2024-2025学年下学期高二数学北师大版同步经典题精练之平均变化率与瞬时变化率

第23页（共23页）2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高二同步经典题精练之平均变化率与瞬时变化率一．选择题（共5小题）1．（2024秋•海门区期末）已知函数f(x)=A．f（x）在x＝1+Δx处的导数 B．f（x）在x＝1处的导数 C．f（x）在[1，1+Δx]上的平均变化率 D．f（x）在[1﹣Δx，1]上的平均变化率2．（2025•榆林模拟）已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式S（t）＝sint-3cost+t+1A．3m/s B．2m/s C．3m/s D．13．（2024秋•浏阳市期末）设函数f（x）满足△x→0limf(x0A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．24．（2024秋•朝阳区期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量W与时间t的关系如图所示．下列叙述中正确的是（）A．在[0，t3]这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率5．（2024秋•江宁区校级期中）某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加．第一季度的增长率为a，第二季度的增长率为2a，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（）A．3a2 B．C．2a2 D二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•连云港期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)=120t+5+15，其中TA．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12℃ B．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为﹣2.4℃/min C．当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是﹣1.2℃/min D．蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻t（多选）7．（2024秋•淮安期末）已知某物体运动的位移方程为S（t）＝3t2+2（1≤t≤6）（）A．该物体位移的最大值为100 B．该物体在[1，4]内的平均速度为15 C．该物体在t＝5时的瞬时速度是32 D．该物体的速度v和时间t时的关系式是v（t）＝6t（1≤t≤6）（多选）8．（2024春•九龙坡区校级月考）一做直线运动的物体，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是s＝3t﹣t2．则下列正确的是（）A．此物体的初速度是3m/s B．此物体在t＝2s时的瞬时速度大小为1m/s，方向与初速度相反 C．t＝0s到t＝2s时平均速度1m/s D．t＝3s时的瞬时速度为0m/s（多选）9．（2024春•河南期中）已知某物体的运动方程为s（t）＝8t2+4（0≤t≤5），则（）A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是32 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是64 C．该物体位移的最大值为34 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是80三．填空题（共3小题）10．（2024秋•新泰市校级期末）已知f(x)=x+1x11．（2024春•吉林期末）已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为y=t，则在t＝4min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/12．（2024春•西城区校级期中）若函数y=x在区间[1，4]上的平均变化率k恰等于其在x＝x0处的瞬时变化率，则k＝；x0＝四．解答题（共3小题）13．（2024春•辽源期末）已知函数f（x）＝x﹣1+a（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．14．（2024春•黄浦区校级期中）已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间（单位：秒）的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒．（1）求车轮转动前2秒的平均角速度；（2）求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度．15．（2024春•韩城市期中）一小球做简谐振动，其运动方程为x=20sin(3t-π2)，其中（Ⅰ）求小球在t=（Ⅱ）从t＝0s开始，最少经过多长时间该小球的瞬时速度达到最大？

2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高二同步经典题精练之平均变化率与瞬时变化率参考答案与试题解析题号12345答案CAADD一．选择题（共5小题）1．（2024秋•海门区期末）已知函数f(x)=A．f（x）在x＝1+Δx处的导数 B．f（x）在x＝1处的导数 C．f（x）在[1，1+Δx]上的平均变化率 D．f（x）在[1﹣Δx，1]上的平均变化率【考点】平均变化率．【答案】C【分析】由已知结合函数平均变化率的定义即可求解．【解答】解：因为函数f(x)=x，则f（1）＝1，f（1+Δ则式子1+Δx-1Δx(Δx＞0)故选：C．【点评】本题主要考查了函数平均变化率的定义的应用，属于基础题．2．（2025•榆林模拟）已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式S（t）＝sint-3cost+t+1A．3m/s B．2m/s C．3m/s D．1【考点】瞬时变化率．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】对函数求导，再结合三角函数知识即可求解结论．【解答】解：因为S（t）＝sint-3cost+t+1所以S'当sin(t+π6)=1时，S'（t故选：A．【点评】本题考查瞬时变化率的概念及辨析、导数的运算法则、辅助角公式．从核心素养角度来看，本题主要考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，属于基础题．3．（2024秋•浏阳市期末）设函数f（x）满足△x→0limf(x0A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】极限及其运算；变化的快慢与变化率．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】利用导数的概念以及极限的运算性质即可求解．【解答】解：因为f′（x0）==-=-故选：A．