．27 B．37 C．57 【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】由题意，利用古典概型、排列组合求解．【解答】解：从包括游泳类1项，球类3项，田径类4项的共8项体育项目中随机抽取4项进行测试，基本事件总数n=C8每类项目都被抽到包含的基本事件个数为m=C1∴每类项目都被抽到的概率为P=m故选：B．【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（2024秋•呼和浩特期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足n（Ω）＝10，n（A）＝4，n（B）＝3，n（A∪B）＝6，则下列说法正确的是（）A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立 C．P(B)=3【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】利用古典概型的计算公式先求出P（A），P（B）和P（A∪B），再由互斥事件、独立事件和对立事件的性质即可逐项判断．【解答】解：古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足n（Ω）＝10，n（A）＝4，n（B）＝3，n（A∪B）＝6，∴P(A)=n(对于A，∵P(AB)=110≠0，∴事件对于B，P(A)P(B)=对于C，P(B)=1-对于D，由P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），得35∴P(AB)=故选：D．【点评】本题考查古典概型、互斥事件、独立事件和对立事件的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2024秋•浦东新区校级期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．定义事件：事件A为“x+y为奇数”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x为奇数”，则下列结论错误的是（）A．A与B互斥 B．A与B对立 C．P（C）＝0.5 D．A与C相互独立【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】集合思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】利用互斥事件的概念判断选项A；利用对立事件的定义判断选项B；利用古典概型判断选项C；利用事件独立性概念判断选项D．【解答】解：抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，定义事件：事件A为“x+y为奇数”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x为奇数”，由题可得，样本空间为：Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有36个样本点，其中A＝{（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4）（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3）（6，5）}，共包含18个样本点，B＝{（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3）（5，5）}，共包含9个样本点，C＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）（5，6）}，共有18个样本点，对于A，若x+y为奇数，则x，y一个为奇数，一个为偶数，若xy为奇数，则x，y都为奇数，∴事件A和事件B不能同时发生，∴事件A与事件B是互斥事件，故A正确；对于B，事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，例如x＝2，y＝2，∴事件A与事件B是互斥但不对立事件，故B错误；对于C，P(C)=对于D，AC＝{（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）}，∴P(∵P(A)=1836=12，P(C)=∴A与C相互独立，故D正确．故选：B．【点评】本题考查古典概型、列举法、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2025•秦皇岛一模）将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（）A．甲分得黄球 B．甲分得白球 C．丙没有分得白球 D．甲分得白球，乙分得黄球【考点】事件的互为对立及对立事件．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】C【分析】由对立事件的概念即可得解．【解答】解：甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球，乙分得红球，即丙分得白球，与丙没有分得白球互为对立事件．故选：C．【点评】本题考查了对立事件的概念，属于基础题．5．（2025•潍坊模拟）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次，每次取一张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为（）A．332 B．764 C．532 【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】集合思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据古典概型、列举法能求出抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率．