2024-2025学年下学期高二数学人教A版同步经典题精练之数列的概念

第25页（共25页）2024-2025学年下学期高中数学人教A版（2019）高二同步经典题精练之数列的概念一．选择题（共5小题）1．（2024秋•定西期末）已知数列0，lg2，lg3，lg4，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（）A．8项 B．9项 C．10项 D．11项2．（2024秋•天河区校级期末）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3．已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（）（参考数据：1.39≈10.6，1.310≈13.8，1.311≈17.9）A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元3．（2024秋•漳州期末）211是等差数列4，7，10，13，…的第（）项．A．69 B．70 C．71 D．724．（2024秋•天河区校级期末）已知数列{an}的通项公式为an=nA．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项5．（2024秋•承德期末）已知数列1，﹣3，5，﹣7，9，…，则该数列的第211项为（）A．﹣421 B．421 C．﹣423 D．423二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•保定期末）下列数列{an}中，一定是单调递增数列的是（）A．an=n+9C．an+1＝an+n D．an+1＝2an（多选）7．（2024秋•西安期末）已知等差数列{an}的公差d≠0，等比数列{bn}的公比q≠1，则下列选项正确的是（）A．若d＞0，则{an}单调递增 B．若q＞1，则{bn}单调递增 C．{an2}D．{|bn|+1}可能为等比数列（多选）8．（2024秋•柳州期末）下列有关数列的说法正确的是（）A．数列﹣2023，0，4与数列4，0，﹣2023是同一个数列 B．数列{an}的通项公式为an＝n（n+1），则110是该数列的第10项 C．在数列1，2，3，D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a（多选）9．（2024秋•江阳区校级期末）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（）A．数列{an}是递增数列 B．S5＝60 C．d∈D．数列{an}中最大项为第6项三．填空题（共3小题）10．（2024秋•定西期末）已知{an}是各项都为正整数的递减数列，若a1+a2+…+an＝100，则n的最大值为；当n取最大值时，a1的最小值为．11．（2024秋•天津校级期中）数列{an}的前n项和记为Sn，若Sn=n2-3n+112．（2024秋•南京月考）某个软件公司对软件进行升级，将序列A＝（a1，a2，a3，…）升级为新序列A*＝（a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…），A*中的第n项为an+1﹣an，若（A*）*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，则a1＝．四．解答题（共3小题）13．（2024春•余干县校级期中）数列{an}的通项公式是an（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？14．（2024秋•黄浦区期末）若数列{an}与{bn}都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自{bn}的任意两项均不相邻，则称{an}为{bn}的“隔数列”．（1）若{an}是首项与公差均为整数的等差数列，bn＝2n，且数列a1，a2，a3是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求{an}的通项公式；（2）若an＝2n，{bn}是首项为1、公比为m10的等比数列，且数列a1，a2，a3，a4是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求整数m（3）设{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，若{Sn}是{an+1}的“隔数列”，求q的取值范围．15．（2024秋•开福区校级月考）将n（n≥2）个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么称数对（ai，aj）构成数列{an}的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．（1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；（2）计算以下数列的逆序数．（ⅰ）an＝﹣2n+19（1≤n≤100）；（ⅱ）an（3）已知数列a1，a2，…，an的逆序数为a，求an，an﹣1，…，a1的逆序数．

2024-2025学年下学期高中数学人教A版（2019）高二同步经典题精练之数列的概念参考答案与试题解析题号12345答案BCBDB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•定西期末）已知数列0，lg2，lg3，lg4，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（）A．8项 B．9项 C．10项 D．11项【考点】由数列若干项归纳出通项公式．【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】B【分析】观察数列可得通项公式为an＝lgn，解不等式可得结果．【解答】解：根由题意可知，该数列的通项公式为an＝lgn，令lgn＜1可得，0＜n＜10，又因为n∈N+，所以该数列中小于1的项有9项．故选：B．【点评】本题主要考查了数列的通项公式，属于基础题．2．（2024秋•天河区校级期末）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3．