【点评】本题考查了导数的概念以及极限的运算性质，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．4．（2024秋•朝阳区期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量W与时间t的关系如图所示．下列叙述中正确的是（）A．在[0，t3]这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率【考点】瞬时变化率；平均变化率．【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学抽象．【答案】D【分析】根据题意，由平均变化率的定义分析A、B，由导数的几何意义以及瞬时变化率的定义分析C、D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在[0，t3]这段时间内，甲水库的蓄水量减少，其平均变化率均小于0，A错误；对于B，在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0，乙水库蓄水量的平均变化率大于0，则在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，B错误；对于C，甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率小于0，而乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于0，则甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率，C错误；对于D，乙水库在t1时刻切线的斜率大于乙水库在t2时刻切线的斜率，即乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率，D正确．故选：D．【点评】本题考查平均变化率、瞬时变化率的分析，注意导数的几何意义，属于基础题．5．（2024秋•江宁区校级期中）某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加．第一季度的增长率为a，第二季度的增长率为2a，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（）A．3a2 B．C．2a2 D【考点】平均变化率．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】D【分析】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为y，由题意列方程（1+y）2＝（1+a）（1+2a）求解即可；【解答】解：设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为y，则（1+y）2＝（1+a）（1+2a），解得y=(1+a)(1+2a)所以该厂这两个季度生产总值的平均增长率为(1+a)(1+2故选：D．【点评】本题考查了增长率函数模型应用问题，是基础题．二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•连云港期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)=120t+5+15，其中T（A．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12℃ B．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为﹣2.4℃/min C．当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是﹣1.2℃/min D．蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻t【考点】平均变化率；瞬时变化率．【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】ABC【分析】对于A，分别求出t＝0和t＝5时的蜥蜴体温，即可得到从t＝0到t＝5的蜥蜴体温下降量；对于B，根据平均变化率计算公式即可得出结果；对于C，求出T′（t），令t＝5，即可求出蜥蜴体温的瞬时变化率；对于D，令T′（t）＝﹣3，求出t的值，即是蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻．【解答】解：根据题意，T(t)=依次分析选项：对于A，当t＝0时，T(0)=1205+15=39，当t＝所以从t＝0到t＝5，蜥蜴的体温下降了39﹣27＝12，故A正确；对于B，从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为T(5)-T(0)对于C，T'(t)=-120(t+5)2，当t＝5时，T'(5)=对于D，令T'(t)=-故选：ABC．【点评】本题考查平均变化率、瞬时变化率的计算，涉及导数的计算，属于基础题．（多选）7．（2024秋•淮安期末）已知某物体运动的位移方程为S（t）＝3t2+2（1≤t≤6）（）A．该物体位移的最大值为100 B．该物体在[1，4]内的平均速度为15 C．该物体在t＝5时的瞬时速度是32 D．该物体的速度v和时间t时的关系式是v（t）＝6t（1≤t≤6）【考点】瞬时变化率．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；数学抽象．【答案】BD【分析】根据题意，由函数的解析式分析位移的最大值，可得A错误，由平均变化率公式可得B正确，由瞬时变化率的计算公式可得C错误，由导数的定义可得D正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，S（t）＝3t2+2（1≤t≤6），其导数S′（t）＝6t（1≤t≤6），依次分析选项：对于A，S（t）＝3t2+2（1≤t≤6），t＝6时，位移取得最大值，其最大值为S（6）＝110，A错误；对于B，该物体在[1，4]内的平均速度ΔSΔt=该物体在[1，4]内的平均速度为15，B正确；对于C，S′（t）＝6t（1≤t≤6），则S′（5）＝30，即该物体在t＝5时的瞬时速度是30，C错误；对于D，由于S′（t）＝6t（1≤t≤6），即该物体的速度v和时间t时的关系式是v（t）＝6t（1≤t≤6），D正确．故选：BD．【点评】本题考查平均变化率和瞬时变化率的计算，涉及函数的最值，属于基础题．（多选）8．（2024春•九龙坡区校级月考）一做直线运动的物体，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是s＝3t﹣t2．则下列正确的是（）A．此物体的初速度是3m/s B．此物体在t＝2s时的瞬时速度大小为1m/s，方向与初速度相反 C．t＝0s到t＝2s时平均速度1m/s D．t＝3s时的瞬时速度为0m/s【考点】变化的快慢与变化率；基本初等函数的导数．【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；数学抽象．【答案】ABC【分析】ABD选项，对s＝3t﹣t2求导后，代入相应t值，判断正误；C选项，根据平均速度计算公式进行求解．