【解答】解：从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次的所有情况有4×4×4＝64种，抽到的3张卡片上的数字之和大于9的情况有：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3），（2，4，4），（4，2，4），（4，4，2），（3，4，4），（4，3，4），（4，4，3），∴抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为P=10故选：C．【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•湖北期末）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（）A．该试验的样本空间共有6个样本点 B．事件A与事件C互为对立事件 C．P（B∪C）＝P（A） D．事件B与事件C相互独立【考点】对立事件的概率关系及计算．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学抽象．【答案】AC【分析】根据题意，列举样本空间Ω以及A、B、C，由此分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，用A、B和a、b表示同一双鞋，其A、a表示左脚的鞋，B、b表示右脚的鞋，则Ω＝{AB，ab，Aa，Bb，Ab，aB}，则A＝{AB，ab}，B＝{Aa，Bb}，C＝{Ab，aB}，依次分析选项：对于A，该试验的样本空间共有6个样本点，A正确；对于B，事件A、C可能都不发生，不是对立事件，B错误；对于C，B∪C=A={Aa，Bb，Ab，aB}，故P（B∪C）＝P（A），对于D，BC＝∅，则P（BC）＝0，而P（B）＝P（C）=1则P（BC）≠P（B）P（C），事件B与事件C不相互独立，D错误．故选：AC．【点评】本题考查相互独立事件、对立事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题．（多选）7．（2024秋•自贡校级期末）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件A＝“第一次投篮投中”，事件B＝“第二次投篮投中”，事件C＝“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（）A．A，B互为互斥事件 B．A与C互为互斥事件 C．A∪B＝C D．A∪B与【考点】互斥事件与对立事件．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】BD【分析】根据已知条件，结合对立事件、互斥事件的定义，即可求解．【解答】解：事件A＝“第一次投篮投中”，事件B＝“第二次投篮投中”，事件C＝“两次投篮均投中”，A，B两个事件可以同时发生，故A错误；A与C不可能同时发生，故B正确；C为A，B的交事件，故C错误；A∪B对应的事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故A∪B与故选：BD．【点评】本题主要考查对立事件、互斥事件的定义，属于基础题．（多选）8．（2024秋•广西期末）甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为23A．第二次由乙发球的概率为14B．甲先得一分的概率为12C．前两次发球都由乙得分的概率为13D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为5【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BD【分析】A直接判断，BC根据独立事件，互斥事件同时发生的概率公式即可求解，D根据对立事件的概率公式求解．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，通过抛硬币决定谁先发球，第一次甲、乙发球的概率都是12若第一次由甲发球，则第二次由乙发球，反之，第二次由甲发球故第二次由乙发球的概率为12，故A对于B，若甲先发球，甲先得一分的概率P1=1若乙先发球，甲先得一分的概率P2=1故甲先得一分的概率P＝P1+P2=12×对于C，前两次发球都由乙得分的概率为12×2对于D，前两次发球都由甲得分的概率为12则前两次发球甲、乙各得一分的概率为1-29故选：BD．【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．（多选）9．（2024秋•江西期末）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件A表示“取得红球”，事件B表示“取得白球”，事件∁i表示“球取自i号盒子”，则（）A．P(A)=12C．P(C1|【考点】概率的应用；求解条件概率．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BCD【分析】根据题意，由全概率公式分析A，由对立事件的性质分析B，由贝叶斯公式分析C、D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，P（C1）＝P（C2）＝P（C3）=1P（A|C1）=14，P（A|C2）=24=12，P（依次分析选项：对于A，P（A）＝P（C1）P（A|C1）+P（C2）P（A|C2）+P（C1）P（A|C2）=13×14对于B，由于P（A）=712，则P（B）＝1﹣P（A）=5对于C，P（AC1）＝P（C1）P（A|C1）=1则P（C1|A）=P(A对于D，P（BC2）＝P（C2）P（B|C2）=1P（C2|B）=P(B故选：BCD．【点评】本题考查条件概率、全概率公式的计算，涉及古典概型的计算，属于基础题．三．填空题（共3小题）10．（2024秋•辽宁期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件M＝“表示的四位数能被3整除”，N＝“表示的四位数能被5整除”，则P（M∪N）+P（MN）＝78【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】78【分析】利用古典概型的概率公式计算出P（M）、P（N），即可求出P（M∪N）+P（MN）的值．