已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（）（参考数据：1.39≈10.6，1.310≈13.8，1.311≈17.9）A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元【考点】由实际问题归纳出数列的通项．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】C【分析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列{an}，由an+1＝1.3an﹣3求出通项，再结合数列求和即可得解．【解答】解：某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3，第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列{a依题意，当n∈N*，n≤9时，an+1＝1.3an﹣3，即an+1﹣10＝1.3（an﹣10），∴数列{an﹣10}是首项为90，公比为1.3的等比数列，an-10=90×1则a1∴从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元．故选：C．【点评】本题考查数列的通项公式、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．（2024秋•漳州期末）211是等差数列4，7，10，13，…的第（）项．A．69 B．70 C．71 D．72【考点】由数列若干项归纳出通项公式；由数列若干项求下一项或其中的项．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】B【分析】根据题意写出等差数列的通项公式，即可求的结果．【解答】解：等差数列4，7，10，13，…，根据题意，得出等差数列的通项公式：an＝3n+1，令3n+1＝211，解得n＝70，∴211是等差数列4，7，10，13，…的第70项．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2024秋•天河区校级期末）已知数列{an}的通项公式为an=nA．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项【考点】由通项公式求解或判断数列中的项．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】D【分析】利用数列的通项公式求解．【解答】解：数列{an}的通项公式为an由an解得n＝12．则146是该数列的第12项．故选：D．【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（2024秋•承德期末）已知数列1，﹣3，5，﹣7，9，…，则该数列的第211项为（）A．﹣421 B．421 C．﹣423 D．423【考点】由数列若干项归纳出通项公式．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】B【分析】先求出数列的通项公式，由此能求出该数列的第211项．【解答】解：数列1，﹣3，5，﹣7，9，…，该数列的通项公式为an＝（﹣1）n+1•（2n﹣1），∴该数列的第211项为：a211＝（﹣1）212×（2×211﹣1）＝421．故选：B．【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•保定期末）下列数列{an}中，一定是单调递增数列的是（）A．an=n+9C．an+1＝an+n D．an+1＝2an【考点】数列的单调性．【专题】函数思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．【答案】BC【分析】举反例判断选项A和D，利用an+1﹣an与0的关系验证选项B和C即可．【解答】解：对于选项A：因为a1=1+91=10＞a2对于选项B：因为an+1-an=2(n对于选项C：因为an+1﹣an＝n≥1＞0，所以数列{an}是单调递增数列，故C正确；对于选项D：当an＜0时，an+1﹣an＝2an﹣an＝an＜0，此时数列{an}不是单调递增数列，不合题意，故D不正确．故选：BC．【点评】本题考查数列的单调性，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．（多选）7．（2024秋•西安期末）已知等差数列{an}的公差d≠0，等比数列{bn}的公比q≠1，则下列选项正确的是（）A．若d＞0，则{an}单调递增 B．若q＞1，则{bn}单调递增 C．{an2}D．{|bn|+1}可能为等比数列【考点】数列的单调性；等比数列的概念与判定．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】AD【分析】根据题意，由等差数列的性质分析A，举出反例可得B错误，利用反证法可得C错误，举出实例可得D正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，等差数列{an}，若公差d＞0，即an+1﹣an＞0（n≥1且n∈Z），数列{an}单调递增，A正确；对于B，当b1＝﹣1，q＝2时，数列{bn}单调递减，B错误；对于C，假设{an2}为等差数列，设其公差为当n≥1且n∈Z时，有an+12-an2=（an+1﹣an）（a又由an+1﹣an＝d，则有an+1+an=d'd，为常数，不会成立，故{an对于D，等比数列{bn}中，当q＝﹣1时，|bn|+1＝|b1|+1，是非零常数，则数列{|bn|+1}是等比数列，D正确．故选：AD．【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义和性质，涉及数列的单调性，属于基础题．（多选）8．（2024秋•柳州期末）下列有关数列的说法正确的是（）A．数列﹣2023，0，4与数列4，0，﹣2023是同一个数列 B．数列{an}的通项公式为an＝n（n+1），则110是该数列的第10项 C．在数列1，2，3，D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】BCD【分析】选项A的两个数列顺序不同，不是同一个数列，A错误；解n（n+1）＝110即可判断B的正误；可看出C的通项公式an=n，从而判断C【解答】解：A．这两个数列的顺序不同，不是同一个数列，A错误；B．解n（n+1）＝110得n＝10或﹣11（舍去），B正确；C．