【解答】解：A选项，s′＝3﹣2t，故当t＝0s时，s′＝3，即此物体的初速度是3m/s，A正确；B选项，当t＝2s时，s′＝3﹣4＝﹣1，此物体在t＝2s时的瞬时速度大小为1m/s，方向与初速度相反，B正确；C选项，s（t）＝3t﹣t2，t＝0s到t＝2s时平均速度s(2)-s(0)2-0=6-4-02=1，故t＝0s到t＝2s时平均D选项，t＝3s时，s′＝3﹣2t＝3﹣6＝﹣3，故t＝3s时的瞬时速度为﹣3m/s，D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于基础题．（多选）9．（2024春•河南期中）已知某物体的运动方程为s（t）＝8t2+4（0≤t≤5），则（）A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是32 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是64 C．该物体位移的最大值为34 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是80【考点】变化的快慢与变化率．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】由平均速度的定义v=ΔsΔt代数计算可得A正确；由导数的意义计算可得BD正确；求导后判断【解答】解：A：该物体在1≤t≤3时的平均速度是s(3)-s(1)B：s′（t）＝16t，所以该物体在t＝4时的瞬时速度是16×4＝64，故B正确；C：因为s′（t）＝16t，0≤t≤5，所以s′（t）≥0恒成立，故s（t）在[0，5]上为增函数，所以s(t)D：s′（t）＝16t，所以该物体在t＝5时的瞬时速度是s′（5）＝16×5＝80，故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．三．填空题（共3小题）10．（2024秋•新泰市校级期末）已知f(x)=x+1x【考点】极限及其运算．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】-1【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．【解答】解：f(则f'（x）=-f'（2）=-所以limh→0f(2+h)-f(2)故答案为：-1【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．11．（2024春•吉林期末）已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为y=t，则在t＝4min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为14mm【考点】变化的快慢与变化率．【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】将函数y=t关于t求导，再将t＝【解答】解：因为y=所以f'∴f'故在t＝4min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为14mm/min故答案为：14【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题．12．（2024春•西城区校级期中）若函数y=x在区间[1，4]上的平均变化率k恰等于其在x＝x0处的瞬时变化率，则k＝13；x0＝【考点】平均变化率．【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】13；9【分析】由已知结合函数平均变化率及瞬时变化率的定义即可分别求解．【解答】解：因为函数f（x）=y=x在区间[1，4]上的平均变化率k恰等于其在x＝又函数平均变化率为k=f(4)-f(1)4-1=2-1则函数在x＝x0处的瞬时变化率为12所以x0=9故答案为：13；9【点评】本题主要考查了函数的平均变化率及瞬时变化率定义的应用，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024春•辽源期末）已知函数f（x）＝x﹣1+a（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】变化的快慢与变化率；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；函数思想；转化法；导数的综合应用．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数的几何意义即可求出，（Ⅱ）先求导，再根据导数和函数极值的关系即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x﹣1+aex，得f′（x由函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得f′（1）＝1-ae=0，解得（Ⅱ）f′（x）＝1-①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上为增函数，f（x）无极值②当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lna，∴x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．∴f（x）在x＝lna处取得极小值，且极小值为f（lna）＝lna，无极大值综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．【点评】本题考查了导数和函数的极值的关系，关键是分类讨论，属于中档题．14．（2024春•黄浦区校级期中）已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间（单位：秒）的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒．（1）求车轮转动前2秒的平均角速度；（2）求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度．【考点】变化的快慢与变化率；导数及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】（1）4π；（2）12π．【分析】（1）设出未知数，得到y＝kt2，待定系数法求出解析式，从而计算出车轮转动前2秒的平均角速度；（2）求导，由导函数的意义得到答案．【解答】解：（1）设车轮旋转的角度为y，车辆启动后车轮转动的时间为t秒，则y＝kt2，由题意得t＝1时，y＝2π，即2π＝12k，解得k＝2π，故y＝2πt2，车轮转动前2秒的平均角速度为2π（2）y＝2πt2，y′＝4πt，由导函数的意义可得车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度为4π×3＝12π．【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．15．（2024春•韩城市期中）一小球做简谐振动，其运动方程为x=20sin(3t-π2)，其中（Ⅰ）求小球在t=（Ⅱ）从t＝0s开始，最少经过多长时间该小球的瞬时速度达到最大？【考点】变化的快慢与变化率．【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】（Ⅰ）302cm（Ⅱ）π6【分析】（Ⅰ）由题意可知，瞬时速度为x'＝20sin（3t）•（3t）'＝60sin（3t），再令t=π（Ⅱ）根据正弦函数的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）∵x=20∴瞬时速度为x'＝20sin（3t）•（3t）'＝60sin（3t），∴小球在t=π4s时刻的速度为（Ⅱ）由（Ⅰ）知小球的瞬时速度为x'＝60sin（3t），∴小球的瞬时速度最大时sin（3t）＝1，解得3t=π2+2kπ，即∴最少经过π6【点评】本题主要考查了导数的实际意义，属于基础题．