【解答】解：将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件M＝“表示的四位数能被3整除”，N＝“表示的四位数能被5整除”，∵只拨动一粒珠子至梁上，∴数字只表示1或5，∵个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，∴所得的四位数的个数为24＝16个，能被3整除的四位数，数字1和5各出现2个，这样的四位数有：1155、1515、1551、5511、5115、5151，共6个，∴P(能被5整除的四位数，个位数为5，则这样的四位数为：1115、1155、1515、1555、5555、5115、5155、5515，共8个，∴P(∴P(故答案为：78【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（2025•昆明一模）围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有6枚黑色棋子和2枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同一色棋子的概率为47【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】47【分析】计算两端棋子颜色不同的概率，再使用对立事件概率的性质即可．【解答】解：现有6枚黑色棋子和2枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，若两端的棋子颜色不同，则两端的棋子的颜色分布有2种可能，中间的棋子的颜色分布有C6∴两端棋子颜色不同的概率为2×6C∴两端是同色棋子的概率为p=1故答案为：47【点评】本题考查古典概型、对立事件概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．（2025•南宁模拟）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制．五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为3×52+2×51+4＝89．若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有240个．若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为13【考点】古典概型及其概率计算公式；简单排列问题．【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】240；13【分析】应用分步计数，结合排列组合数求数字1，2，3，4组成的五位五进制数的个数，设2，3，4构成的三位五进制数从左到右的数字分别为a，b，c，根据52a+5b+c＝24a+3b+（a+2b+c），将问题化为a+2b+c能被3整除，结合a+2b+c∈[8，16]进行分类讨论求五进制数的个数，最后求其概率．【解答】解：由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都出现，则需先从1，2，3，4中选取一个数字作为重复出现的数字，有C4再将不重复出现的3个数字从五个位置中选3个进行排列，有A5最后剩余两个位置排重复数字，根据分步计数原理，则所求不同的五位五进制数共有C41数字2，3，4组成的三位五进制数总共有33＝27个，设这个三位五进制数从左到右的数字分别为a，b，c，转化成十进制数后此数为52a+5b+c＝25a+5b+c＝24a+3b+（a+2b+c），此数能被3整除等价于a+2b+c能被3整除，因为a+2b+c∈[8，16]，所以能被3整除的只有9，12，15三种情况，若a+2b+c＝9，则（a，b，c）的取值有（2，2，3）、（3，2，2）两种，若a+2b+c＝12，则（a，b，c）的取值有（2，4，2）、（2，3，4）、（4，3，2）、（3，3，3）、（4，2，4）五种，若a+2b+c＝15，则（a，b，c）的取值有（4，4，3）、（3，4，4）两种，则能被3整除的数共有2+5+2＝9个，根据古典概率公式，所求概率为927故答案为：240，13【点评】本题考查排列组合的应用，属于中档题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•市北区校级期末）某校高一学生共有500人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长n与学业成绩m的数据表：平均作业时长n（单位：小时）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）[2.5，3）[3，3.5）学业成绩优秀：90≤m≤10011437435学业成绩不优秀：0≤m≤90136137102187（1）试判断：是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关？（2）常用L(B|A)=P(B|A)P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%附：χ2=n(ad-bc)2【考点】概率的应用；求解条件概率；独立性检验．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）有把握；（2）P（A）＝0.6．【分析】（1）完善2×2列联表，计算χ2的观测值并与临界值比对即可得解．（2）设P（A）＝x，根据给定条件，利用条件概率公式、结合互斥事件的加法公式列出方程求解．【解答】解：（1）根据题意，可得2×2列联表如下：时长n2≤n＜3其他总计优秀8020100不优秀120280400总计200300500χ2所以有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关；（2）根据题意，设P（A）＝x，则选到的学生为女生的概率P（A）＝1﹣x，已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%，则P(则有P（B∩A）＝P（B|A）P（A）＝0.25P（A）＝0.25（1﹣x），而P（B）＝P（B∩A）+P（B∩A）＝0.2，则P（A∩B）＝0.25x﹣0.05．