该数列的通项公式为an=n，所以aD.3＝21+1，5＝22+1，9＝23+1，…，所以an=2故选：BCD．【点评】本题考查了数列的定义，根据数列的前几项归纳数列的通项公式的方法，考查了计算能力，属于基础题．（多选）9．（2024秋•江阳区校级期末）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（）A．数列{an}是递增数列 B．S5＝60 C．d∈D．数列{an}中最大项为第6项【考点】数列的单调性；数列的最大项最小项；求等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】BC【分析】根据题意，利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质得到a7＜0，a6+a7＞0，再利用等差数列的通项公式得到关于d的不等式组进行求解，即可判断AC；利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质计算判定B；利用单调性判定D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，a3＝12，S12＞0，S13＜0，依次分析选项：对于A、C，由于S12＞0，S13＜0，则S12=12(则a7＜0，a6+a7＞0，又a3＝12，则24+7d＞0由于d＜0，则等差数列{an}是递减数列，A错误，C正确；对于B，由a3＝12，得S5=5(对于D，由等差数列{an}是递减数列，得数列{an}中最大项为第1项，D错误．故选：BC．【点评】本题考查等差数列的性质和通项公式，涉及数列的单调性，属于基础题．三．填空题（共3小题）10．（2024秋•定西期末）已知{an}是各项都为正整数的递减数列，若a1+a2+…+an＝100，则n的最大值为13；当n取最大值时，a1的最小值为14．【考点】数列的单调性；求等差数列的前n项和．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．【答案】13；14．【分析】先证明n≤13，再证明n＝13时，满足条件的{an}存在，再由n＝13时，a1≥13，并证明a1＝13满足条件的数列不存在，a1＝14时存在满足条件的数列，由此可得结论．【解答】解：当n≥14且n∈N*时，a1+a2+…+an≥a1+a2+…+a14≥14+13+…+1=(1+14)×142而a1+a2+…+an＝100，矛盾，所以n≤13，又因为数列22，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1满足题意，所以n的最大值为13．当n＝13时，由已知可得：a1≥13，当a1＝13时，数列只能为13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，而13+12+11+…+1=(1+13)×132=91≠100，与a1+a2+…+an所以当a1＝14时，存在数列14，13，12，11，10，9，8，7，6，4，3，2，1满足题意，所以当n取最大值时，a1的最小值为14．故答案为：13；14．【点评】本题考查数列的性质及其前n项和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．11．（2024秋•天津校级期中）数列{an}的前n项和记为Sn，若Sn=n2-3n+1【考点】由数列若干项归纳出通项公式．【专题】函数思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】-1【分析】根据an，Sn的关系即可求解．【解答】解：当n≥2时，有an但当n＝1时，a1＝S1＝﹣1不适合上式，故an故答案为：-1【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．（2024秋•南京月考）某个软件公司对软件进行升级，将序列A＝（a1，a2，a3，…）升级为新序列A*＝（a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…），A*中的第n项为an+1﹣an，若（A*）*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，则a1＝8．【考点】由数列若干项归纳出通项公式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解；新定义类．【答案】8．【分析】利用A*中的第n项为an+1﹣an，表示出（A*）*，利用（A*）*的所有项都是3，逐步计算出a3，a2，a1．【解答】解：由题意得，A＝（a1，a2，a3，a4，a5，…），A*＝（a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…），（A*）*＝（a3﹣2a2+a1，a4﹣2a3+a2，a5﹣2a4+a3，…），∵（A*）*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，∴a3﹣2a2+a1＝3，a4﹣2a3+a2＝3，a5﹣2a4+a3＝3，由a5﹣2a4+a3＝3，得18﹣22+a3＝3，解得a3＝7，由a4﹣2a3+a2＝3，得11﹣14+a2＝3，解得a2＝6，由a3﹣2a2+a1＝3，得7﹣12+a1＝3，解得a1＝8．故答案为：8．【点评】本题考查新定义、数列的项的规律等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．四．解答题（共3小题）13．（2024春•余干县校级期中）数列{an}的通项公式是an（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．【专题】函数思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）﹣6；（2）16项．【分析】（1）利用数列{an}的通项公式能求出这个数列的第4项．（2）由an=【解答】解：（1）数列{an}的通项公式是an∴这个数列的第4项是：a4＝42﹣7×4+6＝﹣6．（2）an=n2-7n+6=150，即n2解得n＝16或n＝﹣9（舍），∴150是这个数列的项，是第16项．