考点卡片1．变化的快慢与变化率【知识点的认识】1、平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化2、瞬时变化率：变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：△y△x=f(x13、导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解题方法点拨】瞬时速度特别提醒：①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：①当△x→0时，比值△y△x的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若△y△x的极限不存在，则f②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：f′（x0）=△x→0limf(x导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）=△②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．【命题方向】典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（）A．3△t+6B．﹣3△t+6C．3△t﹣6D．﹣3△t﹣6分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．解：V=故选D．点评：本题考查函数的平均变化率公式：f(典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为△s（2）定义法：即对平均速度为△s△t当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即s＝8﹣3t2在t＝1处的导数值，故只需求t＝1时函数s＝8﹣3解答：由题意可知：（1）∵s＝8﹣3t2∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：v=（2）定义法：质点在t＝1时的瞬时速度为v=求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，∴当t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．2．平均变化率【知识点的认识】平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化【解题方法点拨】﹣计算：将区间端点a和b代入函数f，计算f(﹣解释：平均变化率描述了函数在区间上的平均斜率，反映函数值的总体变化趋势．【命题方向】常见题型包括计算函数在给定区间上的平均变化率，解决实际问题中的平均变化率计算．函数f（x）＝log2x在区间[2，4]上的平均变化率是_____．解：函数的平均变化率是f(4)-故答案为：123．瞬时变化率【知识点的认识】1、平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化2、瞬时变化率：变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：△y△x=f(x1【解题方法点拨】函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处附近平均变化率的极限：x→【命题方向】常见题型包括计算函数在特定点上的瞬时变化率，分析实际问题中的瞬时变化率．函数f(x)=-6x在解：函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率为limΔx故答案为：6．4．导数及其几何意义【知识点的认识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）=x【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．【命题方向】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线y=x2A．3B．2C．1D．1解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线y=x2∴y′=x02-3x0=12，解得x故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．5．极限及其运算【知识点的认识】1．数列极限（1）数列极限的表示方法：（2）几个常用极限：③对于任意实常数，当|a|＜1时，n→∞liman＝当|a|＝1时，若a＝1，则n→∞liman＝1；若a＝﹣1，则n→∞liman＝（﹣当|a|＞1时，n→∞lima（3）数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．（4）数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S=a11-q（|q（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限．x→2．函数极限；（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作x→x0limf(x)=a或当x→x注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是x→x0如P（x）=x-1;x＞1-x+1;（2）函数极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．注：①各个函数的极限都应存在．②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．（3）几个常用极限：3．函数的连续性：（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），f(x)g(x)（g（x）≠0（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②x→x0limf(x)存在；③函数f（x）在点x＝x（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②x→x0limf(x)不存在；③6．基本初等函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′