又L（B|A）=P(B|A)P(B|A)=0.2，则有即P(A∩B)P(A)=0.2×P(B∩而P（A）＝P（A∩B）+P（B∩A）＝x，则有P（A∩B）=x又由P（A∩B）＝0.25x﹣0.05．则有0.25x-0.05=x6，得x＝0.6，所以P【点评】本题考查条件概率的计算和的应用，涉及独立性检验的应用，属于中档题．14．（2024秋•台州期末）“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局．现有n（n≥3）人玩游戏．（1）分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率p（3）、p（4）；（2）求n（n≥3）人玩一轮游戏，平局的概率p（n）（结果用n表示）；（3）设当n＝5时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率Q．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）p(3)=13（2）1-（3）125729【分析】（1）应用古典概型及排列数组合数公式计算即可；（2）应用古典概型及对立事件概率公式计算即可；（3）应用古典概型，独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算即可；【解答】解：（1）“石头、剪刀、布”游戏中，石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，3人玩一轮游戏，平局的概率为p(3)=4人玩一轮游戏，平局的概率为p(4)=（2）∵平局的情况比较多，∴考虑n人玩游戏分出胜负的概率P，P=其中C32表示分出胜负的三种情况，即n人只出了①石头，剪刀；②石头，布；而分出胜负与平局是对立事件，故n（n≥3）人玩一轮游戏，平局的概率p（n）=P（3）由于5人玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者，情形一：第一轮平局，第二轮决出唯一获胜者，此时P1情形二：第一轮淘汰1位游戏者，第二轮淘汰3位游戏者，决出唯一获胜者，此时P2情形三：第一轮淘汰2位游戏者，第二轮淘汰2位游戏者，决出唯一获胜者此时P3情形四：第一轮淘汰3位游戏者，第二轮淘汰1位游戏者，决出唯一获胜者，此时P4综上所述：Q=【点评】本题考查古典概型及排列数组合数公式、对立事件概率公式、独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（2024秋•海口校级期末）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）．（1）有一道单项选择题考生甲不会做，他随机选择一个选项，求猜对本题并得5分的概率；（2）有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为ABD，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率；（3）现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为14，得3分的概率为12；考生丁得6分的概率为16，得3分的概率为13【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）14（2）310（3）13【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）利用列举法可得共有10个样本点，“猜对本题得4分”，有3个样本点，利用古典概型的概率公式求解；（3）分丙得0分丁得6分；丙得3分丁得3分；丙得6分丁得0分三种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式求解．【解答】解：（1）根据题意，考生甲随机选择一个选项，其样本空间Ω＝{A，B，C，D}，有4个样本点，设M＝“考生甲猜对本题得5分”，有1个样本点，则P(（2）根据题意，乙随机猜写答案，其样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD}，共有10个样本点，设N＝“考生乙本题刚好得4分”，N＝{AB，AD，BD}，有3个样本点，故P(（3）记丙得i分的事件为Xi，丁得j分为Yj，其中i、j∈{0，3，6}，由题意P(P(记丙丁两位考生总分刚好6分的事件为E，易知E＝X6Y0+X3Y3+X0Y6，由题意P（E）＝P（X6Y0+X3Y3+X0Y6）＝P（X6Y0）+P（X3Y3）+P（X0Y6）=P【点评】本题考查互斥事件、古典概型的计算，涉及样本空间、样本点的列举，属于基础题．

考点卡片1．互斥事件与对立事件【知识点的认识】1．互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做A．注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；②在一次试验中，事件A与A只发生其中之一，并且必然发生其中之一．（2）对立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．【命题方向】1．考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．例2：下列说法正确的是（）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B．点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．2．互斥事件概率公式的应用例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则P(A)=则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案为：5点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．3．对立事件概率公式的应用例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根据对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因为对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故选C．