【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（2024秋•黄浦区期末）若数列{an}与{bn}都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自{bn}的任意两项均不相邻，则称{an}为{bn}的“隔数列”．（1）若{an}是首项与公差均为整数的等差数列，bn＝2n，且数列a1，a2，a3是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求{an}的通项公式；（2）若an＝2n，{bn}是首项为1、公比为m10的等比数列，且数列a1，a2，a3，a4是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求整数m（3）设{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，若{Sn}是{an+1}的“隔数列”，求q的取值范围．【考点】数列的单调性．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解；新定义类．【答案】（1）an＝3n或an＝4n﹣1；（2）m的值为21，22，23，24，25，26，27，28；（3）[2，+∞）．【分析】（1）根据新定义及等差数列的性质，即可求解；（2）根据新定义及等比数列的性质，即可求解；（3）根据新定义及数列的单调性，即可求解．【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a1，d∈Z，∵数列a1，a1+d，a1+2d是数列2，4，8，16的“隔数列”，∴d＞0，2＜a1＜4＜a1+d＜8＜a1+2d＜16，∴a1＝3且2.5＜d＜5，∴d＝3或4，∴an＝3n或an＝4n﹣1；（2）设等比数列{bn}的公比为q，由数列2，4，6，8是数列1，q，q2，q3的“隔数列”，可得q＞2，相应地q2＞4，q3＞8，∴1＜2＜q＜4＜6＜q2＜8＜q3或1＜2＜q＜4＜q2＜6＜8＜q3，解得6＜q＜∴m10∴整数m的值为21，22，23，24，25，26，27，28；（3）∵{Sn}是{an+1}的“隔数列”，∴{Sn}与{an+1}都是严格增数列，∵{Sn}是严格增数列，∴an+1=又{an+1}是严格增数列，∴an+2＞an+1，∴a1qn∴q＞1且a1＞0，又Sn＞an对一切大于等于2的整数恒成立，∴S1＜a2＜S2＜a3＜S3＜a4＜S4＜…＜an＜Sn＜an+1＜Sn+1＜…，∴Sn＜an+1对一切正整数n都成立，∴a1(q∴2-q＜∴2﹣q≤0，∴q的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查数列的新定义，数列的单调性，化归转化思想，属难题．15．（2024秋•开福区校级月考）将n（n≥2）个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么称数对（ai，aj）构成数列{an}的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．（1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；（2）计算以下数列的逆序数．（ⅰ）an＝﹣2n+19（1≤n≤100）；（ⅱ）an（3）已知数列a1，a2，…，an的逆序数为a，求an，an﹣1，…，a1的逆序数．【考点】数列的单调性．【专题】函数思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．【答案】（1）{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，2，1，4}．（2）（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析．（3）n(【分析】（1）根据逆序的定义求解即可；（2）（ⅰ）由数列{an}为单调递减数列，即可得到逆序数；（ⅱ）当n为奇数时，a1＞a3＞⋯＞a2n﹣1＞0，当n为偶数时，0＞a2＞a4＞⋯＞a2n，由此分析，即可得逆序数；（3）在数列a1＝2，a2，…，an中，若a1＝2与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，则有（n﹣1）﹣p1不构成逆序对，即可得到答案．【解答】解：（1）由1，2，3，4构成的逆序对有（4，3），（4，2），（4，1），（3，2），（3，1），（2，1），若第一个数为4，则至少有3个逆序对；若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1，4，2，3}；若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1，3，4，2}或{2，1，4，3}；若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{2，3，1，4}或{3，2，1，4}．综上所述，符合条件的数列组合有：{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，2，1，4}．（2）（ⅰ）因为{an}为单调递减数列，所以逆序数为99+98+⋅⋅⋅（ⅱ）当n为奇数时，a1＞a3＞⋯＞a2n﹣1＞0，当n为偶数时，an所以0＞a2＞a4＞•••＞a2n，当k为奇数时，逆序数为：(k当k为偶数时，逆序数为：(k（3）在数列a1＝2，a2，…，an中，若a1＝2与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，则有（n﹣1）﹣p1不构成逆序对，所以在数列an，an﹣1，…，a1＝2中，逆序数为：(n【点评】本题考查数列的新定义问题，解题关键是读懂题意，理解新定义的本质，属于中档题．