点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．2．事件的互斥（互不相容）及互斥事件【知识点的认识】一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）．【解题方法点拨】﹣判断两个事件是否互斥，即它们的交是否为空．【命题方向】．；﹣常用于考察事件是否互斥的问题．3．事件的互为对立及对立事件【知识点的认识】﹣对立事件：事件A的对立事件是指A不发生的情况，记作A．﹣互为对立：如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，两个事件A和B互为对立当且仅当A∪B=【解题方法点拨】﹣使用对立事件的概率关系P(﹣判断两个事件是否互为对立，通常检查它们的并集是否为样本空间，交集是否为空．【命题方向】﹣主要考察对立事件的概率计算及事件的补集概念．4．互斥事件的概率加法公式【知识点的认识】互斥事件的概率加法公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）5．对立事件的概率关系及计算【知识点的认识】﹣对立事件的概率关系是P(【解题方法点拨】﹣利用对立事件的公式计算对立事件的概率．【命题方向】﹣主要考察对立事件概率计算的问题，适用于概率计算的补集部分．6．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．7．概率的应用【知识点的认识】概率相关知识梳理：一、古典概型与互斥事件1．频率与概率：频率是事件发生的概率的估计值．2．古典概率计算公式：P（A）＝．集合的观点：设试验的基本事件总数构成集合I，事件A包含的事件数构成集合A，则．3．古典概型的特征：（1）每次试验的结果只有一个基本事件出现；（2）试验结果具有有限性；（3）试验结果出现等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一个随机试验中，一次试验中不可能同时发生的两个事件A，B称为互斥事件．（2）互为事件概率计算公式：若事件A，B互斥，则P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）对立事件：在一个随机试验中，一次试验中两个事件A，B不会同时发生，但必有一个事件发生，这样的两个事件称为对立事件．记作：B=A，由对立事件定义知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件与对立事件的关系：对立必互斥，互斥未必对立．用集合的观点分析对立事件与互斥事件：设两个互斥事件A，B包含的所有结果构成集合A，B，则A∩B＝∅（如图所示）设两个对立事件A，A包含的所有结果构成的集合为A，A，A∩A=∅，A∪A=则注：若A1，A2，…，An任意两个事件互斥，则：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、几何概型几何概型定义：向平面有限区域（集合）G内投掷点M，若点M落在子区域G1⊆G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，我们就称这种概型为几何概型．几何概型计算公式：几何概型的特征：（1）试验的结果有无限个（无限性）；（2）试验的结果出现等可能性．注：几何概型中的区域可以是长度、面积、体积等．三、条件概率与独立事件1．条件概率的定义：对于任何两个事件A，B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率称为事件B发生时事件A发生的条件概率，记为P（A|B）．类似的还可定义为事件A发生时事件B发生的条件概率，记为P（B|A）．2．把事件A，B同时发生所构成的事件D，称为事件A，B的交（或积），记为：A∩B＝D或D＝AB．3．条件概率计算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A）注：（1）事件A在“事件B发生的条件下”的概率与没有事件B发生时的概率是不同的．（2）对于两个事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）则表明事件B的发生不影响事件A发生的概率．此时事件A，B是相互独立的两个事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0⇒P（AB）＝故当两个事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立，同时A与B，A与B，A与B也相互独立．四、二项分布、超几何分布、正态分布1．二项分布：（1）n次独立重复试验的概念：在相同的条件下，重复做n次试验，各次试验的结果相互独立．n次独立重复试验的特征：①每次试验的条件相同，某一事件发生的概率不变；②各次试验的结果互不影响，且每次试验只有两个结果发生或不发生．（2）二项分步概率计算公式：一般地，在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为，若随机变量由此式确定，则X服从参数n，p的二项分布，记作：X～B（n，p）．2．超几何分布超几何分布定义：一般地，设有N件产品，其中含有M件次品（M≤N），从N件产品中任取n件产品，用X表示取出的n件产品中含有的次品的个数，则，（k为非负整数），若随机变量由此式确定，则X服从参数N，M，k的超几何分布，记作X～H（N，M，n）注：超几何分布是概率分布的另一种形式，要注意公式中N，M，k的含义．随机变量X取某一个值的概率就是求这一事件发生的次数与总次数的商．3．正态分布：（1）正态曲线：函数f（x）=12πσe-(x（2）若随机变量X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、离散型随机变量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．5、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，称为随机