考点卡片1．数列的概念及简单表示法【知识点的认识】1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．（2）有些数列没有通项公式，如2的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．由数列若干项归纳出通项公式【知识点的认识】1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．（2）有些数列没有通项公式，如2的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【解题方法点拨】﹣观察规律：通过观察数列前几项的规律，推导出通项公式．﹣设未知数：假设通项公式an＝f（n），代入前几项求解参数．﹣验证公式：验证推导出的通项公式是否适用于数列的每一项．【命题方向】常见题型包括通过数列的前几项推导出通项公式，结合具体数列进行分析．数列﹣2，1，-23，12A．an＝（﹣1）n+12B．an＝（﹣1）nnC．an＝（﹣1）n2D．an＝（﹣1）n+12解：根据题意，数列﹣2，1，-23，12，-25，…的前5项可以写成（﹣1）1×21、（﹣1）2×22、（﹣1）3×23则数列的一个通项公式可以为an＝（﹣1）n×2故选：C．3．由数列若干项求下一项或其中的项【知识点的认识】1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．（2）有些数列没有通项公式，如2的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【解题方法点拨】﹣观察规律：通过观察数列前几项的规律，推算出下一项或中间某一项的值．﹣设未知数：假设数列的递推公式或通项公式，代入前几项求解参数．﹣验证结果：验证推算出的下一项或中间某一项的值是否符合数列的规律．【命题方向】常见题型包括通过数列的前几项推算出下一项或中间某一项的值，结合具体数列进行分析．观察数列12，-16，（），-解：根据题意，该数列的通项公式an＝（﹣1）n+1×1则有a3=112，a6=-1424．由通项公式求解或判断数列中的项【知识点的认识】1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．（2）有些数列没有通项公式，如2的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【解题方法点拨】由通项公式求解或判断数列中的项是指根据数列的通项公式计算某一项的值或判断某一项的性质．代入计算：将通项公式中的n取不同的值，计算数列的具体项．【命题方向】常见题型包括利用通项公式计算数列的具体项或判断数列的性质，结合具体数列进行分析．已知数列{an}的通项公式为an＝n2+n，则下列是该数列中的项的是（）A．18B．12C．25D．30解：根据题意，数列{an}的通项公式为an＝n2+n，依次分析选项：对于A，若an＝n2+n＝18，无正整数解，不符合题意，对于B，若an＝n2+n＝12，解可得n＝3或﹣4，有正整数解n＝3，符合题意，对于C，若an＝n2+n＝25，无正整数解，不符合题意，对于D，若an＝n2+n＝30，解可得n＝5或﹣6，有正整数解n＝5，符合题意，故选：BD．5．由实际问题归纳出数列的通项【知识点的认识】1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．（2）有些数列没有通项公式，如2的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【解题方法点拨】由实际问题归纳出数列的通项是指通过实际问题中的数列关系，推导出数列的通项公式．﹣分析问题：分析实际问题中的数列关系，找出递推关系或规律．﹣设未知数：假设数列的递推公式或通项公式，代入实际问题中的条件求解参数．﹣推导通项：根据递推关系或规律推导出数列的通项公式．【命题方向】常见题型包括通过实际问题中的数列关系，推导出数列的通项公式，结合具体问题进行分析．如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）；在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）；以此类推，每进行一次操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1，记第n个图案中所有着色的正方形的面积之和为an，则数列{an}的通项公式an＝_____．解：根据题意，a1=1a2=1a3=19+89×……归纳可得：an=19+89×19是首项为19，公比为89的等比数列的前故an=1故答案为：1-6．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n项和公式Sn=a1(1-qn3、用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列：an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列．当q＝1时，是一个常数列．当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．【解题方法点拨】典例1：数列{an}满足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2=(n∵不等式an≥a4恒成立，∴3.5≤-解得﹣9≤k≤﹣7，故选：B．典例2：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{Sn}也为等差数列，则SA．310B．212C．180D．121解：∵等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an＝1+（n﹣1）d，其前n项和为Sn=n∴SnS1=1，S2∵数列{Sn}∴2S∴22+d=解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，an2=（2n﹣1∴Sn由于{(1∴Sn+10an2故选：D．7．数列的单调性【知识点的认识】数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．由于数列{an}中的每一项an与它的序号n是一一对应的，所以数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an}．【解题方法点拨】﹣定义判断：根据数列的定义或通项公式判断其单调性．﹣递推关系：利用数列的递推关系分析其单调性．﹣数列差：分析数列相邻两项的差an+1﹣an的符号判断单调性．【命题方向】常见题型包括利用定义、递推关系、数列差判断数列的单调性，结合具体数列进行分析．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）A．an＝1﹣nB.aC．an＝2n2﹣5n+1D.a解：根据题意，依次分析选项：对于A，an＝1﹣n，有an+1﹣an＝